高考数学三轮冲刺卷：数列前n项和的求法（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：数列前n项和的求法（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于
A. B. C. D.

2. 已知等差数列 ，，，则公差 等于
A. B. C. D.

3. 设数列 是首项为 的等比数列．若 是等差数列，则 的值等于
A. B. C. D.

4. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．该数列从第一项起依次是 ，，，，，，，，，，，记该数列为 ，则
A. B. C. D.

5. 数列 中， ， ， 是方程 的两个根，则数列 的前 项和
A. B. C. D.

6. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 ，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一项是 ，接下来的两项是 ，，再接下来的三项是 ，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的前 项和为 的整数幂．那么该款软件的激活码是
A. B. C. D.

7. 已知数列 的各项均为正数，，，若数列 的前 项和为 ，则
A. B. C. D.

8. 若 ，则 等于
A. B. C. D.

9. 已知数列 的通项公式是 ，则其前 项和
A. B. C. D.

10. 设 为等差数列 的前 项和，，，若 的前 项和为 ，则 的值为
A. B. C. D.

11. 数列 的通项公式是 ，前 项和 为 ，则
A. B. C. D.

12. 数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 为
A. B. C. D.

13. 已知数列 中，，且对任意的 ，都有 ，则
A. B. C. D.

14. 已知数列 ，，，，，那么数列 前 项的和为
A. B. C. D.

15. 在数列 中，，若 的前 项和为 ，则项数 为
A. B. C. D.

16. 数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于
A. B. C. D.

17. 已知数列 的通项公式为 ，则数列 中的最大项是
A. B. C. D.

18. 已知函数 （，， 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.

19. 已知 是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意实数 满足：，考察下列结论：
① ；
②数列 为等比数列；
③数列 为等差数列．
其中正确的结论是
A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③

20. 如图，点 ，，，， 和 ，，，， 分别在角 的两条边上，所有 相互平行，且所有梯形 的面积均相等．设 ．若 ，，则数列 的通项公式是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 设 + + + ，则不大于 的最大整数 等于 ．

22. 数列 的通项公式 ，其前 项和 ，则 ．

23. 数列 满足 ，前 项和为 ，则 ．

24. 已知数列 的前 项和 满足 ，则数列 的前 项的和为 ．

25. 如图，互不相同的点 和 分别在角 的两条边上，所有 相互平行，且所有梯形 的面积均相等．设 ．若 ，则数列 的通项公式是 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ，已知 ，，，．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）当 时，记 ，求数列 的前 项和 ．

27. 已知数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．

28. 已知数列 满足：，，且 ，．
（1）求 ，，， 的值及数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．

29. 已知数列 为等比数列，且 ．
（1）求数列 的公比；
（2）若 ，，求数列 的前 项和 ．

30. 已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，，数列 满足 ，且 ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
答案
1. B
2. B【解析】设数列 的公差为 ，则 ，
所以 ．
3. C【解析】由 是等差数列得 ，代入 可求得 ，因此 为常数列， 也为常数列，每一项都等于 ，所以 ．
4. B【解析】奇数项分别为 ，，，，，，即 ，，，，，，
所以 （ 为正奇数），
所以 （ 为大于 的奇数），
所以 ．
5. D
6. A【解析】设该数列为 ，设 ，则 ，
由题意可设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，则 ．
可知当 为 时 ，数列 的前 项和为数列 的前 项和，即为 ．
容易得到 时，，
A 项，由 ，，可知 ，故 A 项符合题意．
B 项，仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 B 项不符合题意．
C 项，仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 C 项不符合题意．
D 项，仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 D 项不符合题意．
方法二：由题意可知：，，，，，
根据等比数列前 项和公式，求得每项和分别为：，，，，，
每项含有的项数为：，，，，，
总共的项数为 ，
所有项数的和为

由题意可知： 为 的整数幂．只需将 消去即可，
则① ，解得：，总共有 ，不满足 ，
② ，解得：，总共有 ，不满足 ，
③ ，解得：，总共有 ，不满足 ，
④ ，解得：，总共有 ，满足 ．
所以该款软件的激活码为 ．
7. C【解析】依题意有 ，
即数列 是以 首项，公差为 的等差数列，
故 ，，
，
前 项和 ，
所以 ，．
8. C【解析】，， ，所以 .
9. D
10. B
【解析】设等差数列的公差为 ，则由题意可得 ，，联立解得 ，，
所以 ，
所以

所以

所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
11. C
12. A【解析】由于 以 为周期，故
13. D
14. A【解析】因为 ，
所以 ．
所以 ．
15. C
【解析】因为 ，所以 ，解得 ．
16. B
17. B【解析】，又 ，所以当 时， 取得最大值，为 ．
18. A【解析】由题意知函数 在区间 ，即 上单调递减，且 是它的对称轴．
将要比较大小的自变量调整到区间 上再比较：，，而 ，故 ，即 ．
19. A【解析】给 赋值，使它们都等于 ，再使它们都等于 ，得到结论①正确；
可算得 ，所以 为等比数列， 为等差数列．
20. A
【解析】设 ，，由题意可得，，得 ，所以 ，所以 ，所以 ．
21.
【解析】
所以
，故 ．
22.
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，．
23.
【解析】，
当 为奇数时，；
当 为偶数时，．
设数列 的前 项和为 ，

所以 ．
24.
【解析】，
当 时，，
当 时，
，
当 时，，符合 ，
所以 ，，
，

25.
【解析】设 ，
∴ 是三角形 的中位线，∴ ，
∴梯形 的面积 ．
故梯形 的面积 ．
∵所有 相互平行，∴所有 都相似，
∴ ，，，
∵ ，∴ ，，
∴数列 是一个等差数列，其公差 ，
故 ，∴ ，
因此数列 的通项公式是 ．故答案为 ．
26. （1） 由题意得
即
解得 或
故 或
（2） 由 ，知 ，，
故 ，
于是 ，①
．②
① ②可得 ，
故 ．
27. （1） 由已知得 ．
当 时，，即 ；
当 时，
两式相减得
即
经检验： 满足 ．
综上：数列 的通项公式为 ．
（2） 由已知得 ，

28. （1） 经计算 ，，，．
当 为奇数时，，即数列 的奇数项成等差数列，
所以 ；
当 为偶数时，，即数列 的偶数项成等比数列，
所以 ．
因此，数列 的通项公式为
（2） 因为 ，所以
得

所以 ．
29. （1） 设等比数列 的公比为 ，
由 ，可得 ，
即为 ，
解得 ．
（2） 由 ，可得 ，
又 ，则 ，
所以 ，
所以前 项和

30. （1） 当 时，，
即 ，
因为 ，
所以 ，
由 可得 ，
即 ，
因为 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 是公差为 ，首项为 的等差数列．
所以 ，
由题意得：，
因为 ，
所以 ，
由
两式相除得：，
所以 是奇数时， 是公比为 ，首项为 的等比数列，
所以 ，
同理， 是偶数时， 是公比为 ，首项为 的等比数列，
所以 ．
综上 ．
（2） ，
即 ，
令 的前 项和为 ，
则
两式相减得：，
所以 ，
令 的前 项和为 ，
所以 ，
综上 ．