还剩22页未读，
继续阅读
广东省深圳市罗湖区翠园中学东晓校区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】
展开
这是一份广东省深圳市罗湖区翠园中学东晓校区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市罗湖区翠园中学东晓校区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
2．下面左侧几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
5．下列判定正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
6．罗湖区政府2020年投资5亿元用于保障性房建设，划到2022年投资保障性房建设的资金为9.8亿元．如果从2020年到2022年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（ ）
A．60% B．50% C．40% D．30%
7．已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
8．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
12．已知点A、B的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按相似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标为 ．
13．已知菱形ABCD，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是 ．
14．如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，若AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是的中点，则CM的长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．解下列方程
（1）x2+2x﹣1＝0
（2）x（2x+3）＝4x+6．
17．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
18．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
19．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长为 米．
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+80．
（1）当销售单价为24元时，销售量为 本，每周销售这种纪念册可获利 元；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
21．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
问：如图1：（1）图中△APD≌ ；△APE∽ ；
（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么数量关系（用等式表示）？说明理由；
（3）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，且PE＝，OE＝，求菱形的边长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
【分析】因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
2．下面左侧几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可．
解：从几何体的正面看，是一行两个并列的矩形．
故选：A．
3．已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据内项之积等于外项之积对A进行判断；根据分比性质对B进行判断；根据合分比性质对C进行判断；根据合比性质对D进行判断．
解：A．因为2x＝3y，所以＝，所以A选项不符合题意；
B．因为2x＝3y，则＝，所以＝＝，所以B选项不符合题意；
C．因为2x＝3y，则＝，所以≠，所以B选项符合题意；
D．因为2x＝3y，所以＝，则＝，所以D选项不符合题意；
故选：C．
4．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案．
解：
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
5．下列判定正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．
解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；
B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B错误；
C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；
D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；
故选：C．
6．罗湖区政府2020年投资5亿元用于保障性房建设，划到2022年投资保障性房建设的资金为9.8亿元．如果从2020年到2022年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（ ）
A．60% B．50% C．40% D．30%
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入资金是5（1+x）亿元，在2021年的基础上再增长x，就是2022年的资金投入5（1+x）（1+x）亿元，由此可列出方程5（1+x）2＝9.8，求解即可．
解：设年增长率是x，根据题意可得：
5（1+x）2＝9.8，
解得；x1＝﹣2.4（不合题意舍去），x2＝0.4＝40%．
故选：C．
7．已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】首先设关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的另一个实数根是α，然后根据根与系数的关系，即可得α+1＝﹣1，继而求得答案．
解：设关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的另一个实数根是α，
∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，
∴α+1＝﹣1，
∴α＝﹣2．
故选：A．
8．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．
解：∵AB被截成三等分，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴，
∴S△AFG：S△ABC＝4：9
S△AEH：S△ABC＝1：9
∴S△AFG＝S△ABC
S△AEH＝S△ABC
∴S阴影部分的面积＝S△AFG﹣S△AEH＝S△ABC﹣S△ABC＝S△ABC
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得，通过证明△ACD∽△CBD，可得，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得，通过证明△GEF∽△GBD，可得，即可求解．
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故A选项不合题意；
∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，
∴
故B选项不合题意；
∵AF⊥BG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠GBA＝90°，
∵∠GDB＝90°，
∴∠G+∠GBA＝90°，
∴∠G＝∠FAB，
又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴，
∴AD•BD＝DE•DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD•BD，
∴CD2＝DE•DG，
∴，
故C选项不合题意；
∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，
∴△GEF∽△GBD，
∴
故D选项符合题意，
故选：D．
10．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
【分析】①错误，
②正确．想办法证明∠GFM+∠AMD＝90°即可；
③正确．只要证明△CPM∽△HPC，可得＝，推出PC2＝PM•PH，根据对称性可知：PA＝PC，可得PA2＝PM•PH；
④错误．利用矩形的性质可知EF＝PC，当PC⊥BD时，EF的值最小，最小值为1；
解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF＝OC，
∴∠OCF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD＝90°，
∴∠GFM+∠AMD＝90°，
∴∠FGM＝90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP＝∠H，
∵∠DAP＝∠PCM，
∴∠PCM＝∠H，
∵∠CPM＝∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴＝，
∴PC2＝PM•PH，
根据对称性可知：PA＝PC，
∴PA2＝PM•PH．
④错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC＝2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故选：B．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 10 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，＝0.2，
解得，n＝10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
12．已知点A、B的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按相似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标为 （﹣2，1）或（2，﹣1） ．
【分析】利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或﹣，得出即可．
解：∵点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A'的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
13．已知菱形ABCD，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是 8 ．
【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，求出∠ABC＝60°，证得△ABC是等边三角形，求出AB＝4，根据勾股定理求出BO，进而求出BD，根据菱形的面积公式求出菱形的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴AO＝2，AB＝AC＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO＝BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝4×4＝8，
故答案为：8．
14．如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为 ．
【分析】如图，过点D作DT∥BF交AC于点T．证明AF＝FT，CT：FT＝3：2，可得结论．
解：如图，过点D作DT∥BF交AC于点T．
∵AE＝DE，EF∥DT，
∴AF＝FT，
∵DT∥BF，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为：．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，若AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是的中点，则CM的长是 ．
【分析】由“ASA”可证△DEG≌△CFG，可得DE＝CF，EG＝FG，由勾股定理可求CF＝DE＝3，BH＝5，通过证明△CFM∽△BFH，可得，即可求解．
解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝8，
∴CG＝DG＝×8＝4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝4+x+x＝4+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴4+2x＝2，
解得x＝3，
∴AD＝AE+DE＝4+3＝7，
∴BC＝AD＝7，
BF＝4+2x＝10，
如图，连接HE，
∵FH垂直平分BE，
∴BH＝EH，
∵AH2+AE2＝HE2，
∴（8﹣BH）2+16＝BH2，
∴BH＝5，
∵AB∥CD，
∴△CFM∽△BFH，
∴，
∴，
∴CM＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．解下列方程
（1）x2+2x﹣1＝0
（2）x（2x+3）＝4x+6．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
解：（1）x2+2x＝1，
∴（x+1）2＝2，
∴x+1＝
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（2）x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0
∴（2x+3）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝2．
17．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
【分析】（1）根据概率的意义，从4张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再求相应的概率即可．
解：（1）从黑2，红3，梅4，方5这4张扑克牌中任摸一张，是红心的可能性为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果，其中和大于7的有4种，
所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为＝．
18．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝，解得：y＝3，经检验y＝3是原方程的根．
∵＝，即＝，
解得x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
19．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长为 （24﹣3x） 米．
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
【分析】（1）设花圃的宽AB＝x米，由矩形的周长公式列出BC长的解析式即可；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
解：（1）设花圃的宽AB为x米，则BC＝22+2﹣3x＝（24﹣3x）（米）．
故答案为：（24﹣3x）；
（2）x（24﹣3x）＝45，
化简得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝5，x2＝3．
当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；
当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．
答：花圃的宽为5米．
20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+80．
（1）当销售单价为24元时，销售量为 32 本，每周销售这种纪念册可获利 128 元；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
【分析】（1）将x＝24代入题目中的函数解析式，求出相应的y的值，即此时的销售量，再根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，计算出相应的利润即可；
（2）根据文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润，可以得到关于x的一元二次方程，然后求解即可，注意要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．
解：（1）当x＝24时，y＝﹣2×24+80＝﹣48+80＝32，
当x＝24时，周销售这种纪念册可获利：（24﹣20）×32＝4×32＝128（元），
故答案为：32，128；
（2）由题意可得，
（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得x1＝25，x2＝35（舍去），
答：当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是25元．
21．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
问：如图1：（1）图中△APD≌ △CPD ；△APE∽ △FPA ；
（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么数量关系（用等式表示）？说明理由；
（3）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，且PE＝，OE＝，求菱形的边长．
【分析】（1）由菱形的性质得到∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，CD∥AB，然后得到△APD≌△CPD，进而得到∠PAD＝∠PCD，再结合CD∥AB得到∠F＝∠PAD，最后得证△APE∽△FPA；
（2）先由△APE∽△FPA得到，再结合△APD≌△CPD得到PA＝PC，进而得到PE、PF、PC之间的数量关系；
（3）先由CE⊥BC得到CE⊥AD，然后由点O是AC的中点得到OA、OC、AC的长度，再证明△POC∽△AEC，进而利用相似三角形的性质求得PC的长度，然后证明△ECD∽△EFA，进而得到ED与EA的比值，再根据比值设DE和EA的长，最后利用Rt△DEC的三边关系求得菱形的边长．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，CD∥AB，
∵DP＝DP，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠PAD＝∠PCD，
∵CD∥AB，
∴∠PCD＝∠F，
∴∠F＝∠PAD，
∵∠EPA＝∠APF，
∴△APE∽△FPA，
故答案为：△CPD，△FPA．
（2）猜想：PE•PF＝PC2，理由如下，
∵△APE∽△FPA，
∴，
∴PE•PF＝PA2，
∵△APD≌△CPD，
∴PA＝PC，
∴PE•PF＝PC2．
（3）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，点O是AC的中点，∠POC＝90°，
∵CE⊥BC，
∴CE⊥AD，
∴OA＝OC＝OE＝，∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠POC，AC＝2，
∵∠PCO＝∠ACE，
∴△POC∽△AEC，
∴，
设PC＝x，则EC＝EP+PC＝+x，
∴，
解得：x＝或x＝﹣4（舍），
∴PC＝，EC＝PE+PC＝+＝4，
∵PE•PF＝PC2，
∴PF＝（）2，
∴PF＝，
∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EFA，
∴，即，
设ED＝3a，EA＝2a，则AD＝5a，
∴CD＝5a，
在Rt△CED中，DE2+CE2＝CD2，
∴（3a）2+42＝（5a）2，
解得：a＝1，
∴CD＝5，
∴菱形的边长为5．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；
（3）根据题意画出图形，分CQ＝CP，PQ＝PC，QC＝QP三种情况进行讨论．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝BC•AC＝AB•CD．
∴CD＝＝＝4.8．
∴线段CD的长为4.8．
（2）由题可知有两种情形，
设DP＝t，CQ＝t．则CP＝4.8﹣t．
①当PQ⊥CD时，如图a
∵△QCP∽△△ABC
∴＝，即＝，
∴t＝3；
②当PQ⊥AC，如图b．
∵△PCQ∽△ABC
∴＝，即＝，解得t＝，
∴当t为3或时，△CPQ与△△ABC相似；
（3）①若CQ＝CP，如图1，
则t＝4.8﹣t．
解得：t＝2.4．
②若PQ＝PC，如图2所示．
∵PQ＝PC，PH⊥QC，
∴QH＝CH＝QC＝．
∵△CHP∽△BCA．
∴＝．
∴＝，解得t＝．
③若QC＝QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t＝．
综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．
2021-2022学年广东省深圳市罗湖区翠园中学东晓校区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
2．下面左侧几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
5．下列判定正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
6．罗湖区政府2020年投资5亿元用于保障性房建设，划到2022年投资保障性房建设的资金为9.8亿元．如果从2020年到2022年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（ ）
A．60% B．50% C．40% D．30%
7．已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
8．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
12．已知点A、B的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按相似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标为 ．
13．已知菱形ABCD，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是 ．
14．如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，若AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是的中点，则CM的长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．解下列方程
（1）x2+2x﹣1＝0
（2）x（2x+3）＝4x+6．
17．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
18．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
19．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长为 米．
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+80．
（1）当销售单价为24元时，销售量为 本，每周销售这种纪念册可获利 元；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
21．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
问：如图1：（1）图中△APD≌ ；△APE∽ ；
（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么数量关系（用等式表示）？说明理由；
（3）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，且PE＝，OE＝，求菱形的边长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3
【分析】因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
2．下面左侧几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可．
解：从几何体的正面看，是一行两个并列的矩形．
故选：A．
3．已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据内项之积等于外项之积对A进行判断；根据分比性质对B进行判断；根据合分比性质对C进行判断；根据合比性质对D进行判断．
解：A．因为2x＝3y，所以＝，所以A选项不符合题意；
B．因为2x＝3y，则＝，所以＝＝，所以B选项不符合题意；
C．因为2x＝3y，则＝，所以≠，所以B选项符合题意；
D．因为2x＝3y，所以＝，则＝，所以D选项不符合题意；
故选：C．
4．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案．
解：
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
5．下列判定正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．
解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；
B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B错误；
C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；
D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；
故选：C．
6．罗湖区政府2020年投资5亿元用于保障性房建设，划到2022年投资保障性房建设的资金为9.8亿元．如果从2020年到2022年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（ ）
A．60% B．50% C．40% D．30%
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2021年要投入资金是5（1+x）亿元，在2021年的基础上再增长x，就是2022年的资金投入5（1+x）（1+x）亿元，由此可列出方程5（1+x）2＝9.8，求解即可．
解：设年增长率是x，根据题意可得：
5（1+x）2＝9.8，
解得；x1＝﹣2.4（不合题意舍去），x2＝0.4＝40%．
故选：C．
7．已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】首先设关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的另一个实数根是α，然后根据根与系数的关系，即可得α+1＝﹣1，继而求得答案．
解：设关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的另一个实数根是α，
∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，
∴α+1＝﹣1，
∴α＝﹣2．
故选：A．
8．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．
解：∵AB被截成三等分，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴，
∴S△AFG：S△ABC＝4：9
S△AEH：S△ABC＝1：9
∴S△AFG＝S△ABC
S△AEH＝S△ABC
∴S阴影部分的面积＝S△AFG﹣S△AEH＝S△ABC﹣S△ABC＝S△ABC
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得，通过证明△ACD∽△CBD，可得，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得，通过证明△GEF∽△GBD，可得，即可求解．
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故A选项不合题意；
∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，
∴
故B选项不合题意；
∵AF⊥BG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠GBA＝90°，
∵∠GDB＝90°，
∴∠G+∠GBA＝90°，
∴∠G＝∠FAB，
又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴，
∴AD•BD＝DE•DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD•BD，
∴CD2＝DE•DG，
∴，
故C选项不合题意；
∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，
∴△GEF∽△GBD，
∴
故D选项符合题意，
故选：D．
10．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
【分析】①错误，
②正确．想办法证明∠GFM+∠AMD＝90°即可；
③正确．只要证明△CPM∽△HPC，可得＝，推出PC2＝PM•PH，根据对称性可知：PA＝PC，可得PA2＝PM•PH；
④错误．利用矩形的性质可知EF＝PC，当PC⊥BD时，EF的值最小，最小值为1；
解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF＝OC，
∴∠OCF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD＝90°，
∴∠GFM+∠AMD＝90°，
∴∠FGM＝90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP＝∠H，
∵∠DAP＝∠PCM，
∴∠PCM＝∠H，
∵∠CPM＝∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴＝，
∴PC2＝PM•PH，
根据对称性可知：PA＝PC，
∴PA2＝PM•PH．
④错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC＝2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故选：B．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分）
11．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 10 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，＝0.2，
解得，n＝10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
12．已知点A、B的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按相似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标为 （﹣2，1）或（2，﹣1） ．
【分析】利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或﹣，得出即可．
解：∵点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A'的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
13．已知菱形ABCD，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是 8 ．
【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，求出∠ABC＝60°，证得△ABC是等边三角形，求出AB＝4，根据勾股定理求出BO，进而求出BD，根据菱形的面积公式求出菱形的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴AO＝2，AB＝AC＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：DO＝BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝4×4＝8，
故答案为：8．
14．如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD：CD＝2：3，点E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为 ．
【分析】如图，过点D作DT∥BF交AC于点T．证明AF＝FT，CT：FT＝3：2，可得结论．
解：如图，过点D作DT∥BF交AC于点T．
∵AE＝DE，EF∥DT，
∴AF＝FT，
∵DT∥BF，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为：．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，若AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是的中点，则CM的长是 ．
【分析】由“ASA”可证△DEG≌△CFG，可得DE＝CF，EG＝FG，由勾股定理可求CF＝DE＝3，BH＝5，通过证明△CFM∽△BFH，可得，即可求解．
解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝8，
∴CG＝DG＝×8＝4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝4+x+x＝4+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴4+2x＝2，
解得x＝3，
∴AD＝AE+DE＝4+3＝7，
∴BC＝AD＝7，
BF＝4+2x＝10，
如图，连接HE，
∵FH垂直平分BE，
∴BH＝EH，
∵AH2+AE2＝HE2，
∴（8﹣BH）2+16＝BH2，
∴BH＝5，
∵AB∥CD，
∴△CFM∽△BFH，
∴，
∴，
∴CM＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．解下列方程
（1）x2+2x﹣1＝0
（2）x（2x+3）＝4x+6．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
解：（1）x2+2x＝1，
∴（x+1）2＝2，
∴x+1＝
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
（2）x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0
∴（2x+3）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝2．
17．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
【分析】（1）根据概率的意义，从4张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再求相应的概率即可．
解：（1）从黑2，红3，梅4，方5这4张扑克牌中任摸一张，是红心的可能性为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果，其中和大于7的有4种，
所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为＝．
18．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝，解得：y＝3，经检验y＝3是原方程的根．
∵＝，即＝，
解得x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
19．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长为 （24﹣3x） 米．
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
【分析】（1）设花圃的宽AB＝x米，由矩形的周长公式列出BC长的解析式即可；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
解：（1）设花圃的宽AB为x米，则BC＝22+2﹣3x＝（24﹣3x）（米）．
故答案为：（24﹣3x）；
（2）x（24﹣3x）＝45，
化简得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝5，x2＝3．
当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；
当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．
答：花圃的宽为5米．
20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣2x+80．
（1）当销售单价为24元时，销售量为 32 本，每周销售这种纪念册可获利 128 元；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
【分析】（1）将x＝24代入题目中的函数解析式，求出相应的y的值，即此时的销售量，再根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，计算出相应的利润即可；
（2）根据文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润，可以得到关于x的一元二次方程，然后求解即可，注意要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．
解：（1）当x＝24时，y＝﹣2×24+80＝﹣48+80＝32，
当x＝24时，周销售这种纪念册可获利：（24﹣20）×32＝4×32＝128（元），
故答案为：32，128；
（2）由题意可得，
（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得x1＝25，x2＝35（舍去），
答：当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是25元．
21．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
问：如图1：（1）图中△APD≌ △CPD ；△APE∽ △FPA ；
（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么数量关系（用等式表示）？说明理由；
（3）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，且PE＝，OE＝，求菱形的边长．
【分析】（1）由菱形的性质得到∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，CD∥AB，然后得到△APD≌△CPD，进而得到∠PAD＝∠PCD，再结合CD∥AB得到∠F＝∠PAD，最后得证△APE∽△FPA；
（2）先由△APE∽△FPA得到，再结合△APD≌△CPD得到PA＝PC，进而得到PE、PF、PC之间的数量关系；
（3）先由CE⊥BC得到CE⊥AD，然后由点O是AC的中点得到OA、OC、AC的长度，再证明△POC∽△AEC，进而利用相似三角形的性质求得PC的长度，然后证明△ECD∽△EFA，进而得到ED与EA的比值，再根据比值设DE和EA的长，最后利用Rt△DEC的三边关系求得菱形的边长．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP＝∠CDP，AD＝CD，CD∥AB，
∵DP＝DP，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠PAD＝∠PCD，
∵CD∥AB，
∴∠PCD＝∠F，
∴∠F＝∠PAD，
∵∠EPA＝∠APF，
∴△APE∽△FPA，
故答案为：△CPD，△FPA．
（2）猜想：PE•PF＝PC2，理由如下，
∵△APE∽△FPA，
∴，
∴PE•PF＝PA2，
∵△APD≌△CPD，
∴PA＝PC，
∴PE•PF＝PC2．
（3）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，点O是AC的中点，∠POC＝90°，
∵CE⊥BC，
∴CE⊥AD，
∴OA＝OC＝OE＝，∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠POC，AC＝2，
∵∠PCO＝∠ACE，
∴△POC∽△AEC，
∴，
设PC＝x，则EC＝EP+PC＝+x，
∴，
解得：x＝或x＝﹣4（舍），
∴PC＝，EC＝PE+PC＝+＝4，
∵PE•PF＝PC2，
∴PF＝（）2，
∴PF＝，
∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EFA，
∴，即，
设ED＝3a，EA＝2a，则AD＝5a，
∴CD＝5a，
在Rt△CED中，DE2+CE2＝CD2，
∴（3a）2+42＝（5a）2，
解得：a＝1，
∴CD＝5，
∴菱形的边长为5．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；
（3）根据题意画出图形，分CQ＝CP，PQ＝PC，QC＝QP三种情况进行讨论．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝BC•AC＝AB•CD．
∴CD＝＝＝4.8．
∴线段CD的长为4.8．
（2）由题可知有两种情形，
设DP＝t，CQ＝t．则CP＝4.8﹣t．
①当PQ⊥CD时，如图a
∵△QCP∽△△ABC
∴＝，即＝，
∴t＝3；
②当PQ⊥AC，如图b．
∵△PCQ∽△ABC
∴＝，即＝，解得t＝，
∴当t为3或时，△CPQ与△△ABC相似；
（3）①若CQ＝CP，如图1，
则t＝4.8﹣t．
解得：t＝2.4．
②若PQ＝PC，如图2所示．
∵PQ＝PC，PH⊥QC，
∴QH＝CH＝QC＝．
∵△CHP∽△BCA．
∴＝．
∴＝，解得t＝．
③若QC＝QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t＝．
综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．
相关试卷
广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2023-2024学年八年级上学期数学期中模拟试题： 这是一份广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2023-2024学年八年级上学期数学期中模拟试题，共12页。
精品解析：广东省深圳市罗湖区翠园中学初中部2021-2022学年九年级上学期开学数学试题： 这是一份精品解析：广东省深圳市罗湖区翠园中学初中部2021-2022学年九年级上学期开学数学试题，文件包含精品解析广东省深圳市罗湖区翠园中学初中部2021-2022学年九年级上学期开学数学试题原卷版docx、精品解析广东省深圳市罗湖区翠园中学初中部2021-2022学年九年级上学期开学数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
精品解析：广东省深圳市罗湖区翠园初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题： 这是一份精品解析：广东省深圳市罗湖区翠园初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题，文件包含精品解析广东省深圳市罗湖区翠园初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题原卷版docx、精品解析广东省深圳市罗湖区翠园初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
