河北省张家口市第一中学2023届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

2022—2023学年度第一学期六年一贯制12月月考考试

初三年级数学试卷

一.选择题（共15小题每小题3分共45分）

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是(　　)

A．sin B＝ B．cos B＝ C．tan B＝ D．tan B＝

2．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3，则下列平移过程正确的是 (    )

A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位

3．下列各式中不成立的是（      ）

A． B．

C． D．

4．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西55°方向上，则河宽的长为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

5．已知在中，，，，则等于（　　）

A．6 B．16 C．12 D．4

6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(   )．

A． B．

C． D．

7．如图，是的直径，，点在直径上方的上，连接，，则的度数是(   )

A． B． C． D．

8．将函数化为的形式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．平行

10．如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（   ）

A． B． C． D．2

11．若抛物线的顶点为，且经过点A关于原点O的对称点，则抛物线的解析式为（   ）

A． B． C． D．

12．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

13．如图，O是△ABC的内心，OD⊥BC于点D，OD＝2，若△ABC的周长为12，则△ABC的面积是（    ）

A．12 B．24 C．6 D．3

14．如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论：

①；②关于x的一元二次方程的根是；③；④y的最大值．

其中正确的有（    ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

15．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD=， AC=3．则DE长为（　　）

A． B．2 C． D．

二.填空题（共6小题每小题4分共24分）

16．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD＝     ．

17．如图，在同圆中，若，则      ．（“”“”或“”）

18．若函数是二次函数，则m的值为    

19．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于         ．

20．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是      .

21．如图是函数y=x2-2|x|的部分图像，关于x的方程时，符合条件的方程的解有         个．

三.解答题（共6小题共51分）

22．计算：

(1)；

(2)．

23．如图，在中，的周长为，点D为的中点．求的长．

24．如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为抛物线的顶点为．

（1）求次此抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标．

25．如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接，．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的半径和长．

26．已知某隧道截面积拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部宽20米．

(1)建立如图1所示的平面直角坐标系，使y轴为抛物线的对称轴，x轴在地面上．求这条抛物线的解析式；

(2)维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架（其中B、C两点在抛物线上，A、D两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？

(3)在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）

27．如图，是半圆O的直径，过半圆O上一点D作，垂足为E，作半圆O的切线，交的延长线于点C，连接．

(1)求证：平分；

(2)过点B作交DE于点F，若，，求线段的长．

答案

1．C

解析：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB= ，

∴sinB= ，cosB=，tanB=，

故选C.

2．A

解析：解：根据上下平移法则得：抛物线y=x2向上平移3个单位得到抛物线y=x2+3，

故选A．

3．D

解析：A．，此选项不符合题意；

B．，，所以，此选项不符合题意；

C．，，所以，此选项不符合题意；

D．，此选项符合题意；

故选：D．

4．D

解析：解：如图，∵点 B 在点 C 的北偏西55°方向上，

∴∠BCD=55°，

∵该河道为东西流向且与河岸平行，点 B 在点 A 正北方向，

∴AB⊥AC，

∴AB∥CD，

∴∠ABC=55°，

∵点 A 向正东方向走 a 米到达点 C ，

∴AC=a，

∴

5．D

解析：解：如图，

∵在中，，

∴，

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

故选：D．

6．C

解析：解：观察二次函数的图象得：，

∴，，

∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．

故选：C

7．B

解析：解：，

,

．

故选：B．

8．B

解析：解：

．

故选：B．

9．C

解析：∵，

∴，，

∵的半径为一元二次方程的根，

∴，

∵，

∴直线l与的位置关系是相离，

故选：C．

10．C

解析：如图，延长AD，BC，二线交于点E，

∵∠B=90°，∠BCD=120°，

∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠EDC= 90°，

在Rt△CDE中，

tan30°=，

∴DE==，

在Rt△ABE中，

sin30°=，

∴AB==4，

∴AD=AE-DE=,

故选C

11．D

解析：解：∵抛物线的顶点为，

∴抛物线的解析式为，

∵点A关于原点O的对称点，

∴，

把代入，

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为，

故选：D

12．D

解析：解：在⊙O中，

∵

∴，

故A、C选项正确，不符合题意；

∵，OA=OD，OB=OC

∴

∴

∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴

∴OE=OF

故B选项正确，不符合题意．

故选D

13．A

解析：解：连接OA、OB、OC，

∵O是三角形ABC的内心，

∴O到三角形ABC各边的距离相等，都等于OD的长度，

∵，

∴

=，

故选：A．

14．D

解析：解：抛物线开口向下，

，

抛物线的对称轴为直线，

，

抛物线与y轴的交点在x轴上方，

，

，

故①正确；

抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，

抛物线与x轴另一个交点为，

关于x的一元二次方程的根是；

故②正确；

当时，，

，

，

即，

即，

故③正确；

当时，函数有最大值，

，

故④正确；

故正确的结论有①②③④共4个；

故选：D．

15．B

解析：连接OD，CD．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵AD=，AC=3．

∴CD=，

∵OD=OC=OA，

∴∠OCD=∠ODC，

∵DE是切线，

∴∠CDE+∠ODC=90°．

∵∠OCD+∠DCB=90°，

∴∠BCD=∠CDE，

∴DE=CE．

∴△ADC∽△ACB，

∴∠B=∠ACD，

∴，

∴BC==4，

∵∠ACD+∠DCB=90°，

∴∠B+∠DCB=90°，∠B+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，

∴∠B=∠BDE，

∴BE=DE，

∴BE=CE=DE．

∴DE=BC=×4=2．

故选B．

16．

解析：解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，

∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，

∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，

CM＝BC×cos30°＝15，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，

∴∠EDF＝45°，

∴MD＝BM＝5，

∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．

故答案是：15﹣5．

17．

解析：解：取的中点E，连接，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

故答案为：．

18．0

解析：解：∵函数是二次函数，

∴m2−3m＋2＝2且m−3≠0，

解得m＝0，

故答案为：0．

19．

解析：解：连接AE、EF，如图所示，

 则AE∥CD， ∴∠FAE=∠BOD，

设每个小正方形的边长为a，

则AE=，AF=，EF=，

∵，

∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，

∴sin∠FAE=

 即sin∠BOD= ，

故答案为： ．

20．3π．

解析：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=60°，

∴∠BOC=2∠A=120°，

∴图中阴影部分的面积==3π．

故答案为3π．

21．4

解析：如图，当时，，顶点为，

当时，，顶点为，

关于x的方程时，

即y=x2-2|x|和的交点的横坐标，

观察函数图象可知，交点有4个，即符合条件的方程的解有4个

故答案为：4

22．(1)

(2)

解析：（1）原式，

，

，

；

（2）原式,

,

．

23．AC的长为6，BD的长为4

解析：解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∵sinB＝，∴

不妨设AB＝5k，AC＝3k，则BC＝4k．

又△ABC的周长为24，

∴3k＋4k＋5k＝24，解得：k＝2

∴AC的长为6，BC的长为8．

∵点D为BC的中点．

∴BD＝BC＝4．

答：AC的长为6，BD的长为4．

24．（1）；（2）满足条件的点的坐标为或

解析：解：（1）∵当x=0时，y=-3，∴．

∵当y=0时，x-3=0，∴x=3，∴．

将点与点的坐标代入抛物线，

得，

解得，

抛物线的解析式是；

∵=(x-1)2-4，

∴对称轴是直线x=1，顶点，

∵，

点．

为抛物线上的一个动点，

设点，

整理，得或（由，得到无实数解，舍去）．

解得．

满足条件的点的坐标为或．

25．(1)见解析

(2)半径为2，

解析：（1）如图，连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

∵是的半径，

∴是的切线；

（2）在中，，，，

∴.

设的半径为，则，，

在中，，

∴，

∴，

解得，

∴的半径为3，

∴，

在中，，

∴．

26．(1)

(2)够用；（

(3)不能

解析：（1）解：设，

由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则

，解得：，

故抛物线的解析式为；

（2）解：设点C的坐标为，

则所需材料长度=，

∵，

∴当m=5时，所需材料最多，为25米，

∴总长为30米的材料够用；

（3）解：当时，，

解得，

∵，

∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口．

27．(1)见解析

(2)

解析：（1）证明：∵是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

平分；

（2）解：，，

设，，

，

，，

，，

，

，

，

即，

解得：，

.