江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第5章导数及其应用测评苏教版选择性必修第一册

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第5章测评（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则( )A. 0 B. C. 2 D. 32. 若曲线在处的切线垂直于直线，则( )A. 2 B. 1 C. 4 D. 33. 已知函数，则( )A. B. 0 C. D. 14. 已知定义在上的函数满足,,则的解集为( )A. B. C. D. 5. 宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为.假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度单位:与行驶时间单位：的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时的加速度为( )A. B. C. D. 6. 已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 7. 已知函数，函数，函数，函数，四个函数的图象如图所示，则，，，的图象依次为( )①②③④A. ①②③④ B. ①②④③ C. ②①③④ D. ②①④③8. 若函数有2个极值点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标可能为( )A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的有( )A. 若 ，则 是函数 的极值点B. 函数 的切线与函数可以有两个公共点C. 若函数 在区间 上有零点，则 的值为0或3D. 若函数 的导数 ，且 ，则不等式 的解集是11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是( )A. B. C. D. 12. 对于函数，下列说法正确的是( )A. 在 处取得极大值B. 有两个不同的零点C. D. 若 在 上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若曲线只有一条过坐标原点的切线，则.14. 设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为.15. 若函数在区间上有定义，且,,,,,均可作为一个三角形的三边长，则称在区间上为“函数”.已知函数在区间上为“函数”，则实数的取值范围为.16. 已知函数 若方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知函数.（1） 求曲线在处的切线方程；（2） 求函数的单调区间与极值.18. （12分）已知函数，其中为常数.（1） 当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求的值；（2） 在（1）的条件下，求函数在上的最小值.19. （12分）已知函数，其中为常数.（1） 若，求函数的单调区间；（2） 若在上恒成立，求实数的取值范围.20. （12分）某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为万美元，可获得的加工费近似为万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失万美元，其中为该时段美元的贬值指数，从而实际所得的加工费为（单位：万美元）.（1） 若某时期美元贬值指数，为确保企业实际所得加工费随的增加而增加，该企业加工产品订单的金额应在什么范围内？（2） 若该企业加工产品订单的金额为万美元时，共需要的生产成本为 万美元，已知该企业加工生产能力为（其中为产品订单的金额），试问美元的贬值指数在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损.21. （12分）已知，其中.（1） 讨论的单调性；（2） 取，，其中，求最小的，使有两个零点.22. （12分）已知函数.（1） 求曲线在点处的切线方程；（2） 若存在正实数，使得对任意的都有，求的取值范围.第5章测评一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. D2. B3. B4. A[解析]令，可得，所以是增函数，可得.因为,,,可得,所以,所以，所以不等式的解集为.故选.5. A[解析]因为，所以.当时，，即，解得或（舍去），故当时，，即速度首次达到时的加速度为.故选.6. D[解析]在区间上单调递增,则在区间上恒成立，即在区间上恒成立.设，,则,所以函数在上单调递减，则，所以.故选.7. A[解析]由的定义域为可知，图②为;由可知，为奇函数，图③为；可知，为偶函数，图④为，所以图①为.故选.8. B[解析].因为函数的定义域为，且函数有2个极值点，则有2个不同的正实数根，所以且，即实数的取值范围是.故选.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. AD[解析]设切点.因为曲线在点处的切线的斜率，所以，所以点的坐标为或.故选.10. BD[解析]对于，反例：在处的导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故0不是函数的极值点，故错误；对于，例如，，在点,的切线与有两个交点，故正确；对于，函数在区间上有零点，故，则，显然，代入，得，不符合零点存在定理，故错误；对于，令，则有，，故的解集是，故的解集是，故正确.故选.11. AD[解析]对于，，.当,时，，，故不是凸函数；对于，，对任意的,,，故是凸函数；对于，，对任意的,，，故是凸函数；对于，，对任意的,，，故不是凸函数.故选.12. ACD[解析]对于，的定义域为，所以.令，解得.当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，所以函数在时取得极大值也是最大值，故正确；对于，当时，，，，当时，，如图,函数有且只有一个零点，故错误;对于，因为当时为单调递减函数，所以.因为，所以，故正确;对于，因为，所以，由于函数在上恒成立，所以.设，定义域为，则.令，解得，所以,时,,单调递增，,时,,单调递减，所以，故，故正确.故选.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 或[解析]因为，所以.设切点坐标为,则,切线斜率,所以切线方程为.因为切线过原点，所以,整理得.因为曲线只有一条过坐标原点的切线，所以,解得或.14. ,,）[解析]构造函数.因为是定义在上的奇函数，所以为偶函数.由题意，得当时，单调递减，且.由，得,，由，得或.不等式等价于，即或解得或.15. （,）[解析]根据题意可知在区间上为“函数”，则有且.因为在区间,上为“函数”，所以且.因为，所以.令，得；令，得，所以在,上单调递增，在上单调递减，则.又，，则，即，所以，所以解得，所以实数的取值范围为.16. ,[解析]由于，方程等价于，即函数与的图象有四个交点.令若,则，.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值为， ,,, ;若，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最小值为,, ，, .函数的图象如图所示,所以直线与的图象有四个交点时，,.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1） 解因为，所以，则，.因此，曲线在处的切线方程为.（2） 令，得，列表如下：所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值为，极小值为.18. （1） 解函数的定义域为，求导得.因为函数的图象在点,处的切线的斜率为1，所以，解得，所以的值是1.（2） 由（1），得，，由，得或.因为,，所以当时，，当时，，因此函数在,上单调递减，在上单调递增，所以，所以函数在,上的最小值为.19. （1） 解易知函数的定义域为，由，得，所以.令，得；令，得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2） 在上恒成立，等价于在上恒成立.令，则，所以在上单调递减，所以在区间上的最大值为，所以，即实数的取值范围是.20. （1） 解由已知，得，所以.令，即，解得，即加工产品订单金额（单位：万美元）时，该企业的加工费随的增加而增加.（2） 依题意，企业加工生产不出现亏损，则当时，都有，即.令，，则.令，则，可知在上单调递减，从而.又，所以当时，在上单调递减，因此，，即.故当美元的贬值指数,时，该企业加工生产不会亏损.21. （1） 解因为，定义域为，所以.时，，即在上单调递增；时，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减.（2） 当时，，则.设，则，所以在上单调递增.又因为，，所以存在,满足，即，化简得，解得，.当时，，即，则单调递减；当时，，即，则单调递增.要使有两个零点，则必要条件为，即，即.因为，所以的最小值为0，再证当时，有两个零点.因为，，，所以存在，，满足，即此时有两个零点.综上所述，最小的为0.22. （1） 解因为函数，所以，所以.又因为，所以曲线在处的切线方程为，即，所以曲线在点处的切线方程.（2） ①若，当,时，，所以，易知的导数在上恒成立，则在区间上单调递增，所以，所以在区间,上恒成立，此时不存在正实数，使得对任意的都有，所以不符合题意，故舍去；②若，.设，则，所以当,时，，所以在区间,上单调递增，而，，故存在,，使得，所以当时，，即在区间上单调递减，所以当时，，所以符合题意.综上所述，的取值范围为.10-0极大值极小值