奥数六年级下册 第13讲：应用题（一） 教案

（ 六年级 ）                                         备课教员：×××

第十三讲    应用题（一）

一、教学目标：

知识目标

1. 掌握和差倍问题的解题方法。
2. 掌握盈亏问题的解题方法。
3. 掌握鸡兔同笼问题的解题方法。

能力目标

1. 培养学生数学思维。
2. 培养学生知识归纳和分类的能力。

情感目标

1. 体会数学的趣味性，培养对数学的学习兴趣。
2. 激励学生学习数学，帮助学生认识自我，建立

   自信心。

二、教学重点：

1. 和差倍、盈亏问题、鸡兔同笼问题的掌握。

三、教学难点：

1. 从相应题型中找出题目隐藏的信息，并利用相关公式解题。

四、教学准备：

PPT、一定数量大拇指

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：通过简单和差问题回顾解题】

师：同学们，老师左右手各有一些大拇指，已知老师左右手共有30颗大拇指，

其中左手的大拇指数量比右手多20颗，那么请问左右手各有多少颗大拇

指？

生：……

师：首先，已知两个量的和与两个量的差，求这两个量，这属于一个什么问题？

生：和差问题。

师：对，同学们还记得和差问题的公式吗？

生：大数＝（和＋差）÷2。

生：小数＝（和－差）÷2。

师：没错，同学们掌握得不错。

（若本班同学基础较差，则需要推导和差公式）

【探究旧知，引入复习：
　　同学们，我们不仅学过了简单的和差问题，还学过相关的和差倍问题，那么这节课的学习，会在原来的基础上再上升一个难度。】

【板书课题：应用题（一）】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

    甲、乙两个车库共有汽车20辆，甲车库开进4辆，乙车库开出1辆，这时乙车库还比甲车库多1辆，求甲、乙两个车库原来各有车多少辆？

【讲解重点：和差公式的记忆和用法】

师：同学们，根据已知条件，我们可以知道哪些信息呢？

师：我们知道甲车库开进4辆，乙车库开出1辆后，这时乙车库还比甲车库多1

    辆，那么原来乙车库和甲车库相比谁多谁少呢？

生：乙车库多。

师：甲车库多了4辆，乙车库少了1辆，相当于甲车库多（4＋1）辆后，还比

    乙车库少1辆，那么原来甲、乙两车库相差多少？

生：原来乙车库比甲车库多（4＋1＋1）辆。

师：同时，我们还知道两个车库共有汽车20辆。知道两个数的和与差，我们可

    以利用什么方法来求解？

生：和差公式解。

师：和差公式是怎么样的？

生：大数＝（和＋差）÷2，小数＝（和－差）÷2。

（记忆和差问题公式）

师：当然小数也可以用和减大数或大数减差求解。在这里，哪个车库的车数是

大数？

生：乙车库的车数是大数。

师：把数字代入后，乙车库有？

生：（20＋6）÷2＝13（辆）。

师：甲车库有？

生：（20－6）÷2＝7（辆）。

板书：

乙车库：（20＋6）÷2＝13（辆）

甲车库：（20－6）÷2＝7（辆）

答：甲车库有7辆，乙车库有13辆。

练习1：（5分）

三个物体的平均重量是25千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻17千克，乙物体比丙物体重4千克，三个物体各重多少千克？

分析：

    三个物体的总重量是平均重量乘3，把乙、丙的重量看做一个整体，那么乙、丙是大数，甲是小数，利用和差公式求出甲的重量和乙、丙的重量，再次利用和差公式求乙和丙的重量。

板书：

    甲、乙、丙：25×3＝75（千克）

    甲：（75－17）÷2＝29（千克）

    乙、丙：75－29＝46（千克）

    乙：（46＋4）÷2＝25（千克）

    丙：46－25＝21（千克）

答：甲重29千克，乙重25千克，丙重21千克。

（二）例题2：（10分）

    三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。第三堆糖果有多少颗？

【讲解重点：和倍公式的记忆和用法】

师：在这道题目中有几个倍数关系？

生：2个。

师：在不少题目中都有这样的倍数关系，我们经常会用到的方法是画线段。第

一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍

少3颗，都有第二堆，所以我们可以把哪一堆糖果看做一份？

生：第二堆。

师：把第二堆糖果的数量看做是一份，那么第一堆有几份？

生：第一堆是第二堆的3倍，那么第一堆有3份。

师：第三堆呢？

生：第三堆是第二堆的2倍少3颗，因此第三堆有两份少3颗。

师：一共有几份？

生：一共有（3＋1＋2）份少3颗。

师：也就是105颗。那么我们怎么求每一份的数量呢？

生：假设第三堆多3颗。

师：所以现在刚好一共有6份，6份共有（105＋3）颗。我们可以利用什么问

    题的公式来解题？

生：和倍公式求解。

师：我们已经学过简单的和倍问题，已知两个数的和，大数是小数的几倍，求

两数？其中小数怎么求？

生：小数＝和÷（倍数＋1）。

师：那大数呢？

生：大数＝小数×倍数。（记忆和差问题公式）

师：这道题中有3个量，做法一样，一起动手做一做。

板书：

    第二堆：（105＋3）÷（3+1+2）=18（颗）

    第三堆：18×2－3＝33（颗）

答：第三堆糖果有33颗。

练习2：（5分）

    46是甲、乙、丙、丁4个数的和。如果甲数加上2，乙数减少3，丙数除以2，丁数乘2后，则4个数相等。求这4个数各是多少？

分析：

    把丁数看做一份，那么甲数加2后就是两份，乙数减3后就是两份，丙数就是4份。利用和倍公式解题。

板书：

    丁：（46＋2－3）÷（2＋2＋4＋1）＝5

    甲：5×2－2＝8

    乙：5×2＋3＝13

    丙：5×4＝20

答：甲是8，乙是13，丙是20，丁是5。

三、小结：（5分）

1. 和差问题

   已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

   公式：大数＝（和＋差）÷2

         小数＝（和－差）÷2

2. 和倍问题

   已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

   公式：总和÷（倍数＋1）＝小数

         总和－小数＝大数

         小数×倍数＝大数

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：通过一个小问题，回顾差倍问题】

师：上节课开始的时候，老师告诉大家我左右手的大拇指数量的和与差，同学

们很快就能算出一共左右手各有多少大拇指。那么这次，如果我告诉你们

老师的左手比右手多10颗大拇指，并且，左手大拇指的数量是右手的3倍，

那么左、右手各有多少大拇指？

生：通过列方程解应用题的方法来做。

师：嗯，我们前面学过，可以用这个方法，那能不能用算术法解题呢？

师：我们知道两手大拇指数量的差和倍数关系，这是一个什么问题？

生：差倍问题。

师：差倍问题的公式是怎么样的？

生：小数＝差÷（倍数－1）

生：大数＝小数×倍数

师：嗯，同学们记性不错，但是之前都是简单的差倍问题，这节课，老师要考

    考大家，看大家能不能用差倍公式来解决比较复杂的问题？

（若本班同学基础较差，则需要推导差倍公式）

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

    博士的果园里，苹果的数量是梨的数量的3倍。在一次采摘后，共摘得苹果180个，摘得梨40个，剩下的苹果、梨的数量相等。原来苹果、梨各有多少个？

【讲解重点：差倍公式的记忆和用法】

师：既然说到差倍问题，这道题目有没有告诉我们差和倍数关系？

生：告诉了我们倍数关系，苹果的数量是梨的数量的3倍。

师：仔细看看，难道没有告诉我们差的关系吗？

生：知道摘了180个苹果和40个梨后，苹果和梨的数量相等，可以知道苹果比

梨多140个。

师：真棒。知道差和倍数关系，所以这也是一个差倍问题，差倍问题的公式是？

生：小数＝差÷（倍数－1），大数＝小数×倍数。

师：在这道题，谁是小数，谁是大数？

生：梨的数量是小数，苹果的数量是大数。

师：那么梨和苹果的数量怎么求，动手做一下。

板书：

    梨：140÷（3－1）＝70（个）

    苹果：70×3＝210（个）

答：原来苹果有210个，梨有70个。

练习3：（5分）

    甲、乙两个数，如果甲数加上15就等于乙数，如果乙数加上30就等于甲数的3倍。求两个数各是多少？

分析：

    假设乙数多30，那么乙数是甲数的3倍，并且乙数比甲数多（30＋15），利用差倍公式求解。

板书：

甲：（15＋30）÷（3－1）＝22.5

乙：22.5＋15＝37.5

答：甲是22.5，乙是37.5。

（二）例题4：（12分）

    米德一家分水饺吃，如果每人分18只水饺，还多2只，如果每人分20只水饺，就会少4只，请问一共有多少只水饺？

【讲解重点：盈亏问题的公式记忆和用法】

师：读完题目，同学们发现如果每人分18只水饺，就会多，如果每人分20只

    水饺，就会少。我们把这样的问题称为什么问题？

生：盈亏问题。

师：盈亏问题的计算公式是？

生：参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差。

师：同学们说到了盈亏问题的其中一种情况，就是如果在两次分配中一次盈，

一次亏的时候。那么如果两次都盈或都亏呢？

生：参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

生：参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

师：很好，在这道题目中，属于哪种类型的盈亏问题。

生：第一种。

师：即一次盈一次亏，那么根据公式，同学们自己动手做一做。

板书：

    米德家人数：（2＋4）÷（20－18）＝3（人）

    一共有水饺：3×18＋2＝56（只）

答：一共有56只水饺。

练习4：（5分）

    芭啦啦综合教育学校把一筐苹果分给甲、乙两组同学。如果全部分给甲组的同学，每人分5个，则余下10个。如全部分给乙组的同学，每人分到8个，则缺2个。已知甲组比乙组多3人，问：这筐苹果共有多少个？

分析：

    这也属于盈亏问题，但是要注意，甲、乙两组的人数不同，因此，需要先把甲组的人数看做与乙组相同再来做。

板书：

    乙组人数：（3×5+10＋2）÷（8－5）＝9（人）

    苹果个数：9×8－2＝70（个）

答：这筐苹果共有70个。

例题5：（选讲）

    鹤龟同池，鹤比龟多12只，鹤龟足共72只，求鹤龟各有多少只？

【讲解重点：鸡兔同笼问题的解题方法，经常用到假设法】

师：前面的例题中，我们学习了和差问题、和倍问题、差倍问题以及盈亏问题，

这一题也是一类十分常见的题型。同学们观察出来了吗？

生：鸡兔同笼问题。

师：没错，这道题目中只不过是把兔子换成了？

生：龟。

师：把鸡换成了？

生：鹤。

师：那么做法一样吗？

生：一样。

师：鸡兔同笼问题我们是利用什么方法来解决的？

生：假设法，假设都是鸡或都是兔。

师：真棒。这道题目中我们也要用到假设的方法。我们知道鹤有两只脚，龟有4

    只脚。一共有72只。而鹤的数量比龟多12只。我们假设鹤的数量减少12

只，那么鹤的数量就和龟的数量会怎么样？

生：一样多。

师：那么一共有脚？

生：72－12×2＝48（只）。

师：已知一只鹤和一只龟一共有几只脚？

生：6只。

师：所以一共有鹤龟各？

生：48÷6＝8（只）。

师：因为假设鹤的数量少12只，所以鹤实际有？

生：8＋12＝20（只）。

板书：

     72-12×2=48（只）

    龟：48÷6＝8（只）  鹤：8＋12＝20（只）

答：鹤有20只，龟有8只。

练习5：（选做）

    100个馒头100个和尚吃，大和尚每人吃4个，小和尚4人吃一个，则大和尚有多少个？小和尚有多少个？

分析：

    本题也属于鸡兔同笼类型题目。假设所有和尚都是大和尚，那么一共要吃100×4＝400（个）馒头，比实际多：400－100＝300（个），这部分是因为把小和尚看做大和尚造成的。利用鸡兔同笼公式解题。

板书：

    小和尚人数：（100×4－100）÷（4－）＝80（个）

    大和尚人数：100－80＝20（个）

答：大和尚有20个，小和尚有80个。

三、总结：（5分）

1. 差倍问题公式：差÷（倍数－1）＝小数

                小数×倍数＝大数

2. 盈亏问题公式：

若在两次分配中一次盈，一次亏：参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

若两次都盈或都亏：参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

                  参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

3. 鸡兔同笼问题公式：

   假设全都是鸡，兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

   假设全都是兔，鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

四、随堂练习：

1. 米德和卡尔为自己的升学学费共储蓄了2000元，如果米德借给卡尔200元，

   两人储蓄的钱恰好相等，问两人各储蓄多少元?

板书：

米德：（2000＋2×200）÷2＝1200（元）

卡尔：2000－1200＝800（元）

答：米德和卡尔各储蓄1200元和800元。

2. 甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食。其中甲粮的粮食总量比乙粮仓的

 3倍多1吨。而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍。甲粮仓比丙粮仓多存

 粮多少吨？

板书：

（109－1）÷（2×3＋2+1）＝12(吨）

12×6＋1－12＝61（吨）

答：甲粮仓比丙粮仓多存粮61吨。

3. 某牧场养着一群牛羊，已知羊比牛多120只，且羊的数量是牛的2倍多40

   只，那么牛、羊各多少只？

板书：

（120－40）÷（2－1）＝80（只）

80×2＋40＝200（只）

答：牛、羊各80、200只。

4. 某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室，如果每个

   寝室少安排2个人，寝室要增加10个，问这批学生最多可能有多少人？最

   少可能有多少人？

板书：

8×32＋1＝257（人）

6×43＝258（人）

答：这批学生最多可能有258人。最少可能有257人。

5. 鸡、兔共有脚100只，若将兔换成鸡，则共有脚86只，问：鸡、兔各有多

   少只？

板书：

（100＋86）÷（4＋2）＝31（只）

（100－86）÷（4－2）＝7（只）

（31＋7）÷2＝19（只） 

31－19＝12（只）

答：鸡、兔各有12和19只。