高中数学3.1.3 组合与组合数第2课时练习题

第三章第二课时　组合数的应用

A级 必备知识基础练

1.[探究点二]从10名大学毕业生中选3人去参加活动,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)

A.28 B.49 C.56 D.85

2.[探究点二]小明在学校里学习了二十四节气歌后,打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗,他准备在冬季的6个节气:立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气:立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气,搜集与之相关的古诗,如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个,那么小明选取节气的不同情况的种数是(　　)

A.345 B.465 C.1 620 D.1 860

3.[探究点二]甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(　　)

A.150种 B.180种 C.300种 D.345种

4.[探究点二]某龙舟队有9名队员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有(　　)

A.56种 B.68种 C.74种 D.92种

5.[探究点三]若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有　　　　种不同的分法. 

6.[探究点三]《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著,该书介绍了我国古代14种算法,其中积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算等13种算法均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料,其中一人搜集5种,另两人每人搜集4种,则不同的分配方法种数为(　　)

A. B.

C. D.

7.[探究点一](多选题)上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有(　　)

A.3 600种 B.种

C.9 375种 D.×54种

8.[探究点一、二]从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面,可作　　　　个不同的平面,从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体,可作　　　　个四面体. 

9.[探究点一·北师大版教材习题]从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位数?

10.[探究点一·人教A版教材习题]班上每个小组有12名同学,现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛.

(1)每个小组有多少种选法?

(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补,那么每个小组有多少种选法?

(3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手,那么每个小组有多少种选法?

B级 关键能力提升练

11.某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家赴三地工作.因工作需要,每地至少需要安排一名专家,其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作,丙、丁两名专家不能安排在同一地工作,则不同的安排方案的总数为(　　)

A.36 B.30 C.24 D.18

12. 算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上一颗上珠,则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠,再随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所拨数字大于1 000的种数为(　　)

A.20 B.10 C.9 D.15

13.[2023河北唐山高三开学考试]现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一颜色,且绿色卡片至多1张,则不同的取法种数为(　　)

A.484 B.472 C.252 D.232

14.(多选题)某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有(　　)

A.2种 B.60种

C.120种 D.种

15.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有　　　种. 

16.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求出现下列结果各有多少种情况:

(1)4只鞋子没有成双的;

(2)4只鞋子恰有两双;

(3)4只鞋子有2只成双,另2只不成双.

C级 学科素养创新练

17.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.

(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?

(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?

(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?

参考答案

第二课时　组合数的应用

1.B　由题意知,丙没有入选,所以只需把丙去掉,把总的元素个数变为9个,因为甲、乙至少有1人入选,所以条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一个的选法,共有=42(种)选法;另一类是甲、乙两人都入选,共有=7(种)选法.由分类加法计数原理可得,不同的选法种数为42+7=49,故选B.

2.B　根据题意可知,小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春.

1冬3春的不同情况有=120(种).

2冬2春的不同情况有=225(种).

3冬1春的不同情况有=120(种).

所以小明选取节气不同情况的种数是=465.故选B.

3.D　若这名女同学是甲组的,选法有种;若这名女同学是乙组的,则选法有种.

故符合条件的选法共有=345(种).

4.D　根据划左舷的人中有“多面手”的人数进行分类:划左舷中没有“多面手”的选派方法有种,有一个“多面手”的选派方法有种,有两个“多面手”的选派方法有种,即共有=92种不同的选派方法.故选D.

5.360　将6名教师分组,分三步完成:第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有种分法;第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有种分法;第3步,余下的3名教师作为一组,有种分法.根据分步乘法计数原理,共有=60种分法,再将这3组教师分配到3所中学,有=6种分法.故共有60×6=360种不同的分法.

6.A　依题意,先将13种算法分为3组,方法种数为,再分配给3个人,方法种数为.故选A.

7.CD　因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据分步乘法计数原理可得共有×54=9375(种)方案.

8.12　58　正方体的8个顶点中选4个点作一个平面,共有正方体的6个面和6个对角面,共12个不同平面,故可作-12=58(个)四面体.

9.解 先取元素后排列,分三步完成:

第一步,从1,3,5,7,9中取3个数字,有种取法;

第二步,从2,4,6,8中取2个数字,有种取法;

第三步,将取出的5个数字全排列,有种排法.

故共有符合条件的五位数=7200个.

10.解 (1)选4名同学,是一个组合问题,有=495种.

(2)(方法1)先选4名同学,再从中指定1名作替补,有=1980种;

(方法2)先选定一名学生兼作替补,后再选3名学生组成代表队,有=1980种.

(3)有顺序,是一个排列问题,有=11880种.

11.B　因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作,此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人,所以相当于只有四名专家,先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数,即从四个中选两个和其余两个看成三个元素的全排列共有种;又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作,所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种,所以不同的分配方法种数有=36-6=30种.故选B.

12.D　要使所拨数字大于1000,若上珠拨的是千位档,则所拨数字一定大于1000,有=6(种);若上珠拨的是个位档或十位档或百位档,则下珠一定要拨千位档,再从个位、十位、百位档里选一个拨下珠,有=9(种).则所拨数字大于1000的种数为6+9=15.故选D.

13.B　根据题意,不考虑限制,从16张卡片中任取3张,共有种取法,如果取出的3张为同一种颜色,则有4种情况,如果取出的3张有2张绿色卡片,则有种情况,故所求的取法共有-4=472种.故选B.

14.BD　从6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,再从剩下的人中选3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有=60(种).故选BD.

15.150　根据题意,按五名同学分组的不同分2种情况讨论:

①五人分为2,2,1的三组,有=15(种)分组方法,对应三项志愿者活动,有15×=90种安排方案;

②五人分为3,1,1的三组,有=10(种)分组方法,对应三项志愿者活动,有10×=60(种)安排方案,

则共有90+60=150(种)不同的安排方案.

16.解(1)从10双鞋子中选取4双,有种不同选法,每双鞋子中各取一只,分别有2种取法,根据分步乘法计数原理,不同取法有N=×24=3360(种).

(2)从10双鞋子中选2双有种取法,即有45种不同取法.

(3)先选取一双有种选法,再从9双鞋中选取2双有种选法,每双鞋只取一只,各有2种取法,根据分步乘法计数原理,不同取法有N=×22=1440(种).

17.解(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,得共有=144(种)放法.

(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.

(3)确定2个空盒有种方法.

4个球放进2个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有种方法;第二类有序均匀分组有种方法,故共有=84(种)放法.