新高考数学三轮冲刺大题突破练习专题02 数列（解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺大题突破练习专题02 数列（解析版），共36页。

专题02 数列
数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质
考察题型一般为：
1 错位相减求和
2 裂项相消求和
3 （并项）分组求和
4 数列插项问题
5 不良结构问题
6 数列与其他知识点交叉问题
在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视

题型一：数列错位错位相减求和
1．已知为首项的等比数列，且，，成等差数列；又为首项的单调递增的等差数列，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)分别求数列，的通项公式；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析

【分析】（1）由，，成等差数列求出公比可得的通项公式，由，，成等比数列求出公差可得的通项公式；
（2）利用错位相减可得可得答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为数列的公差为
由题知：，即，
即，，解得，
所以，
又，即，即，
解得（舍）或，
所以；
（2），，，
，①
，②
由①②知：，
即，
∴．

1．若等差数列的前n项和为，数列是等比数列，并且 ，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，求数列的前n项和
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）设 的公差为d， 的公比为q，
依题意有： ，
，解得 （舍）， ，
；
（2）令 ， ，
…①，
…②，
①-②得：

，
；
（3） ，

；
综上， ，， .

题型二：裂项相消求和
1 已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）当时，，
，即，
又当时，，得，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
则，

.

1．已知正项数列的前项和为，且.
(1)证明：是等差数列.
(2)设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由可得，
当时，两式相减可得
，

又由可得解得
是以为首项，为公差的等差数列，
（2）由（1）可得，，
所以，
所以
因为在内单调递增，所以，单调递增，
因为，，所以满足不等式的正整数的个数为3，的取值范围为

题型三：（并项）分组求和
设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为数列的前n项的和，证明：；
(3)任意，求数列的前项的和．
【答案】(1);.(2)证明见解析.(3).
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，
设公比为q,，则，即，
故，所以；
数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，
当时，，则，
当时，，，
两式相减得，即，
因为，故，
即数列为等差数列，故.
（2）证明：由（1）知，，
则，
故，
故
，
所以，
故，
当时，，
当时，
设，则，
当时，，时取等号，即，
当时,随n的增大而减小，
故的最大值为，
综合可得.
（3）任意，即，
设数列的前项的和为 ，
则
，

.
注：数学归纳法证明：；
证明：当时，等式左边，右边，等式成立；
假设时，，
则时，
，
即时，结论也成立，
综合可得.

1．已知数列满足,.
(1)记,写出,,,,并猜想数列的通项公式;
(2)证明（1）中你的猜想;
(3)若数列的前n项和为,求.
【答案】(1),,,,猜想(2)证明见解析(3)
【详解】（1）由题知,
因为,所以,
,,
,,
,,
综上:,,,,
猜想.
（2）由题意,知,,代入得,
于是,即,
因为,所以是以3为首项,2为公比的等比数列,
故.
（3）因为,






.

题型四：数列插项问题
1．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
【答案】(1)(2)1809
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.


1．已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）当时，，得，所以，
当时，所以，即，
所以所以
即数列是以为首项，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，所以，
由题意，即
所以，所以   设前项和为
所以即     ①
②
①-②得：
所以.

题型五 不良结构问题
1．已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.
问题：若，且______，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】(1)(2)答案见解析
【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，
因为，，成等比数列，所以，
解得或（舍去）.
所以，.
（2）解：选①，由，，
当时，，当时等式也成立，
所以，则，
所以，，，
两式相减得
，
所以.
选②，由，，
当时，，
所以，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，
所以，则，
所以，，，
两式相减得
，
所以.
选③，由，，得，又，
所以，
所以是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以.
当时，，当时等式也成立，
所以，则，
所以，，，
两式相减得
，
所以.

1．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列的前n项和为，，___________，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)(3)

【分析】（1）根据题意列式求解，即可求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和；
（3）根据题意可得存在，使得成立，根据存在性问题结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）若选①②：设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
故；
若选①③：设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
故；
若选②③：设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
故.
（2）由（1）可得，
故.
（3）∵，
∴，即，
∵，
又∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，即，
故实数的取值范围.

题型六 数列与其他知识点交叉问题
1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：
游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．
游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．
游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则，，，其中，，．假设，．
（i）证明：为等比数列；
（ii）根据的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．

【答案】(1)分布列见解析
(2)（i）证明见解析（ii）这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设
【详解】（1）由题意知所有可能的取值为，
，，，
所有分布列为：


0
1




（2）（i）证明：因为，
所以，
，
，
因为，
所以，
整理得：，，
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）知
所以，
累加求和得，
所以，
所以
表示甲小朋友当前累计得分为分时，本轮游戏最终甲获胜的概率，
由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5，
乙小朋友完成一次游戏中的指令动作的概率为0.6，
本轮游戏中甲小朋友获胜的概率，
这种情况发生的概率比较小，能够说明这种游戏方案能够充分验证
“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，
乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．

1．已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)设函数（，），若函数和都是奇函数，将满足条件的按从小到大的顺序组成一个数列，求的通项公式；
(3)求实数与正整数，使得在内恰有147个零点.
【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2)(3)当，或，

【详解】（1），
因为，，，，
所以是非奇非偶函数.
（2）由和都是奇函数，则得进而得其中，.因为，所以，得，于是
由，得满足条件的按从小到大的顺序组成的数列的通项公式为，为正整数.
（3）.
设，则，得，，.
当时，函数有一个零点（另一个零点，舍去），则在内有两个零点，；当时，函数有一个零点（另一个零点，舍去），则在内有两个零点，；当时，函数有一个零点，另一个零点，则在和内分别有两个零点.
由正弦函数的周期性，可知当且时，函数在内总有偶数个零点，从而不存在正整数满足题意.
当时，函数有一个零点，另一个零点，则在内有三个零点；
当时，函数有一个零点，另一个零点，则在内有三个零点.
由正弦函数的周期性，以及，所以.
综上可知，当，或，时，函数在内恰有147个零点.





一、解答题
1．已知数列的前项之积为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和.
请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.
【答案】(1)；(2).

【分析】（1）根据当时，计算并检验成立即可得答案；
（2）根据等差数列基本计算得，进而，再分组求和即可.
【详解】（1）解：当 时，
当时，
综上，；
（2）解：若选①，
设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得
所以，，
所以，，
所以，

所以，
若选②，
设等差数列的公差为，
因为，所以，
又因为，所以，解得
所以，，
所以，，
所以，
所以，

2．已知数列的前项和为.
(1)求及的通项公式；
(2)若对任意的恒成立，求的最小值.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1），
时，，
时上式也符合，即，
所以，时，，
时，上式也符合.
所以，.
（2）时，

故

所以对任意的均成立，
由于，
所以，故.

3．在数列中，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）由，得，由，得，
则，所以，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）得，则，所以，
所以．
所以


4．已知正项等差数列和正项等比数列，为数列的前n项和，且满足．
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．
【答案】(1)，;(2)11302.
因为所以，解得：，所以.
设正项等比数列的公比为.
因为所以，解得：，所以.
（2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、3264、128、256，对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列.
设数列的前n项和为Bn，所以
.

5．已知为首项的等比数列，且，，成等差数列；又为首项的单调递增的等差数列，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)分别求数列，的通项公式；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【详解】（1）设等比数列的公比为数列的公差为
由题知：，即，
即，，解得，
所以，
又，即，即，
解得（舍）或，
所以；
（2），，，
，①
，②
由①②知：，
即，
∴．

6．设数列的前项之积为，且满足．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，证明：．
【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析
【详解】（1）方法一：当，得，
当时，①
②
两式相除可得：
即，又，
故，
变形为：，
因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列．
所以
化简可得
法二：因为，，
所以
即
令，则，
所以以3为首项，以2为公差的等差数列，
所以，即，
所以．
又因为满足上式，
所以，
所以，故，
故数列是等差数列．
（2）


因为，
所以

7．设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为数列的前n项的和，证明：；
(3)任意，求数列的前项的和．
【答案】(1);.(2)证明见解析.(3).
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，
设公比为q,，则，即，
故，所以；
数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，
当时，，则，
当时，，，
两式相减得，即，
因为，故，
即数列为等差数列，故.
（2）证明：由（1）知，，
则，
故，
故
，
所以，
故，
当时，，
当时，
设，则，
当时，，时取等号，即，
当时,随n的增大而减小，
故的最大值为，
综合可得.
（3）任意，即，
设数列的前项的和为 ，
则
，

.
注：数学归纳法证明：；
证明：当时，等式左边，右边，等式成立；
假设时，，
则时，
，
即时，结论也成立，
综合可得.





一、解答题
1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．

2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴

3．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．

4．（2022·北京·统考高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
【答案】(1)是连续可表数列；不是连续可表数列．
(2)证明见解析．3)证明见解析．

【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；
（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．
（1）
，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
（2）
若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
（3）
，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则（有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上，
当时，数列满足题意，
．

5．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.

6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以

7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论


．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．

8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.
（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.
【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）［方法一］：规律探索
由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
［方法二］【最优解】：
由题意，，即，当时，．
当时，，则
．
［方法三］：
由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，．
所以

．
所以数列的前100项和．

9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：


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