2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题06函数及其表示（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题06函数及其表示（教师版），共19页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
【考点预测】
1.函数的概念
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
【常用结论】
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
【方法技巧】
1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
2.构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
3.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
4.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
5.函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
6.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
7.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
二、【题型归类】
【题型一】判断两个函数是否相等
【典例1】已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数中与f(x)相等的函数是( )
A．g(x)＝eq \f(|x2－1|,|x＋1|)
B．g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|x2－1|,|x＋1|)，x≠－1，,2，x＝－1))
C．g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，x＞0，,1－x，x≤0))
D．g(x)＝x－1
【解析】∵g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|x2－1|,|x＋1|)＝|x－1|，x≠－1，,2，x＝－1)) 与f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选B.
【典例2】下列各组函数中，是同一函数的是( )
A．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \r(3,x3)
B．f(x)＝eq \f(|x|,x)，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x＜0))
C．f(x)＝eq \r(2n＋1,x2n＋1)，g(x)＝(eq \r(2n－1,x))2n－1，n∈N*
D．f(x)＝eq \r(x)·eq \r(x＋1)，g(x)＝eq \r(x（x＋1）)
【解析】对于A，f(x)＝eq \r(x2)＝|x|，g(x)＝eq \r(3,x3)＝x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以不是同一函数；对于C，当n∈N*时，2n±1为奇数，则f(x)＝eq \r(2n＋1,x2n＋1)＝x，g(x)＝(eq \r(2n－1,x))2n－1＝x，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D，f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数．故选C.
【典例3】(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0))
D．f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x)
【解析】AC正确，B定义域不同，D对应法则不同.故选AC.
【题型二】求具体函数定义域
【典例1】函数f(x)＝＋eq \r(4－x2)的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
【解析】要使函数有意义，
则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1≠1，,4－x2≥0，))
解得－1所以x∈(－1,0)∪(0,2]．
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．
故选B.
【典例2】函数y＝lg(x2－4)＋eq \r(x2＋6x)的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
【解析】由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4>0，,x2＋6x≥0，))
解得x>2或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．故选B.
【典例3】函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
【解析】要使函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x－1)有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－4x2>0，,3x－1>0))⇒eq \f(1,3)∴函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))).故选B.
【题型三】求抽象函数定义域
【典例1】若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
【解析】∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，
∴函数f(x－1)的定义域为[1,3]．
【典例2】已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋eq \r(1－2x)的定义域为__________．
【解析】由条件可知，函数的定义域需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤2x≤2，,1－2x≥0，))
解得－1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[－1,0]．
【典例3】已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(2x)的定义域为________．
【解析】令1≤2x≤7，得0≤x≤lg27，故所求函数的定义域为[0，lg27]．故填[0，lg27]．
【题型四】求函数的解析式
【典例1】若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于( )
A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1) C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)－1
【解析】f(x)＝eq \f(\f(1,x),1－\f(1,x))＝eq \f(1,x－1)(x≠0且x≠1)．
故选B.
【典例2】已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝1，,a＋b＝－1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(3,2).))
∴f(x)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2.
【典例3】定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝________________.
【解析】当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
将x换成－x，则－x换成x，得
2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，f(x)＝eq \f(2,3)lg(x＋1)＋eq \f(1,3)lg(1－x)(－1【题型五】求常见函数的值域
【典例1】函数y＝eq \f(x－3,x＋1)的值域为________．
【解析】y＝eq \f(x－3,x＋1)＝eq \f(x＋1－4,x＋1)＝1－eq \f(4,x＋1)，因为eq \f(4,x＋1)≠0，且可取除0外的一切实数，所以1－eq \f(4,x＋1)≠1，且可取除1外的一切实数．故函数的值域是{y|y∈R且y≠1}．故填{y|y∈R且y≠1}．
【典例2】函数y＝x＋eq \r(x－1)的值域为________．
【解析】函数的定义域为[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y＝x和y＝eq \r(x－1)都是增函数， ∴y＝x＋eq \r(x－1)也是增函数，∴当x＝1时取得最小值1，∴函数的值域是[1，＋∞)．故填[1，＋∞)．
【典例3】求下列函数的值域：
(1)y＝eq \f(1－x2,1＋x2)；
(2)y＝2x＋eq \r(1－x)；
(3)y＝2x＋eq \r(1－x2)；
(4)y＝eq \f(x2－2x＋5,x－1)；
(5)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域；
(6)f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2x＋1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－4)).
【解析】(1)解法一：(反解)
由y＝eq \f(1－x2,1＋x2)，解得x2＝eq \f(1－y,1＋y)，
∵x2≥0，∴eq \f(1－y,1＋y)≥0，解得－1＜y≤1，
∴函数值域为(－1，1]．
解法二：(分离常数法)
∵y＝eq \f(1－x2,1＋x2)＝－1＋eq \f(2,1＋x2)，
又∵1＋x2≥1，∴0＜eq \f(2,1＋x2)≤2，∴－1＜－1＋eq \f(2,x2＋1)≤1，
∴函数的值域为(－1，1]．
(2)(代数换元法)
令t＝eq \r(1－x)(t≥0)，∴x＝1－t2，
∴y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(17,8).
∵t≥0，∴y≤eq \f(17,8)，故函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(17,8))).
(3)(三角换元法)
令x＝cst(0≤t≤π)，
∴y＝2cst＋sint＝eq \r(5)sin(t＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中csφ＝\f(1,\r(5))，sinφ＝\f(2,\r(5)))).
∵0≤t≤π，∴φ≤t＋φ≤π＋φ，
∴sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1.
故函数的值域为[－2，eq \r(5)]．
(4)解法一：(不等式法)
∵y＝eq \f(x2－2x＋5,x－1)＝eq \f(（x－1）2＋4,x－1)＝(x－1)＋eq \f(4,x－1)，
又∵x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0，
∴当x>1时，y＝(x－1)＋eq \f(4,x－1)≥2eq \r(4)＝4，且当x＝3，等号成立；
当x<1时，y＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－（x－1）＋\f(4,－（x－1）)))≤－4，且当x＝－1，等号成立．
∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
解法二：(判别式法)
∵y＝eq \f(x2－2x＋5,x－1)，∴x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，
又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∴方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的实根．
∴Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0，解得y≤－4或y≥4.
当y＝－4时，x＝－1；y＝4时，x＝3.
故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
(5)(单调性法)
∵3x2＋2y2＝6x，∴2y2＝6x－3x2≥0，解得0≤x≤2.
z＝x2＋y2＝x2＋3x－eq \f(3,2)x2
＝－eq \f(1,2)x2＋3x＝－eq \f(1,2)(x－3)2＋eq \f(9,2).
∵对称轴为x＝3＞2，即z在x∈[0，2]上单调递增．
∴当x＝0时，z有最小值0，当x＝2时，z有最大值4，
故所求函数的值域为[0，4]．
(6)(图象法)
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－5，x＜－\f(1,2)，,3x－3，－\f(1,2)≤x≤4，,x＋5，x＞4，))
作出其图象，可知函数f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)，＋∞)).
【题型六】求分段函数的函数值
【典例1】已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg3x，x>0，,ax＋b，x≤0，))且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))等于( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
【解析】由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝eq \f(1,2).
故f(－3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝lg39＝2.
【典例2】已知函数，则f(2＋lg32)的值为________．
【解析】∵2＋lg31<2＋lg32<2＋lg33，即2<2＋lg32<3，∴f(2＋lg32)＝f(2＋lg32＋1)＝
f(3＋lg32)，又3<3＋lg32<4，∴f(3＋lg32)＝＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×＝eq \f(1,27)×＝eq \f(1,27)×＝eq \f(1,27)×＝eq \f(1,27)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,54)，∴f(2＋lg32)＝eq \f(1,54).
【典例3】已知，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．－1 D．1
【解析】f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－1))＋1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋1
＝cs eq \f(π,3)＋1＝eq \f(3,2)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))
＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝1.
故选D.
【题型七】分段函数与方程、不等式问题
【典例1】设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,|lg2x|，x>0，))则使f(x)＝eq \f(1,2)的x的集合为__________．
【解析】由题意知，若x≤0，则2x＝eq \f(1,2)，解得x＝－1；
若x>0，则|lg2x|＝eq \f(1,2)，解得x＝或x＝.
故x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\r(2)，\f(\r(2),2))).
【典例2】已知函数f(x)＝若f(a)>eq \f(1,2)，则实数a的取值范围是__________．
【解析】当a≤0时，令2a>eq \f(1,2)，解得－1当a>0时，令>eq \f(1,2)，解得0∴a∈(－1,0]∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))，即a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),3))).
【典例3】已知实数a≠0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
【解析】当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，
可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，
解得a＝－eq \f(3,2)，不合题意；
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，可得
－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，
解得a＝－eq \f(3,4)，符合题意．
综上，a＝－eq \f(3,4).
三、【培优训练】
【训练一】(多选)若函数f(x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，则称函数f(x)具有H性质．则下列函数中具有H性质的是( )
A．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝x2(x≥0)
D．f(x)＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(π,2)))
【解析】若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，则点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的中点在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))))的上方，如图eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中a＝f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，b＝\f(fx1＋fx2,2))).根据函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，f(x)＝ln x，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(π,2)))的图象可知，函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(π,2)))具有H性质，函数f(x)＝ln x不具有H性质．
【训练二】设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝eq \r(2)f(x)，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，－1【解析】因为f(x＋2)＝eq \r(2)f(x)，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋4))＝(eq \r(2))2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2eb，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋2))＝eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋a))＝eq \r(2)(a－1)，
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，所以eq \r(2)(a－1)＝2eb，所以a＝eq \r(2)eb＋1，因为b为正实数，
所以eq \f(a,b)＝eq \f(\r(2)eb＋1,b)＝eq \r(2)e＋eq \f(1,b)∈(eq \r(2)e，＋∞)，故eq \f(a,b)的取值范围为(eq \r(2)e，＋∞)．
【训练三】已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))＝4成立，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)))＝________.
【解析】由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋x))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))＝4，
得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)))＝4，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,8)))＝4，
…，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,8)))＝4，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,8)))＝2，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,8)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)))
＝4×7＋2＝30.
【训练四】定义在R上的函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（1－x），x≤0，,f（x－1）－f（x－2），x＞0，)) 则f(2 015)的值为________．
【解析】∵x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．
两式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)的周期为6，因此，f(2 015)＝f(6×335＋5)＝f(5)．又f(－1)＝lg22＝1，f(0)＝lg21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，∴f(2 015)＝1，故填1.
【训练五】已知函数f(x)＝lg2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________.
【解析】依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，
x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，f(x)∈[－1，1]，
x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1≤－1，,a＋4≥－1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1≤1，,a＋4≥1，))
解得－5≤a≤0.
【训练六】高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)，求函数y＝[f(x)]的值域.
【解析】f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)＝eq \f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq \f(2,2x＋1)，
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜eq \f(1,2x＋1)＜1，
则0＜eq \f(2,2x＋1)＜2，1＜1＋eq \f(2,2x＋1)＜3，
即1＜f(x)＜3.
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】图象①关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．故选B.
2. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,1－lg2x，x>0，))则f(f(8))等于( )
A．－1 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．2
【解析】∵f(8)＝1－lg28＝1－3＝－2，
∴f(f(8))＝f(－2)＝2－2＋1＝eq \f(1,2).
故选C.
3. 设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为( )
A.eq \f(1＋x,1－x)(x≠－1) B.eq \f(1＋x,x－1)(x≠－1)
C.eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1) D.eq \f(2x,x＋1)(x≠－1)
【解析】令t＝eq \f(1－x,1＋x)，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，
∴f(t)＝eq \f(1－t,1＋t)，
即f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1)．
故选C.
4. 函数的定义域为( )
A．(－∞，3] B．(1，＋∞)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
【解析】依题意，
即，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≤2，,x－1>0，))
解得1故选C.
5. 下列函数中，定义域与值域相同的是( )
A．y＝eq \r(x－1) B．y＝ln x
C．y＝eq \f(1,3x－1) D．y＝eq \f(x＋1,x－1)
【解析】y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，
函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}，故选D.
6. 函数y＝1＋x－eq \r(1－2x)的值域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
【解析】设eq \r(1－2x)＝t，则t≥0，x＝eq \f(1－t2,2)，所以y＝1＋eq \f(1－t2,2)－t＝eq \f(1,2)(－t2－2t＋3)＝－eq \f(1,2)(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤eq \f(3,2).所以函数y＝1＋x－eq \r(1－2x)的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))，故选B.
7. 定义a⊕b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a×b，a×b≥0，,\f(a,b)，a×b<0，))设函数f(x)＝ln x⊕x，则f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．4ln 2 B．－4ln 2
C．2 D．0
【解析】2×ln 2>0，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.
因为eq \f(1,2)×lneq \f(1,2)<0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(ln\f(1,2),\f(1,2))＝－2ln 2.则f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2ln 2－2ln 2＝0.
故选D.
8. 设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x>0，,x2，x≤0，))g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
【解析】对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）>0，,f 2（x），f（x）≤0，))当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A．
【多选题】
9. 下列四组函数中，f(x)与g(x)是相等函数的是( )
A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x
B．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2
C．f(x)＝x，g(x)＝eq \r(3,x3)
D．f(x)＝x，g(x)＝lgaax(a>0且a≠1)
【解析】对于选项A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项B，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于选项C，g(x)＝eq \r(3,x3)＝x，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数；对于选项D，g(x)＝lgaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．
故选CD.
10. 函数f(x)＝eq \f(x,1＋x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )
A．f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) B．－f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))
C．eq \f(1,f（x）)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) D．f(－x)＝－f(x)
【解析】根据题意得f(x)＝eq \f(x,1＋x2)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(\f(1,x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(2))＝eq \f(x,1＋x2)，所以f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))；f(－x)＝eq \f(－x,1＋（－x）2)＝－eq \f(x,1＋x2)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)．故AD正确，BC错误．故选AD.
11. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,－x2，x>0，))则下列结论中正确的是( )
A．f(－2)＝4 B．若f(m)＝9，则m＝±3
C．f(x)是偶函数 D．f(x)在R上单调递减
【解析】由于－2<0，所以f(－2)＝(－2)2＝4，故A选项正确；由f(m)＝9>0知m≤0且m2＝9，因此m＝－3，故B选项错误；由f(x)的图象(图略)可知f(x)是奇函数，且在R上单调递减，故C选项错误，D选项正确．故选AD.
12. 已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x－1），x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤1，))则下列结论正确的是( )
A．f(f(1))＝eq \f(\r(2),2) B．f(f(－1))＝eq \f(1,2)
C．f(f(0))＝eq \f(1,2) D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,19)))))＝19
【解析】f(f(1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)，选项A正确；f(f(－1))＝f(2)＝0≠eq \f(1,2)，选项B不正确；f(f(0))＝f(1)＝eq \f(1,2)，选项C正确；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,19)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,19)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg2\f(1,19))＝2eq \s\up12(lg2\f(1,19))＝19，选项D正确．
故选ACD.
【填空题】
13. 若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
【解析】由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－eq \f(1,2)x，
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2.))
答案：f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－\f(1,2)x，0≤x≤2))
14. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
【解析】因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
15. 设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝eq \f(1,x－1)；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的为________．(填序号)
【解析】由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③
16. 已知具有性质：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－eq \f(1,x)；②f(x)＝x＋eq \f(1,x)；
③f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，01.))
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
【解析】对于①，f(x)＝x－eq \f(1,x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足；对于②，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋x＝f(x)，不满足；
对于③，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0综上，满足“倒负”变换的函数是①③.
答案：①③
【解答题】
17. 设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,－x－2，x≤1，))求：(1)f(f(2))的值；
(2)求函数f(x)的值域．
【解析】(1)因为f(2)＝eq \f(1,2)，
所以f(f(2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)－2＝－eq \f(5,2).
(2)当x>1时，f(x)∈(0，1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．
18. 已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)（x≥0），,x2（x<0），))求f[f(x)]≥1的解集．
【解析】当x≥0时，f(x)＝eq \f(x,2)≥0，
所以f[f(x)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＝eq \f(x,4)≥1，解得x≥4；
当x<0时，f(x)＝x2>0，
所以f[f(x)]＝f(x2)＝eq \f(x2,2)≥1，解得x≥eq \r(2)(舍去)或x≤－eq \r(2).
综上，x≥4或x≤－eq \r(2).
19. 已知函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.))
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
【解析】(1)∵eq \f(3,2)＞1，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－2×eq \f(3,2)＋8＝5.
∵0＜eq \f(1,π)＜1，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))＝eq \f(1,π)＋5＝eq \f(5π＋1,π).
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
20. 已知f(x)＝eq \f(bx＋1,2x＋a)(a，b为常数，ab≠2)，且f(x)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝k为定值，求k的值．
【解析】∵f(x)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(bx＋1,2x＋a)·eq \f(\f(b,x)＋1,\f(2,x)＋a)
＝eq \f(（bx＋1）（b＋x）,（2x＋a）（2＋ax）)＝eq \f(bx2＋（b2＋1）x＋b,2ax2＋（a2＋4）x＋2a).
又由条件知当x≠0时，恒有：
f(x)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(bx2＋（b2＋1）x＋b,2ax2＋（a2＋4）x＋2a)＝k(常数)．
则f(1)·f(1)＝f(2)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝k.
即eq \f(b2＋2b＋1,a2＋4a＋4)＝eq \f(2b2＋5b＋2,2a2＋10a＋8)，
亦即2ab2＋2a＝a2b＋4b，∴(ab－2)(a－2b)＝0.
∵ab≠2，∴a－2b＝0，即a＝2b，
∴k＝f2(1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a＋2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,2（b＋1）)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).
21. 已知函数f(x)＝eq \r(（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6).
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数a的取值范围．
【解析】(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，
(i)当a＝1时，f(x)＝eq \r(6)，定义域为R，符合要求；
(ii)当a＝－1时，f(x)＝eq \r(6x＋6)，定义域不为R.
②若1－a2≠0，g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数，∵f(x)的定义域为R，∴g(x)≥0，∀x∈R恒成立，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－a2＞0，,Δ＝9（1－a）2－24（1－a2）≤0))
⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＜a＜1，,（a－1）（11a＋5）≤0))⇒－eq \f(5,11)≤a＜1.
综合①②得a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,11)，1)).
(2)∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴函数g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6取一切非负实数，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－a2＞0，,Δ＝9（1－a）2－24（1－a2）≥0))
⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＜a＜1，,（a－1）（11a＋5）≥0))⇒－1＜a≤－eq \f(5,11).
当a＝－1时，f(x)＝eq \r(6x＋6)的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．
故所求实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(5,11))).
22. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
【解析】(1)由题意及函数图象，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))解得m＝eq \f(1,100)，n＝0，
∴y＝eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)(x≥0).
(2)令eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}