四川省南充高级中学2023-2024学年高三数学（理）上学期第一次月考试题（Word版附解析）

南充高中高2021级高三第一次月考

数学试题（理科）

考试时间：120分钟  满分150分  命题人：

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，仅将答题卡交回.

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式求出集合，根据对数函数的性质求出集合，再根据并集的定义计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，

，

所以.

故选：B

2. 设复数z满足，则（   ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数除法法则计算出，进而根据共轭复数和模长公式计算即可.

【详解】，

故，.

故选：B

3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（    ）

A. 100，10 B. 100，20 C. 200，10 D. 200，20

【答案】D

【解析】

【分析】由抽取的学生求出样本容量，再计算出高中生抽取的人数，结合近视率计算出抽取的高中生近视人数；

【详解】依题意可得样本容量为，

其中高中生抽取人，

因为样本中高中生的近视率为，所以抽取的高中生近视人数为人；

故选：D

4. 过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数求得切线的斜率的范围，进而求得倾斜角的范围.

【详解】依题意，，则，

即切线的斜率的取值范围是，

所以倾斜角的取值范围是.

故选：B

5. 已知等比数列中，，前n项和为，公比为q．若数列也是等比数列，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列的定义以及前项和公式列方程，从而求得公比.

【详解】依题意，是等比数列，是等比数列，

所以成等比数列，

所以，

即，，

，解得或（舍去）.

所以.

故选：D

6. 已知，为偶函数，且，则函数的图象大致为（    ）

A.    B.    C.    D.  

【答案】A

【解析】

【分析】根据特殊点以及函数奇偶性确定正确答案.

【详解】，BC选项错误.

依题意，是偶函数，

，

所以，所以是奇函数，图象关于原点对称，D选项错误，

所以A选项正确.

故选：A

7. 在中，，，，是中点，则（    ）

A.  B. 5 C. 6 D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量运算求得正确答案.

【详解】由于是中点，

所以

.

故选：A

8. 已知双曲线的左右焦点点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（   ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.

【详解】双曲线的右焦点,

设点关于一条渐近线的对称点为，

由题意知，，解得.

又知，解得，

所以，即，

所以双曲线C的离心率是

故选：C.

9. 若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值.

【详解】抛物线的焦点，准线，

，则，不妨设，

关于直线对称点为，

由于，所以当三点共线时最小，

所以的最小值为.

故选：A

10. 已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.

【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当时，，因此，

因为是奇函数，所以 ，，

且的周期为，且，，，，

求的零点，即是与的交点，如图：

为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，

因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，

若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，

第11个零点坐标为，因此.

故选：A

11. 对非空有限数集定义运算“”：表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题：

①若，则；    ②若，则；

③若，则；    ④对任意有限集合A，B，C，均有.

其中，真命题的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题中条件可得①③正确，通过举反例可得②④错误.

【详解】对于①，若，则A，B中最小的元素相同，则，故①为真命题；

对于②，取集合，，满足，而，故②为假命题；

对于③，若，则A，B中存在相同的元素，所以交集非空集，故③为真命题；

对于④，取集合，，，可知，，，

则不成立，故④假命题.

综上，真命题的个数为2个.

故选：B

12. 的周长为18，若，则的内切圆半径的最大值为（   ）

A. 1 B.  C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角恒等变换得到，，作出图形，设出边长，的内切圆半径为，得到等量关系，利用基本不等式求出答案.

【详解】由题意得，

因为，

所以，

即，

即，故，

又，

分子分母同除以可得，

，

如下图，的内切圆圆心为，且圆与相切于点，与相切于点，

设的内切圆半径为，，

显然，，

故，即，

，整理可得，，

将代入中得，，

因为，

即，

所以，

故，解得，，

则，当且仅当时，等号成立，

故的内切圆半径的最大值为.

故选：B

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】4

【解析】

【详解】作出可行域如图所示：

由，解得.

目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.

14. 若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是______________．

【答案】

【解析】

【分析】将式子转化为两个式子相加的形式，再利用二项式定理计算得到答案.

【详解】，

展开式的通项为：，

取得到常数项为，故.

分别取和得到的系数是：.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15. 刘微（约公元225-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限思想的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为______（结论用圆周率表示）

【答案】

【解析】

【分析】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，根据题意，可知个等腰三角形的面积和近似等于圆的面积，从而可求的近似值.

【详解】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，

则，即，所以.

故答案为：

16. 已知点，，是圆锥表面上的点，该圆锥的侧面展开图为以点为圆心，4为半径的半圆，点是弧的中点，点是弧的中点（如图），以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球被平面所截，则截面面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】还原圆锥，作出示意图，求得底面圆半径，进而根据等体积法求得底面圆心到截面圆的距离，从而求得截面圆的半径，可得答案.

【详解】根据题意，还原圆锥如下所示：D点在如图示 的中点处，

不妨设该圆锥底面半径为，高为，底面圆圆心为，

根据题意，，圆锥底面圆周长为，

解得，

由勾股定理可得，

平面截以圆锥底面圆心为球心，半径为2的球的截面为一个圆，

不妨设截面圆半径为，设球心到面的距离为，

在中，，，

则，

由等体积法可得，，

即，

解得，

故可得，，

故截面圆面积为，

故答案为：

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 已知中，角的对边分别为，．

（1）若，求的值；

（2）若的平分线交于点D，且，，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，由此求得.

（2）根据三角形的面积公式、角平分线的性质求得，从而求得的面积．

【小问1详解】

由以及正弦定理得

，

所以.

【小问2详解】

依题意，，

由正弦定理得，

由于，所以，

所以，，

由，，

，

由余弦定理得，

即，，，

则由得，

所以.

18. 为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：

利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值．

（Ⅰ）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；

（Ⅱ）从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取台，求这两台机器的利润率不同的概率；

（Ⅲ）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利万元，销售一台第二类机器获利万元，…，销售一台第五类机器获利，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为，设，试判断与的大小．（结论不要求证明）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）先由题意确定，本月卖出机器的总数，再确定利润率高于0.2的机器总数，即可得出结果；

（Ⅱ）先由题意确定，销售单价为20万元的机器分别：是第一类有台，第三类有台，共有台，记两台机器的利润率不同为事件，由即可结果；

（Ⅲ）先由题意确定，可能取的值，求出对应概率，进而可得出，再由求出均值，比较大小，即可得出结果.

【详解】解：（Ⅰ）由题意知，本月共卖出30台机器，

利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台．

设“这台机器利润率高于0.2”为事件，

则．

（Ⅱ）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万，

第一类有台，第三类有台，共有台，随机选取台有种不同方法，

两台机器的利润率不同则每类各取一台有种不同方法，

设两台机器的利润率不同为事件，则．

（Ⅲ）由题意可得，可能取的值为

，，，，

因此；

又，

所以.

【点睛】本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的均值，熟记古典概型的概率计算公式，以及离散型随机变量的相关概念即可，属于常考题型.

19. 如图所示，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，，，以为直径的圆经过点．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）欲证平面平面，只需证明平面，只需证明即可，由已知易证.

（2）证明两两互相垂直，然后建立空间直角坐标系，二面角的余弦值转化为求两个平面法向量夹角的余弦值，注意观察图形是钝角.

【详解】（1）证明：因为以为直径的圆经过点，所以．

因为四边形为矩形，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面．

因为平面，所以，

又因为平面，平面，，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面．

（2）解：因为平面，

又因为平面，平面，所以，，

又因为，所以，则两两互相垂直，

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

因，，，所以，，

所以在中，由勾股定理，得，

则点，，，，

，则，，．

设平面的法向量为，则由

得解得

不妨令，得则是平面的一个法向量．

由（1）知，平面，又因为，所以平面，

所以向量是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，根据图形判断为钝角，

则，

所以二面角的余弦值是．

【点睛】本题考查面面垂直的证明、二面角平面角的求法，证明面面垂直通常转化为证明线面垂直或线线垂直，求二面角的平面角的余弦值可建立空间直角坐标系转化为求法向量的夹角余弦值，注意判断夹角的范围；是中档题.

20. 已知，为椭圆的两个焦点．且，P为椭圆上一点，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，若的中点为为坐标原点，直线交直线于点．求的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得，由直线的方程与直线求得点坐标，进而求得，结合基本不等式求得的最大值.

【小问1详解】

依题意，解得，

所以椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，

，，，

设，则，

，

.

.

的中点为，则，即，

直线的方程为，

令，得，即，

而，所以，

所以，

令，则，

则，

当且仅当时等号成立.

所以的最大值为.

  【点睛】求得椭圆的标准方程的问题，主要是根据已知条件求得，是两个参数，需要想要求得，需要两个已知条件，如本题中以及，再结合椭圆中的隐藏条件，就可以求得椭圆的标准方程.

21. 已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)设，，若对任意，且，都有，求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)答案不唯一，见解析；(Ⅱ) (0，2]

【解析】

【分析】（1）先求出，然后讨论在定义域内导函数符号问题. 即得函数的单调区间，

（2）先根据的单调性，以及 的单调性将转化为，进一步转化为，从而得新函数在(0，1]上是减函数，即恒成立，求出参数的范围.

【详解】(Ⅰ)

当时，函数定义域为(0，+∞)，恒成立，此时，函数在(0，+∞)单调递增；

当时，函数定义域为(一∞，0)，恒成立，此时，函数在(一∞，0)单调递增.

(Ⅱ)时，函数定义域为(0，+∞)，在(0，1]上递增，在(0，1]上递减，

不妨设，则

∴等价于

即

令

等价于函数在(0，1]上是减函数，

∴

令

即在(0，1]恒成立，分离参数，

得

令，.

∴在(0，1]递减，

∴，

又t∈[3，4]，

∴，

又，故实数的取值范围为(0，2].

【点睛】（1）讨论函数单调性，可以先求出函数定义域，然后求导，研究导函数在定义域范围内的函数值符号问题.

（2）恒成立为题常注意一下几种情况的等价转化：

1. 恒成立

2. 恒成立

3.任意的都有恒成立恒成立，令，转化为（1）的情况

4. 任意的都有恒成立恒成立

本题属于第4种情况.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

 [选修4—4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为

（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线、的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；

（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．

【详解】（1）曲线的极坐标方程为： ，

因为曲线的普通方程为： ，        

曲线的极坐标方程为；

（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为，

，

点到射线的距离为

的面积为 .

【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.

 [选修4—5：不等式选讲]

23. 已知正实数满足

（1）解关于的不等式；

（2）证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）用表示并求得的取值范围，结合绝对值不等式的解法求得原不等式的解集.

（2）化简后利用基本不等式证得不等式成立.

【详解】（1），且，故.

，

解得.

（2）且，

.

当且仅当时等号成立.