初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和图文ppt课件

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知道三角形内角和定理以及直角三角形的两个内角互余这个推论
理解多边形的内角和与外角和的推导过程，掌握多边形的内角和公式与外角和公式
了解多边形及其相关概念
Q1：小学里，我们就学过了——三角形的内角和是？
Q2：三角形的内角的定义是？
三角形的相邻两条边所组成的角叫做三角形的内角如图，即∠A、∠B、∠C
【三角形的内角和定理】三角形的内角和等于180°
如图，即∠A+∠B+∠C=180°
Q1：如何证明“三角形内角和定理”？
【证明】过点A作BC的平行线AD∵BC∥AD∴∠1+∠2+∠B=180°，∠2=∠C∴∠1+∠C+∠B=180°，即三角形的内角和等于180°
Q2：直角三角形的两个锐角有什么关系？
【分析】∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠B=90°∴∠A+∠C=90°，即∠A与∠C互余
推论：直角三角形的两个锐角互余
例1、在△ABC中，若∠C=40°，∠A：∠B=1：6，则∠A等于（　　）A．20°B．120°C．40°D．100°
【分析】∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠C=40°，∴∠A+∠B=140°，∵∠A：∠B=1：6，∴∠B=6∠A，∴7∠A=140°，∴∠A=20°．
例2、如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数是（　　）A．15°B．20°C．25°D．35°
【多边形与n边形】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（1）多边形按照组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形…（2）三角形是最简单多边形如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形
和三角形一样，多边形相邻两条边所组成的角叫做它的内角
Q3-1：四边形的内角和等于多少度？
【分析】连接AC，拆成两个三角形∵∠1+∠2+∠D=180°，且∠3+∠4+∠B=180°∴∠1+∠2+∠D+∠3+∠4+∠B=360°∴∠BAD+∠D+∠DCB+∠B=360°，即四边形的内角和是360°
Q3-2：五边形的内角和等于多少度？
【分析】连接AC、AD，拆成三个三角形∵∠1+∠2+∠E=180°，且∠3+∠4+∠5=180°，且∠6+∠7+∠B=180°∴∠1+∠2+∠E+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠B=540°∴∠BAE+∠E+∠EDC+∠DCB+∠B=540°，即五边形的内角和是540°
Q3-3：六边形的内角和等于多少度？
【分析】连接AC、AD、AE，拆成四个三角形……，即五边形的内角和是720°
Q3-4：n边形的内角和等于多少度？请同学们将表格填完整.
由此，我们知道：n边形的内角和等于(n-2)·180°
【n边形的内角和公式】(n-2)·180°
如图，这个多边形可以记作"四边形ABCD"
比如这个多边形也可以记作"四边形ADCB"或"四边形BCDA"，但不能记作"四边形ACBD"
在表示多边形时，我们应该按顺序逐一写出顶点字母
例3、一个多边形的内角和的度数可能是（　　）A．1700°B．1800°C．1900°D．2000°
【分析】n边形的内角和为(n-2)×180°，即多边形的内角和一定是180°的整数倍，A、C、D的度数不能被180°整除，B的度数可被180°整除．
例4、若一个多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是（　　）A．十二 B．十 C．八 D．十四
【分析】解：根据多边形内角和定理得：(n-2)×180=1440，解得：n=10．
如图，把△ABC的边AB延长，得到∠CBD；如图，把五边形ABCDE的边AB延长，得到∠CBF.
如图，∠CBD是△ABC的一个外角；如图，∠CBF是五边形ABCDE的一个外角．
像这样，多边形的一边与它的邻边的延长线所组成的角，叫做多边形的外角
Q1：多边形的一个顶点（或一个内角）对应几个外角？（以顶点B为例）
如图，再把△ABC的边CB延长，得到△ABC的另一个外角∠ABE；如图，把五边形ABCDE的边AB延长，得到五边形ABCDE的另一个外角∠CBF.
【结论】多边形的一个顶点（或一个内角）对应2个外角
如图，以三角形为例：∠1～∠3这3个角时三角形的内角∠4～∠9这6个角时是三角形的外角
从图中可以看出，三角形的外角实际上就是对应内角的邻补角一个三角形有6个外角，它们构成3组对顶角，每组角的度数相等
Q2：n边形应该有几个内角，几个外角？请同学们自己画图，将表格填完整.
【结论】n边形有n个内角，2n个外角
【多边形的外角和】在每个顶点处分别取这个多边形的一个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和
注意：算外角和的时候，一个顶点只需要提供一个外角
【结论】△ABC的外角和等于360°，四边形的内角和与外角和相等
【结论】四边形ABCD的外角和等于360°
Q3-3：请同学们互相交流，说出五边形、六边形的外角和度数？
Q3-4：n边形的外角和是多少度？请说明理由.
解：360°，理由如下：
∵n边形的每个内角与相邻的一个外角的和都是180°，∴n边形的内角和+n边形的外角和=n·180°，又∵n边形的内角和=(n-2)·180°，∴n边形的外角和=360°．
【n边形的外角和公式】360°，与n无关
Q4：把图中的五边形ABCDE纸片剪去一个角，得到几边形？此时，多边形的内角和、外角和有什么变化？
【分析】如图，第一种情况六边形
∵五边形的内角和是(5-2)×180°，六边形的内角和是(6-2)×180°∴内角和增加180°，又∵n边形的外角和都等于360°∴外角和不变
【分析】如图，第二种情况五边形
【分析】如图，第三种情况四边形
∵五边形的内角和是(5-2)×180°，四边形的内角和是(4-2)×180°∴内角和减少180°，又∵n边形的外角和都等于360°∴外角和不变
例5、一个多边形的每一个外角都为72°，这个多边形是（　　）A．五边形B．六边形C．八边形D．十边形
【分析】∵一个多边形的每个外角都等于72°，∴多边形的边数为360°÷72°=5．
例6、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是________．
【分析】设这个多边形的边数为n,根据题意得：(n-2)×180°=3×360°-180°，解得n=7．
例7、如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD的邻补角．下列等式一定成立的是（　　）A．∠1+∠2+∠3=∠ADC+180°B．∠1+∠2+∠ADC=∠3+180°C．∠1+∠3+∠ADC=∠2+180°D．∠2+∠3+∠ADC=∠1+180°
【分析】如图，由多边形的外角和得，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，而∠4=180°-∠ADC，∴∠1+∠2+∠3+180°-∠ADC=360°，∴∠1+∠2+∠3=∠ADC+180°．
例8、若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【分析】如图，n边形，A1A2A3…An，若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1．
【三角形的内角和定理】三角形的内角和等于180°推论：直角三角形的两个锐角互余
【n边形的内角和公式】(n-2)·180°【n边形的外角和公式】360°，与n无关
【多边形与n边形】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形【多边形的外角与外角和】多边形的一边与它的邻边的延长线所组成的角，叫做多边形的外角【n边形有n个内角，2n个外角】在每个顶点处分别取这个多边形的一个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和