精品解析：广东省深圳市翠园东晓中学2021-2022学年上学期第一次月考八年级数学试题

2022届初二上学期质量监测（数学）

一、单选题（每小题3分，共36分）

1. 的算术平方根是（    ）

A.  B. 4 C.  D. 2

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出值是多少；然后根据算术平方根的含义和求法，求出的算术平方根是多少即可．

【详解】解：∵=4，

∴的算术平方根是：=2，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

2. 在实数中，有理数有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据有理数的概念：正整数，0，负整数和分数的统称，是整数与分数的集合进行判断即可．

【详解】解：是分数，为有理数；是整数，为有理数；是无理数；是无理数；是有限小数，为有理数，

故选C．

【点睛】本题主要考查了有理数的概念，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与无理数的概念．

3. 下列说法正确的有（    ）

①无限小数不一定是无理数；      ②无理数一定是无限小数；

③带根号的数不一定是无理数；    ④不带根号的数一定是有理数．

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．

【详解】解：无限小数不一定都是无理数，如是有理数，故①正确；
无理数一定是无限小数，故②正确；
带根号的数不一定都是无理数，如是有理数，故③正确；
不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，故④错误；
故选：A

【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类、正确区分有理数和无理数是解题的关键，注意无理数是无限不循环小数．

4. 若式子有意义，则x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D. 以上答案都不对

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据二次根式有意义的条件，可得2x−1≥0，然后根据一元一次不等式的求解方法，求出x的取值范围即可．

【详解】由题意知：2x−1≥0，

解得：，

故选：A．

【点睛】（1）此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

（2）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．

5. 在⊿中，若，则⊿是（    ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形

【5题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选D．

6. 已知，那么满足上述条件的整数x的个数是（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先估求出，然后根据进行求解即可．

【详解】解：，

∴，

∵，

∴那么满足上述条件的整数x为6、7、8、9、10，一共5个，

故选B．

【点睛】本题主要考查了无理数估算和算术平方，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】将两边平方得出，再求得即可得答案．

【详解】解：∵

∴

∴

∴

∴

∴．

故选C．

【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

8. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．

【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，

则这圈金属丝的周长最小为的长度

圆柱底面的周长为，圆柱高为

，

这圈金属丝的周长最小为

故选：A

【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

9. 已知三边为，满足，则是（    ）

A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形以

C. 以c为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由绝对值和偶次方的非负性质求出a＝17，b＝15，c＝8，由82＋152＝172，得出△ABC是以a为斜边的直角三角形即可．

【详解】解：∵（a−17）2＋|b−15|＋c2−16c＋64＝0，

∴（a−17）2＋|b−15|＋（c−8）2＝0，

∴a−17＝0，b−15＝0，c−8＝0，

∴a＝17，b＝15，c＝8，

∵82＋152＝172，

∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；

故选：A．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性质，由勾股定理的逆定理得出结论是关键．

10. 设，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论．

【详解】解：=

∵＞＞

∴＞＞

∴

故选A．

【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键．

11. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【11题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；最后由勾股定理可以求得答案.

【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，

∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，

∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，

直角三角形ECF中，

∵EF2=EC2+CF2，

∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，

解得GF=，

∴EF=1+=．

故正确选项为B.

【点睛】此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理.解题关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程.

12. 如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边，依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2016个正方形的边长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a1表示出a2、a3、a4…，根据规律得到第2016个正方形的边长a2016＝（）2015a1，把a1＝2，代入即可求解．

【详解】解：设第1个正方形的边长a1＝2，

根据题意得，第2个正方形的边长为a2＝a1，

第3个正方形的边长为a3＝a2＝（a1）＝（）2a1，

第4个正方形的边长为a4＝a3＝（）2a1＝（）3a1，

…，

第2016个正方形的边长a2016＝（）2015a1，

∵a1＝2，

∴a2016＝2×（）2015

故选D．

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键．

二、填空题（每小题3分，共12分）

13. a是9的算术平方根，b的算术平方根是9，则a＋b＝__________．

【13题答案】

【答案】84

【解析】

【详解】是的算术平方根，的算术平方根是，

，

故答案为

14. 若，则的值等于_________.

【14题答案】

【答案】1996．

【解析】

【详解】试题分析：根据题意得，，解得，∴，∴，两边平方得，，所以，．

考点：二次根式有意义的条件．

15. 明明家的卫生间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，若该地面的面积是10.8 m2，则每块正方形地砖的边长是__________ cm．

【15题答案】

【答案】30

【解析】

【详解】试题解析：设每块地砖的边长是 ，

则

解得x=0.3，

即每块地砖的边长是

故答案为

16. 如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE＝1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP＋EP的最小值是_______cm．

【16题答案】

【答案】5

【解析】

【分析】作E点关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP＋EP的最小值．

【详解】作E点关于直线BD的对称点E′，连接AE′

由轴对称性质可得：PE=PE’

当点A、P、E’在同一直线时，线段AE′的长即为AP＋EP的最小值

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC=4cm,∠ABC=90°，BE’=BE=AB-AE=4-1=3（cm）

∴由勾股定理可得：AE′= =cm

∴AP＋EP的最小值是5cm

故答案为5

【点睛】考核知识点：正方形性质，勾股定理．理解正方形性质和轴对称性质是关键．

三、解答题（7小题，共52分）

17. 计算题：

（1）

（2）

（3）

（4）

【17题答案】

【答案】（1）；（2）－5；（3）x＝或x＝−；（4）x＝．

【解析】

【分析】（1）先化成最简二次根式，再算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可；

（2）先变形利用完全平方公式展开，再合并同类二次根式；

（3）直接利用平方根的定义得出答案；

（4）直接利用立方根定义得出答案．

【详解】（1）解：

＝

＝；

（2）解：

＝

＝

＝

＝－5；

（3）解： （3x−2）2−4＝0，

则（3x−2）2＝36，

故3x−2＝±6，

解得：x＝或x＝−；

（4） （2x＋3）3＝16，

则（2x＋3）3＝64，

故2x＋3＝4，

解得：x＝．

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、立方根以及一元二次方程的解法，正确掌握相关法则、定义是解题关键．

18. 已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求：3a-4b的平方根．

【18题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据已知得出2a+1=9，5a+2b-2=16，求出a b，代入求出即可．

【详解】解：根据题意得：2a+1=32=9，5a+2b-2=16，

∴a=4，b=-1，

∴3a-4b=16，

∴3a-4b的平方根是±．

19. 某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3米，AB=2米，现有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由．

【19题答案】

【答案】能通过．理由见解析．

【解析】

【分析】如图，因为上部是以AB为直径的半圆，O为AB中点，同时也为半圆的圆心，OG为半径，OF的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出GF的长度．EF的长度等于BC的长度．如果EG的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过．

【详解】解：能通过，理由如下：

设点O为半圆的圆心，则O为AB的中点，OG为半圆的半径，如图，

∵直径AB=2（已知），

∴半径OG=1，OF=1.6÷2=0.8，

∴在Rt△OFG中，FG2=OG2﹣OF2=12﹣0.82=0.36；

∴FG=0.6

∴EG=0.6+2.3=2.9＞2.5．

∴能通过．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．

20. 已知的整数部分为，小数部分为，试求的值.

【20题答案】

【答案】1

【解析】

【详解】试题分析:根据无理数的估算,即 ,得到a=3,从而 ,然后代入化简即可.

∵即

 ∴的整数部分为即，从而

 故

=

=

=

21. 若表示不超过x的最大整数（如等），求的值．

【21题答案】

【答案】2013

【解析】

【分析】先根据题意进行分母有理化，，，

则可以得到，由此可以得到，从而可以求解．

【详解】解：，

，

∴，

∵

∵表示不超过x的最大整数，

∴，

∴

．

【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

22. 在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将的面积直接填写在横线上________；

思维拓展：

（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上_____；

探索创新：

（3）若中有两边的长分别为，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上_______．

【22题答案】

【答案】（1）；（2）；（3）或，画图见解析

【解析】

【分析】（1）利用割补法求解可得；

（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为、、的首尾相接的三条线段，再利用割补法求解可得；

（3）在网格中构建长为和的两边，然后根据三角形面积，构建出第三条边求解即可．

【详解】解：（1）的面积为，

故答案为：；

（2）如图，，，，

由图可得：；

故答案为：；

（3）如图所示，，，

此时；

如图所示：，，

此时；

故答案为：或．

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．

23. 如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP．

（1）求证：∠APB＝∠BPH；

（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积；

（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．

【23题答案】

【答案】（1）见解析；（3）；（3）△PHD的周长不变为定值12，见解析.

【解析】

【分析】（1）欲证明∠APB=∠BPH，只要证明∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，根据EP=EB，推出∠EBP=∠EPB即可证明．

（2）如图1中，作FM⊥AB于M．由△ABP≌△MFE，推出AP=EM=3，想办法求出EB、CF即可解决问题．

（3）△PHD的周长不变为定值12．如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH，分别证明△BPA≌△BPQ和△BHQ≌△BHC即可．

【详解】（1）∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

∵∠A=∠ABC=∠EPG=90°，∴∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，∴∠APB=∠BPH．

（2）如图1中，作FM⊥AB于M．

∵∠BEF+∠ABP=90°，∠BEF+∠EFM=90°，∴∠ABP=∠EFM．

在△ABP和△MFE中，∵，∴△ABP≌△MFE，∴ME=APAD=3．在Rt△AEP中，设AE=x，则EP=BE=6﹣x，∴（6﹣x）2=x2+32，∴x，∴CF=BM=AB﹣AE﹣EM，∴S四边形EFGP（CF+BE）×BC（）×6．

（3）△PHD的周长不变为定值12．证明如下：

如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH．

由（1）可知∠APB=∠BPQ．在△BPA和△BPQ中，∵，∴△BPA≌△BPQ，∴AP=PQ，AB=BQ．

∵AB=BC，∴BC=BQ．

∵∠BQH=∠C=90°，BH=BH，∴△BHQ≌△BHC，∴CH=QH，∴△PDH的周长=DP+PH+DH=（DP+AP）+（CH+DH）=AD+CD=12．

【点睛】本题考查了四边形综合题、翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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