2022-2023学年河北省张家口市蔚县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省张家口市蔚县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，其中一个三角形是通过轴对称得到另一个三角形的是( )
A. B. C. D.
2.我国生产的某种口罩的熔喷布厚度约为0.000136米，数据0.000136用科学记数法表示为( )
A. 1.36×10−4B. 1.36×10−5C. 1.36×10−6D. 0.136×10−3
3.若a4⋅a()=a12，则““内应填的整数是( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
4.正十二边形的一个外角的度数为( )
A. 30°B. 36°C. 144°D. 150°
5.根据分式的基本性质，分式−aa−b可变形为( )
A. aa−bB. aa+bC. a−a−bD. ab−a
6.如图，用尺规作∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
7.多项式ax2−4a与多项式2x2−8x+8的公因式是( )
A. x−2B. x+2C. x2−2D. x−4
8.嘉嘉和淇淇在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形“这一结论时，画出图形，写出“已知“，“求证“(如图所示)，然后对各自所作的辅助线描述如下，下列判断正确的是嘉嘉：“过点A作BC的垂直平分线AD，垂足为D”；( )
淇淇：“作△ABC的高AD”．
A. 只有嘉嘉正确B. 只有淇淇正确C. 两人都正确D. 两人都不正确
9.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
A. 只有乙B. 甲和丁C. 乙和丙D. 乙和丁
10.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC=120°，则∠A的度数是( )
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 70°
11.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为( )
A. 3
B. 4.5
C. 6
D. 7.5
12.嘉淇一家自驾游去某地旅行，导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少半小时.设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是( )
A. 75x=901.8x−12B. 751.8x=90x−12C. 751.8x=90x+12D. 75x=901.8x+12
13.如图，已知△ABC≌△DEF，点E在AC上，点B，F，C，D在同一条直线上若∠A=40°，∠DFE=75°，则下列判断不正确的是( )
A. AB=DE
B. EF=CE
C. ∠CED=45°
D. ∠B=65°
14.已知3m=a，81n=b，m、n为正整数，则33m+12n的值为( )
A. a3b3B. 15abC. 3a+12bD. a3+b3
15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB上一点，DE/​/CB，交AC于点E，点P是EC上的一个动点，要使PD+PB最小，则点P应该满足( )
A. PB=PD
B. PC=PE
C. ∠BPD=90°
D. ∠CPB=∠DPE
16.如图，一钢架BAC中，∠A=x°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5，…来加固钢架，且P1A=P1P2，对于下列结论，判断正确的是结论Ⅰ：若∠P3P2P4=75°，则x=25；( )
结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么x的取值范围是907≤x<15
A. Ⅰ和Ⅱ都对B. Ⅰ和Ⅱ都不对C. Ⅰ不对Ⅱ对D. Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题：本题共1小题，每小题3分，共3分。
17.点P(−2,6)关于x轴对称的点Q的坐标是______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
已知A=(x−y)2+(x+y)(x−y).化简A的结果为______ ．
19.(本小题3分)
如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C.动点E，D同时从点A出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN运动.动点D以1cm/s的速度在直线AM上运动，已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t s．
(1)∠ACB的度数为______ ．
(2)当点D沿射线AM运动时，若S△ABD：S△BEC=2：1，则t的值为______ ．
(3)当动点D在直线AM上朝一个方向运动时，若△ADB与△BEC全等，则t的值为______ ．
20.(本小题9分)
计算下列各小题．
(1)(a2)3+(2a4)2÷a2；
(2)(2a−1)2−4a(a−3)；
(3)2002−199×201．
21.(本小题9分)
按要求解答下列各小题：
(1)计算：ab26c2⋅−4c3a2b2；
(2)计算：2y−xx−y+yy−x；
(3)先化简，再求值：(1x−3−1)÷x2−3xx2−6x+9，其中x=12．
22.(本小题9分)
在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC=80°，∠C=70°．
(1)求∠BOE的大小；
(2)求证：DE=DC．
23.(本小题10分)
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20都是“和谐数”．
(1)已知28为“和谐数”，且28=m2−n2，求m+n的值；
(2)嘉淇观察发现以上“和谐数”均为4的倍数，于是猜想：所有“和谐数”都是4的倍数.设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，请你通过计算判断嘉淇的猜想是否正确．
24.(本小题10分)
为了尽快建一条全长11000米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，最终乙队所修的道路比甲队所修的道路的两倍少1000米．
(1)甲乙两队各修道路多少米?
(2)实际修建过程中，乙队每天比甲队多20米，最终乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的54倍，乙队每天修建道路多少米?
25.(本小题10分)
在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动点，过点D作DE/​/BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．

(1)如图1，若点F恰好落在边BC上，判断△BDF的形状，并证明；
(2)如图2，若点F落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF=EF，求∠A的度数；
(3)若AB=9，当△BDF是直角三角形时，直接写出AD的长．
26.(本小题12分)
在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点(不与点B，C重合)，以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

【发现】如图1，点D在线段BC上．
①当∠BAC=90°时，求证：△ABD≌△ACE，并求∠BCE的度数；
②当∠BAC=100°时，直接写出∠BCE的度数；
【探究】如图2，设∠BAC=α，∠BCE=β.当点D在线段CB的延长线上时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
【拓展】若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=∠ACB=γ.在点D的运动过程中，当DE垂直于△ABC的某边所在直线时，直接写出∠DEC的度数.(用含γ的式子表示)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：观察答案可知，A、B中的两个图形可以通过旋转得到，D中的两个图形可以通过平移得到，只有C可以通过对称得到．
故选：C．
根据轴对称图形的特点解答即可．
本题考查了轴对称的性质，了解轴对称的性质及定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：0.000136=1.36×10−4．
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：∵a4⋅a =a12，( )
∴““内应填的整数是：8．( )
故选：D．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：正十二边形的一个外角为360°12=30°．
故选：A．
根据正十二边形的每个外角都相等，且外角和为360°解答即可．
本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：−aa−b=−a−(b−a)=ab−a，
故选：D．
先把分式的分母提取−1，再根据分式的基本性质进行变形即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行变形是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由作图可知，OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
OD=O′D′OC=O′C′DC=D′C′,
所以△DOC≌△D′O′C′(SSS)，
所以∠DOC=∠D′O′C′即∠AOB=∠A′O′B′．
故选：D．
由作图可知，OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，根据SSS证明三角形全等即可解决问题，
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
7.【答案】A
【解析】.解：ax2−4a=a(x2−4)=a(x+2)(x−2)
2x2−8x+8=2(x2−4x+4)=2(x−2)2，
∴公因式是(x−2)．
故选：A．
分别分解因式即可求解．
本题考查了因式分解，公因式的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：嘉嘉不正确，理由如下：
过点A作BC的垂线，不一定过BC的中点，如果连接点A和BC中点D，则AD与BC不一定垂直．所以嘉嘉不正确．
淇淇正确，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ADB与△ADC中，
∠ADB=∠ADC∠B=∠CAD=AD，
∴△ADB≌△ADC(AAS)，
∴AB=AC，
所以淇淇正确．
故选：B．
过一点可以作已知直线的垂线，不能说作线段的垂直平分线；证明△ADB≌△ADC，即可判断．
本题考查等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵x2−2xx−1÷x21−x
=x2−2xx−1⋅1−xx2
=x2−2xx−1⋅−(x−1)x2
=x(x−2)x−1⋅−(x−1)x2
=−(x−2)x
=2−xx，
∴出现错误是在乙和丁，
故选：D．
根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．
10.【答案】B
【解析】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×60°=120°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=60°．
故选：B．
先根据角平分线的性质定理的逆定理得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，所以∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后根据三角形内角和定理解决问题．
本题考查了角平分线的性质：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上．
11.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE=30°，
∵EC=1.5，
∴CD=2EC=3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD=CD=3，
∴AB=AC=AD+CD=6．
故选：C．
由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE=30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12.【答案】D
【解析】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，
由题意得：75x=901.8x+12，
故选：D．
设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
13.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，故A选项正确；
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴EF=EC，故B选项正确；
∵△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠DFE=75°
∴∠D=∠A=40°，∠DEF=180°−40°−75°=65°
∴∠B=∠DEF=65°，故D选项正确，
∴∠ACB=∠DFE=75°
∴∠FEC=180°−75°−75°=30°，
∴∠CED=∠DEF−∠FEC=65°−30°=35°，故C选项错误．
故选：C．
根据全等三角形的性质得出AB=DE，即可判断A选项，得出∠ACB=∠DFE，根据等角对等边得出EF=EC，判断B选项，进而根据∠D=∠A=40°，以及三角形内角和定理得出∠DEF=180°−40°−75°=65°即可判断D选项，根据∠CED=∠DEF−∠FEC，即可判断C选项．
本题考查了全等三角形的性质，涉及到等角对等边，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
14.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是幂的乘方与积的乘方运算，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【解答】
解：33m+12n
=(3m)3⋅(34n)3
=(3m)3⋅(81n)3
=a3b3，
故选：A．
15.【答案】D
【解析】解：如图，作点D关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小．
由对称性可知：∠APD=∠APD′，
∵∠CPB=∠APD′，
∴∠CPB=∠DPE，
∴DP+PB最小时，点P应该满足∠CPB=∠DPE，
故选：D．
如图，作点D关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小，进而求解即可．
本题考查轴对称−最短路线问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
16.【答案】A
【解析】解：∵AP1=P1P2，P1P2=P2P3，P3P4=P2P3，P3P4=P4P5，
∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P3P1，∠P3P2P4=∠P3P4P2，∠P4P3P5=∠P4P5P3，
∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P3P1，∠P3P2P4，
∴∠P3P5P4=3∠A，
即75°=3x，
∴x=25°，
故结论Ⅰ正确；
∵AP1=P1P2，P1P2=P2P3，P3P4=P2P3，P3P4=P4P5，P4P5=P5P6，P5P6=P6P7，
∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P3P1，∠P3P2P4=∠P3P4P2，∠P4P3P5=∠P4P5P3，∠P5P4P6=∠P5P6P4，∠P6P5P5=∠P6P7P5，
∴∠P5P7P6=6∠A，
∵要使得这样的钢条只能焊上6根，
∴∠P7P6C=7∠A，
由题意得6x<907x≥90，
∴907≤x<15．
故结论Ⅱ正确．
故选：A．
根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠P5P7P6与∠A之间的关系，从而不难求解．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】(−2,−6)
【解析】解：∵点P(−2,6)与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标是(−2,−6)．
故答案为：(−2,−6)．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，据此即可求得点P(−2,6)关于x轴对称的点的坐标．
本题主要考查了直角坐标系中点的对称性质，正确记忆关于x轴对称点的性质是解题关键．
18.【答案】2x2−2xy
【解析】解：A=(x−y)2+(x+y)(x−y)
=x2−2xy+y2+x2−y2
=2x2−2xy；
故答案为：2x2−2xy．
根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可．
本题考查了完全平方公式和平方差公式以及零指数幂，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是关键．
19.【答案】45° 125或4 2或6
【解析】解：(1)如图1中，
∵AM⊥AN，
∴∠MAN=90°，
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAC=45°，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
故答案为：45°；
(2)如图2中，
①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．
∵BA平分∠MAN，
∴BG=BH，
∵S△ADB：S△BEC=2：1，AD=t，AE=2t，
∴12t⋅BG：12(6−2t)⋅BH=2：1，
∴t=125s.
②当点E运动到AC延长线上，同法可得t=4时，也满足条件，
∴当t=125s或4s时，满足S△ADB：S△BEC=2：1．
故答案为：125或4；
(3)∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，
∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，
∴t=6−2t，
∴t=2s，
∴t=2s时，△ADB≌△CEB．
当D在MA延长线上时，2t−6=t，t=6s，
综上所述，满足条件的t的值为2或6，
故答案为：2或6．
(1)根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题；
(2)作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G.由BA平分∠MAN，推出BG=BH，由S△ADB：S△BEC=2：1，AD=t，AE=2t，可得12t⋅BG：12(6−2t)⋅BH=2：1，解方程即可解决问题．
(3)存在．由BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，可知当AD=EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)原式=a6+4a8÷a2
=a6+4a6
=5a6．
(2)原式=4a2−4a+1−4a2+12a
=8a+1．
(3)原式=2002−(200−1)×(200+1)
=2002−(2002−1)
=2002−2002+1
=1．
【解析】(1)根据幂的乘方运算、整式的除法运算即可求出答案．
(2)根据完全平方公式、整式的加减运算即可求出答案．
(2)根据平方差公式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘法运算、平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)ab26c2⋅−4c3a2b2=−29ac；
(2)2y−xx−y+yy−x
=2y−xx−y−yx−y
=2y−x−yx−y
=y−xx−y
=−1；
(3)(1x−3−1)÷x2−3xx2−6x+9
=(1x−3−x−3x−3)÷x(x−3)(x−3)2
=1−x+3x−3×(x−3)2x(x−3)
=4−xx，
当x=12时，原式=4−1212=7．
【解析】(1)直接进行约分即可得到答案；
(2)先将分母化为同分母，再进行加法计算即可得到答案
(3)根据分式的减法和除法可以化简式子，然后将x=12代入化简后的式子进行计算即可．
本题考查了约分、异分母的分式加法、分式的化简求值，准确进行计算是解题的关键．
22.【答案】(1)解：∵∠BAC=80°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−70°=30°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=40°，∠ABF=12∠ABC=15°，
∴∠BOE=∠ABF+∠BAE=40°+15°=55°；
(2)证明：∵∠AEC=∠ABC+∠BAE=30°+40°=70°，
∴∠AEC=∠C，
∴AE=AC，
∵AD⊥CE，
∴DE=DC．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理得到∠ABC=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−70°=30°，根据角平分线的定义得到∠BAE=12∠BAC=40°，∠ABF=12∠ABC=15°，根据三角形外角的性质即可得到结论；
(2)根据三角形外角的性质得到∠AEC=∠ABC+∠BAE=30°+40°=70°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵28为“和谐数”，且28=m2−n2，
∴28=m2−n2=(m+n)(m−n)，且m−n=2，
∴m+n=14；
(2)(2k+2)2−(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2−2k)=2(4k+2)=4(2k+1)，
∵k为非负整数，
∴2k+1一定为正整数，
∴4(2k+1)一定能被4整除，
∴嘉淇的猜想正确．
【解析】(1)利用“和谐数”的定义得到m−n=2，已知等式右边利用平方差公式化简，即可确定出m+n的值；
(2)表示出两个连续偶数的平方差，整理后即可作出判断．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设甲队修道路x米，则乙队修道路(2x−1000)米，
由题意得：x+2x−1000=11000，
解得：x=4000，
则2x−1000=7000，
答：甲队修道路4000米，乙队修道路7000米；
(2)乙队每天修建道路y米，则甲队每天修建道路(x−20)米，
由题意得：7000x=4000x−20×54，
解得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解，且符合题意，
答：乙队每天修建道路70米．
【解析】(1)设甲队修道路x米，则乙队修道路(2x−1000)米，由题意：建一条全长11000米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，列出一元一次方程，解方程即可；
(2)乙队每天修建道路y米，则甲队每天修建道路(x−20)米，由题意：乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的54倍，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
25.【答案】解：(1)△BDF是等边三角形，理由如下：
∵∠B=60°，DE/​/BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，
∴∠BDF=60°，
∴∠DFB=∠B=∠BDF=60°，
∴△BDF是等边三角形；
(2)由折叠可得∠A=∠DFE，
∵∠FDE=∠ADE=60°，
∴∠ADC=120°，
∵CF=EF，
∴∠FEC=∠FCE，
设∠FEC=∠FCE=x，则∠A=∠DFE=∠FEC+∠FCE=2x，
在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
即2x+x+120°=180°，
解得x=20°，
∴∠A=2x=40°；
(3)AD的长是3或6，理由如下：
当∠BFD=90°时，点F在△ABC内(如图所示)，

∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴BD=2DF，
由折叠得DF=AD，
∴BD=2AD，
∴3AD=9，
∴AD=3；
当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，

同理可得AD=DF=2BD，
∴AD=6．
【解析】(1)根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
(2)根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；
(3)根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到AD的长度．
本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，30°直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
26.【答案】解：发现：①∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°；
②∵∠BAC=100°，AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴∠B=∠ACB=40°，
同理，△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=40°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=80°；
探究：当点D在CB的延长线上时，α=β；理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，
∴∠DAB=∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
∵∠BAC=α，∠BCE=β，
∴α=β；
拓展：如图3−1中，当DE⊥AC时，则AC平分∠DAE，

同理△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE=γ，
∵∠ABC=∠ADE=γ，
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠DGC=∠DAC+∠ADE=∠DEC+∠ACE，
∴∠DEC=∠DAC=90°−γ；
如图3−2中，当DE⊥BC时，

∠DEC=∠CAD=∠ACB−∠ADC
=γ−(90°−γ)
=2γ−90°；
如图3−3中，当DE⊥AB时，

∠DEC=∠AEC+∠AED=∠ADB+∠AED
=∠ABC−∠DAB+∠AED
=γ−(90°−γ)+γ
=3γ−90°．
综上所述，满足条件∠DEC的值为90°−γ或2γ−90°或3γ−90°．
【解析】发现：①由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；
②同理由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=40°，可求∠BCE的度数；
探究：由“SAS”可证△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
拓展：分三种情形：如图3−1中，当DE⊥AC时，AC平分∠DAE，如图3−2中，当DE⊥BC时，如图3−3中，当DE⊥AB时，利用三角形内角和定理以及全等三角形的性质求解即可．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．