高考数学三轮冲刺卷：数列的周期性（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：数列的周期性（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 已知数列 中，，，则
A. B. C. D.

2. 把正整数按如图所示的规律排序，则从 到 的箭头方向依次为
A. B.
C. D.

3. 数列 满足 ，，则
A. B. C. D.

4. 设 表示正整数 的个位数，例如 ．若 ，则数列 的前 项的和等于
A. B. C. D.

5. 已知数列 满足 ，，则 的值为
A. B. C. D.

6. 已知数列 中，，，，则
A. B. C. D.

7. 一个机器猫每秒钟前进或后退 步，程序设计人员让机器猫以每前进 步后再后退 步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以 步的距离为 个单位长，令 表示第 秒时机器猫所在的位置的坐标，且 ，那么下列结论中错误的是
A. B.
C. D.

8. 已知数列 满足 ，（），则 等于
A. B. C. D.

9. 已知数列 中，，，，能使 的 可以等于
A. B. C. D.

10. 已知数列 满足 ，如果 ，该数列前 项的和是
A. B. C. D.

11. 已知数列 满足 ，且 ，则该数列的前 项的和等于
A. B. C. D.

12. 在数列 中，，， ，则
A. B. C. D.

13. 数列 满足 ，，其前 项的积为 ，则 的值为
A. B. C. D.

14. 已知数列 满足 ，，则 等于
A. B. C. D.

15. 在数列 中，，，则 的值为
A. B. C. D. 以上都不对

16. 按照规律：那么从 到 的顺序为
A. B.
C. D.

17. 已知数列 满足 ，若 ，则
A. B. C. D.

18. 数列 满足 ，，则 等于
A. B. C. D.

19. 已知 是 上最小正周期为 的周期函数，且当 时，，则函数 的图象在区间 上与 轴的交点的个数为
A. B. C. D.

20. 数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 为
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 在数列 中，，设 是数列 的前 项和，则： 的值为 ．

22. 已知数列 中， 是其前 项和，若 ，，，且 ，则 ．

23. 若数列 满足 ，，，则 等于 ．

24. 已知数列 满足 ，，则 ．

25. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为 ．第二位同学首次报出的数也为 ，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为 的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 设函数 定义如下表，数列 满足 ，且对于任意的正整数 ，均有 ，求 的值．

27. 已知在数列 中，，，通项 是关于 的一次函数．
（1）求 的通项公式并求 ；
（2）若 是由 ，，， 组成的，试归纳出 的一个通项公式．

28. 已知数列 的一个通项公式为 ，，求数列 的最大项．

29. 已知实数 ，，，当 取到最大值时，有多少个 ?

30. 用数学归纳法证明：．
答案
1. A
2. B
3. D
4. D【解析】因为 ，，，，，，，，， ，数列 的前 项和为 ，又数列 是周期为 的周期数列，所以 ．
5. C
6. C
7. D【解析】易知A、B正确，又机器猫每 秒钟实际向前进一步，故
8. A
9. C
10. D
11. C【解析】因为 ，，
所以 ，
从而 ，，，
可得 ，
故数列的前 项的和 ．
12. B【解析】因为在数列 中，，， ，
所以 ，同理可得 ，，，，，，可得 ．则 .
13. B【解析】由 得 ．
因为 ，所以 ，，，，．
故数列 具有周期性，周期为 ，因为 ，所以 ．
14. C【解析】由 及递推公式，得 ，，，，．由此， 是以 为周期的数列，所以 ．
15. C
16. A
17. D【解析】由已知，，，，，依此规律数列 周期为 ，又 ，故 ．
18. D
19. B【解析】当 时，令 ，得 或 ．根据周期函数的性质，由 的最小正周期为 ，可知 在 上有 个零点，又 ，所以 在 上与 轴的交点个数为 ．
20. A
【解析】由于 以 为周期，故
21.
22.
【解析】由题可知，，，，，，． 周期为 ，．
23.
【解析】我们分别列举出前几项，发现 的是周期数列，周期为 ，所以 ．
24.
25.
【解析】所报的数依次为 ，他们被 除的余数分别为 ，这个余数组成的数列每 个数出现一个 ，即原数可以被 整除，然后算下前 个数有几个可以被 整除即可．
26. 因为 ，
所以 ，
，
，
，
，

不难看出数列 是以 为周期的周期数列，
所以 ．
27. （1） 设 ，
由题意，得
解得 所以 ．
所以 ．
（2） 因为 ，，，，，即为 ，，，，，
所以 ．
28. 易得 ，且 ，
所以当 时，，即 ；
当 时，，即 ，
所以数列 的最大项为 ．
29. 设 ，则 ，且 ，．
于是原问题转化为当 取最大值时，有几个 ．
当 中有不少于两个数，且同时不等于 ，不等于 时，设为 ，．
（i） 时，则
即 ．故不改变其他数字，用 代替 ， 代替 ， 增大；
（ii） 时，则 ，故用 代替 ， 代替 ， 增大．
综上所述，当 取最大值时，至多只有一个 ，且 ．
而 ，故 中应取 个 ， 个 ， 个 ．即有 个 ．
30. （）当 时，，，，
所以 时等式成立．
（）假设 时等式成立，即 ，
那么，当 时，

等式也成立．
由（）（）可知对任意的 ，．