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2022-2023学年河北省保定一中贯通创新实验班九年级（上）月考数学试卷（11月份）(含解析)
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这是一份2022-2023学年河北省保定一中贯通创新实验班九年级（上）月考数学试卷（11月份）(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省保定一中贯通创新实验班九年级第一学期月考数学试卷（11月份）
一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2 D．y＝﹣
2．已知，＝＝且b+d≠0，下列各式正确的是（ ）
A．3c＝4d B． C． D．
3．将抛物线y＝2x2先沿x轴向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
4．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m取值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
5．下列关于反比例函数y＝﹣，说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）、（﹣1，2）均在其图象上
B．双曲线分布在二、四象限
C．该函数图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＜y2
D．当y＜﹣2时，x的范围是0＜x＜1
6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，＝，若△ADE的面积为1，则平行四边形BFED的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
8．函数y＝ax2﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
10．如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y＝（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
11．已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣2，其中m为任意实数，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
13．马路边上有一棵树AB，树底A距离护路坡CD的底端D有3米，斜坡CD的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为AD，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡CD上的DE处，且BE⊥CD，如图所示，线段DE的长度为（ ）米．
A．3﹣ B． C．3 D．2﹣3
14．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为1.6m B．至少为1.6m
C．至多为0.625m D．至少为0.625m
16．规定max{a，b}＝，若函数y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}，则该函数的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．5
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分．）
17．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是 ．
18．如果实数a，b满足a2+2a＝2，b2﹣2b＝2，且a+b≠0，则ab的值 ．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则sin∠EFC的值为 ．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：
①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；
②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．
其中正确的是 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，每题10分，共60分．）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
22．△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A，B（﹣3，﹣2）两点，其中点A的横坐标为1．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）将一次函数向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接CA，CB，求△ABC的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式mx+n≥的解集．
24．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元/盒的口罩，销售单价为16元/盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价x元．（0＜x＜6，x为整数）
（1）降价后，每盒盈利 元时，每天可售出 盒（用含x的式子表示）；
（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．
25．阅读下列材料：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
解决下面问题：
已知关于x的一元二次方程（2x+n）2＝4x有两个非零不等实数根x1，x2，设m＝．
（1）求n的取值范围；
（2）用含n的代数式表示出m，并求出m的取值范围．
26．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求以抛物线上与坐标轴距离相等的点为顶点的多边形的面积．
参考答案
一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2 D．y＝﹣
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y＝2x2是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．已知，＝＝且b+d≠0，下列各式正确的是（ ）
A．3c＝4d B． C． D．
【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．
解：∵＝，
∴4c＝3d，所以A选项不符合题意；
∵＝＝，且b+d≠0，
∴＝，所以B选项符合题意；
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，所以C选项不符合题意；
∵＝，
∴＝＝﹣，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
3．将抛物线y＝2x2先沿x轴向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
解：抛物线y＝2x2先向右平移2个单位长度，得：y＝2（x﹣2）2；
再向上平移3个单位长度，得：y＝2（x﹣2）2+3．
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m取值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入已知方程即可列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0有一个根为0，
∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
∴m2﹣1＝0，
解得，m＝﹣1．
即m的值是﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
5．下列关于反比例函数y＝﹣，说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）、（﹣1，2）均在其图象上
B．双曲线分布在二、四象限
C．该函数图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＜y2
D．当y＜﹣2时，x的范围是0＜x＜1
【分析】A选项，把点的坐标代入验算；B选项，根据k的值判断双曲线所在的象限；C选项，没有说明第几象限内，所以C选项错误，符合题意；D选项，当y＜﹣2时，函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大，当y＝﹣2时，x＝1，当y＜﹣2时，x的范围是0＜x＜1．
解：A选项，当x＝﹣2时，y＝1；
当x＝﹣1时，y＝2；
故该选项说法正确，不符合题意；
B选项，∵﹣2＜0，
∴双曲线分布在第二，四象限，
故该选项说法正确，不符合题意；
C选项，没有说明在第几象限内，
如果A（﹣2，1），B（1，﹣2），﹣2＜1，但是1＞﹣2，
故该选项说法错误，符合题意；
D选项，当y＜﹣2时，函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大，
当y＝﹣2时，x＝1，当y＜﹣2时，x的范围是0＜x＜1，
故该选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，在描述反比例函数的增减性的时候，必须说明在第几象限内，否则就是错误的．
6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，＝，若△ADE的面积为1，则平行四边形BFED的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案．
解：∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△EFC的面积＝9，
∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．
故选：A．
【点评】本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出红球出现的频率，然后即可求出总的球的个数，从而可以计算出白球的个数．
解：∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，
∴摸到红球的频率稳定在0.6左右，
∵袋中装有若干个白球和15个红球，
∴袋中球的总数为：15÷0.6＝25，
∴袋中白球约有：25﹣15＝10（个），
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是求出球的总数．
8．函数y＝ax2﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题只有一个待定系数a，且a≠0，根据a＞0和a＜0分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．
解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，但当x＝0时，y＝﹣a＜0，故B不可能；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，但当x＝0时，y＝﹣a＞0，故C、D不可能．
可能的是A．
故选：A．
【点评】讨论当a＞0时和a＜0时的两种情况，用了分类讨论的思想．
9．已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，再得出选项即可．
解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，
∵tanA＝3，
∴3，
又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，
∴60°＜∠A＜90°，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，能判断所给函数值在最接近的哪两个锐角的正切之间是解此题的关键．
10．如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y＝（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】连接CE．只要证明CE∥OB，推出S△OBE＝S△OBC，即可解决问题．
解：连接CE．
∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形，
∴∠ECF＝∠BOC＝45°，
∴CE∥OB，
∴S△OBE＝S△OBC，
∵点B在y＝上，
∴S△OBE＝S△OBC＝＝3，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣2，其中m为任意实数，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
【分析】直接求出P﹣Q的差，利用完全平方公式以及偶次方的性质求出即可．
解：∵P＝m2﹣m，Q＝m﹣2（m为任意实数），
∴P﹣Q＝m2﹣m﹣（m﹣2）＝m2﹣2m+2＝（m﹣1）2+1＞0，
∴P＞Q．
故选：A．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，运用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明∠BCD＝∠A，求tanA即可．根据三角函数的定义求解．
解：由勾股定理知，c2＝a2+b2
∴BC＝＝．
根据同角的余角相等，∠BCD＝∠A．
∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝．
故选：B．
【点评】本题利用了等角进行转换求解，考查三角函数的定义．
13．马路边上有一棵树AB，树底A距离护路坡CD的底端D有3米，斜坡CD的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为AD，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡CD上的DE处，且BE⊥CD，如图所示，线段DE的长度为（ ）米．
A．3﹣ B． C．3 D．2﹣3
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出AB，延长BE交AD延长线于F点，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
解：∵同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，AD＝3米，
∴树AB的高度是6米，
如图，延长BE，交AD于点F，
∵AB＝6，∠CDF＝60°，BE⊥CD，
∴∠DFE＝30°，
∴AF＝AB＝6（米），
∴DF＝AF﹣AD＝（6﹣3）米，
∴DE＝DF＝（6﹣3）＝（3﹣）米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
14．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF＝AB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF可得答案．
解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝10，D为AB中点，
∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，
∴∠ABF＝∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即，
解得：DE＝8，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
15．古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为1.6m B．至少为1.6m
C．至多为0.625m D．至少为0.625m
【分析】直接利用：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；把F＝500N代入所求的函数解析式即可得到结论．
解：由题意可得：1600×0.5＝Fl，
则F与l的函数表达式为：F＝；
当动力F＝500N时，
500＝，
解得l＝，
答：动力F＝500N时，动力臂至少为1.6m，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键．
16．规定max{a，b}＝，若函数y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}，则该函数的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．5
【分析】令﹣2x+1＝x2﹣2x﹣3，求出直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝x2﹣2x﹣3的交点，结合图象求解．
解：令﹣2x+1＝x2﹣2x﹣3，
解得x1＝﹣2，x2＝2，
将x＝﹣2代入y＝﹣2x+1得y＝5，
将x＝2代入y＝﹣2x+1得y＝﹣3，
∴直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝x2﹣2x﹣3的交点为（﹣2，5），（2，﹣3），
如图，
∴当x≤﹣2时，y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}＝x2﹣2x﹣3，函数最小值为y＝5，
当﹣2＜x＜2时，y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}＝﹣2x+1，﹣3＜y＜5．
当x≥2时，y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}＝x2﹣2x﹣3，函数最小值为y＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，结合图象求解．
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分．）
17．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴，即，
解得：DE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18．如果实数a，b满足a2+2a＝2，b2﹣2b＝2，且a+b≠0，则ab的值 2 ．
【分析】由“实数a，b满足a2+2a＝2，b2﹣2b＝2，且a+b≠0”，可得出实数a，﹣b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不等实数根，再利用根与系数的关系，即可求出ab的值．
解：∵实数a，b满足a2+2a＝2，b2﹣2b＝2，且a+b≠0，
∴实数a，﹣b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不等实数根，
∴a（﹣b）＝﹣2，
∴ab＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则sin∠EFC的值为 ．
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝8，则CF＝BC﹣BF＝2，设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+22＝（6﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，
在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得x＝，
∴EF＝6﹣x＝，
∴sin∠EFC＝＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：
①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；
②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．
其中正确的是 ①②④ ．（填写序号）
【分析】由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，图象经过点（﹣1，0），由抛物线的对称性即可判断①；由Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，即可判断②；由a﹣b+c＝0，则方程a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0在2﹣x＝﹣1是成立，求得x＝﹣3，即可判断③；由题意可知，由题意可知，抛物线开口向上，且﹣≤2，则﹣b≤4a，结合a﹣b+c＝0，即可判断④．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a﹣b+c＝0，
∴（﹣1，0）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵b＝﹣2a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴抛物线经过点（3，0），即①正确；
②Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
∵a≠c，
∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故②正确；
③方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c整理得，a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0，
∵a﹣b+c＝0，
∴当2﹣x＝﹣1时，a+b+c＝0，
∴x＝3，
∴一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3；故③错误；
④由题意可知，抛物线开口向上，且﹣≤2，
∴﹣b≤4a，
∵a﹣b+c＝0，
∴﹣b＝﹣a﹣c，
∴﹣a﹣c≤4a，
∴5a+c≥0．故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础．
三、解答题（本大题共6小题，每题10分，共60分．）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
22．△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．
【分析】过点A作 AD⊥BC，利用三角形的内角和定理先求出∠DCA、∠BAD，再利用直角三角形的边角间关系求出CD、AD的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论．
解：过点A作 AD⊥BC，交BC的延长线于点D．
∵∠B＝45°，∠BAC＝15°，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝60°，∠BAD＝45°．
在Rt△ACD中，
∵cos∠DCA＝＝cos60°＝，
sin∠DCA＝＝sin60°＝，AC＝10（cm），
∴CD＝5cm，AD＝5cm．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠B，
∴BD＝AD＝5（cm）．
∴BC＝BD﹣CD＝（5﹣5）cm．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A，B（﹣3，﹣2）两点，其中点A的横坐标为1．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）将一次函数向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接CA，CB，求△ABC的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式mx+n≥的解集．
【分析】（1）把点B（﹣3，﹣2）代入y＝（k≠0），求得k，进而求得A的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得C的坐标，求得直线AB与x轴的交点D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD求得即可；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B（﹣3，﹣2），
∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把x＝1代入得，y＝＝6，
∴A（1，6），
∵把A、B的坐标代入y＝mx+n（m≠0）得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x+4；
（2）把y＝0，代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴D（﹣2，0），
将一次函数向下平移8个单位长度后，得到y＝2x﹣4，
令y＝0，则0＝2x﹣4，解得x＝2，
∴C（2，0），
∴CD＝4，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝×（6+2）＝16；
（3）由图象可知不等式mx+n≥的解集是﹣3≤x＜0或x≥1．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
24．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元/盒的口罩，销售单价为16元/盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价x元．（0＜x＜6，x为整数）
（1）降价后，每盒盈利 （6﹣x） 元时，每天可售出 （60+30x） 盒（用含x的式子表示）；
（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）降价后，每盒盈利（6﹣x）元时，每天可售出（60+30x）盒；
故答案为：（6﹣x），（60+30x）；
（2）设可取得的利润为y元，
根据题意得，y＝（6﹣x）（60+30x）＝﹣30x2+120x+360，
即y＝﹣30（x﹣2）2+480，
答：每盒2元时，可取得最大利润，此时最大利润为480元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
25．阅读下列材料：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
解决下面问题：
已知关于x的一元二次方程（2x+n）2＝4x有两个非零不等实数根x1，x2，设m＝．
（1）求n的取值范围；
（2）用含n的代数式表示出m，并求出m的取值范围．
【分析】（1）把方程变形成一般形式，再根据有两个非零不等实数根列出不等式，即可求出n的范围；
（2）由一元二次方程写出x1+x2＝﹣n+1，x1•x2＝，再代入m＝+＝即可得答案．
解：（1）将（2x+n）2＝4x变形得：4x2+（4n﹣4）x+n2＝0，
∵（2x+n）2＝4x有两个非零不等实数根，
∴Δ＞0，即（4n﹣4）2﹣4×4n2＞0，
解得n＜，
∵x1≠0，x2≠0，
∴n≠0，
∴n的取值范围是n＜且n≠0；
（2）x1、x2是4x2+（4n﹣4）x+n2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣n+1，x1•x2＝，
∴m＝+＝＝，
∵且n≠0，
∴﹣8n＞﹣4，
∴﹣8n+8＞﹣4+8，
即﹣8n+8＞4，
∵n≠0，
∴n2＞0，
∴，
即m＞0．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
26．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求以抛物线上与坐标轴距离相等的点为顶点的多边形的面积．
【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入即可．
（2）求出抛物线上与坐标轴距离相等的点，再求多边形的面积即可．
解：（1）因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
所以令抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
又点C（0，3）在抛物线上，
所以a（0+1）（0﹣3）＝3，得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）．
（2）将y＝x与y＝﹣（x+1）（x﹣3）联立方程组得，
，解得或．
将y＝﹣x与y＝﹣（x+1）（x﹣3）联立方程组得，
，解得或．
则EF＝＝，
MN＝＝，
又y＝x和y＝﹣x的比例系数分别是1和﹣1，且1×（﹣1）＝﹣1，
所以MN⊥EF，
所以＝．
所以抛物线上与坐标轴距离相等的点为顶点的多边形的面积是．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半是解题的关键．
2022-2023学年河北省保定一中贯通创新实验班九年级第一学期月考数学试卷（11月份）
一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2 D．y＝﹣
2．已知，＝＝且b+d≠0，下列各式正确的是（ ）
A．3c＝4d B． C． D．
3．将抛物线y＝2x2先沿x轴向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
4．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m取值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
5．下列关于反比例函数y＝﹣，说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）、（﹣1，2）均在其图象上
B．双曲线分布在二、四象限
C．该函数图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＜y2
D．当y＜﹣2时，x的范围是0＜x＜1
6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，＝，若△ADE的面积为1，则平行四边形BFED的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
8．函数y＝ax2﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
10．如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y＝（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
11．已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣2，其中m为任意实数，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
13．马路边上有一棵树AB，树底A距离护路坡CD的底端D有3米，斜坡CD的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为AD，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡CD上的DE处，且BE⊥CD，如图所示，线段DE的长度为（ ）米．
A．3﹣ B． C．3 D．2﹣3
14．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为1.6m B．至少为1.6m
C．至多为0.625m D．至少为0.625m
16．规定max{a，b}＝，若函数y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}，则该函数的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．5
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分．）
17．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是 ．
18．如果实数a，b满足a2+2a＝2，b2﹣2b＝2，且a+b≠0，则ab的值 ．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则sin∠EFC的值为 ．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：
①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；
②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．
其中正确的是 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，每题10分，共60分．）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
22．△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A，B（﹣3，﹣2）两点，其中点A的横坐标为1．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）将一次函数向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接CA，CB，求△ABC的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式mx+n≥的解集．
24．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元/盒的口罩，销售单价为16元/盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价x元．（0＜x＜6，x为整数）
（1）降价后，每盒盈利 元时，每天可售出 盒（用含x的式子表示）；
（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．
25．阅读下列材料：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
解决下面问题：
已知关于x的一元二次方程（2x+n）2＝4x有两个非零不等实数根x1，x2，设m＝．
（1）求n的取值范围；
（2）用含n的代数式表示出m，并求出m的取值范围．
26．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求以抛物线上与坐标轴距离相等的点为顶点的多边形的面积．
参考答案
一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝2x2 D．y＝﹣
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y＝2x2是二次函数，故本选项正确；
D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．已知，＝＝且b+d≠0，下列各式正确的是（ ）
A．3c＝4d B． C． D．
【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．
解：∵＝，
∴4c＝3d，所以A选项不符合题意；
∵＝＝，且b+d≠0，
∴＝，所以B选项符合题意；
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，所以C选项不符合题意；
∵＝，
∴＝＝﹣，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
3．将抛物线y＝2x2先沿x轴向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
解：抛物线y＝2x2先向右平移2个单位长度，得：y＝2（x﹣2）2；
再向上平移3个单位长度，得：y＝2（x﹣2）2+3．
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m取值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入已知方程即可列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0有一个根为0，
∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
∴m2﹣1＝0，
解得，m＝﹣1．
即m的值是﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
5．下列关于反比例函数y＝﹣，说法不正确的是（ ）
A．点（﹣2，1）、（﹣1，2）均在其图象上
B．双曲线分布在二、四象限
C．该函数图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2，则y1＜y2
D．当y＜﹣2时，x的范围是0＜x＜1
【分析】A选项，把点的坐标代入验算；B选项，根据k的值判断双曲线所在的象限；C选项，没有说明第几象限内，所以C选项错误，符合题意；D选项，当y＜﹣2时，函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大，当y＝﹣2时，x＝1，当y＜﹣2时，x的范围是0＜x＜1．
解：A选项，当x＝﹣2时，y＝1；
当x＝﹣1时，y＝2；
故该选项说法正确，不符合题意；
B选项，∵﹣2＜0，
∴双曲线分布在第二，四象限，
故该选项说法正确，不符合题意；
C选项，没有说明在第几象限内，
如果A（﹣2，1），B（1，﹣2），﹣2＜1，但是1＞﹣2，
故该选项说法错误，符合题意；
D选项，当y＜﹣2时，函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大，
当y＝﹣2时，x＝1，当y＜﹣2时，x的范围是0＜x＜1，
故该选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，在描述反比例函数的增减性的时候，必须说明在第几象限内，否则就是错误的．
6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，＝，若△ADE的面积为1，则平行四边形BFED的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案．
解：∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴△EFC的面积＝9，
∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．
故选：A．
【点评】本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出红球出现的频率，然后即可求出总的球的个数，从而可以计算出白球的个数．
解：∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，
∴摸到红球的频率稳定在0.6左右，
∵袋中装有若干个白球和15个红球，
∴袋中球的总数为：15÷0.6＝25，
∴袋中白球约有：25﹣15＝10（个），
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是求出球的总数．
8．函数y＝ax2﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题只有一个待定系数a，且a≠0，根据a＞0和a＜0分类讨论．也可以采用“特值法”，逐一排除．
解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，但当x＝0时，y＝﹣a＜0，故B不可能；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，但当x＝0时，y＝﹣a＞0，故C、D不可能．
可能的是A．
故选：A．
【点评】讨论当a＞0时和a＜0时的两种情况，用了分类讨论的思想．
9．已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，再得出选项即可．
解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，
∵tanA＝3，
∴3，
又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，
∴60°＜∠A＜90°，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，能判断所给函数值在最接近的哪两个锐角的正切之间是解此题的关键．
10．如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y＝（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】连接CE．只要证明CE∥OB，推出S△OBE＝S△OBC，即可解决问题．
解：连接CE．
∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形，
∴∠ECF＝∠BOC＝45°，
∴CE∥OB，
∴S△OBE＝S△OBC，
∵点B在y＝上，
∴S△OBE＝S△OBC＝＝3，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣2，其中m为任意实数，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定
【分析】直接求出P﹣Q的差，利用完全平方公式以及偶次方的性质求出即可．
解：∵P＝m2﹣m，Q＝m﹣2（m为任意实数），
∴P﹣Q＝m2﹣m﹣（m﹣2）＝m2﹣2m+2＝（m﹣1）2+1＞0，
∴P＞Q．
故选：A．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，运用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明∠BCD＝∠A，求tanA即可．根据三角函数的定义求解．
解：由勾股定理知，c2＝a2+b2
∴BC＝＝．
根据同角的余角相等，∠BCD＝∠A．
∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝．
故选：B．
【点评】本题利用了等角进行转换求解，考查三角函数的定义．
13．马路边上有一棵树AB，树底A距离护路坡CD的底端D有3米，斜坡CD的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为AD，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡CD上的DE处，且BE⊥CD，如图所示，线段DE的长度为（ ）米．
A．3﹣ B． C．3 D．2﹣3
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出AB，延长BE交AD延长线于F点，根据30度角的直角三角形即可求出结果．
解：∵同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，AD＝3米，
∴树AB的高度是6米，
如图，延长BE，交AD于点F，
∵AB＝6，∠CDF＝60°，BE⊥CD，
∴∠DFE＝30°，
∴AF＝AB＝6（米），
∴DF＝AF﹣AD＝（6﹣3）米，
∴DE＝DF＝（6﹣3）＝（3﹣）米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
14．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF＝AB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF可得答案．
解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝10，D为AB中点，
∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，
∴∠ABF＝∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即，
解得：DE＝8，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
15．古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为1.6m B．至少为1.6m
C．至多为0.625m D．至少为0.625m
【分析】直接利用：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；把F＝500N代入所求的函数解析式即可得到结论．
解：由题意可得：1600×0.5＝Fl，
则F与l的函数表达式为：F＝；
当动力F＝500N时，
500＝，
解得l＝，
答：动力F＝500N时，动力臂至少为1.6m，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键．
16．规定max{a，b}＝，若函数y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}，则该函数的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．5
【分析】令﹣2x+1＝x2﹣2x﹣3，求出直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝x2﹣2x﹣3的交点，结合图象求解．
解：令﹣2x+1＝x2﹣2x﹣3，
解得x1＝﹣2，x2＝2，
将x＝﹣2代入y＝﹣2x+1得y＝5，
将x＝2代入y＝﹣2x+1得y＝﹣3，
∴直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝x2﹣2x﹣3的交点为（﹣2，5），（2，﹣3），
如图，
∴当x≤﹣2时，y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}＝x2﹣2x﹣3，函数最小值为y＝5，
当﹣2＜x＜2时，y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}＝﹣2x+1，﹣3＜y＜5．
当x≥2时，y＝max{﹣2x+1，x2﹣2x﹣3}＝x2﹣2x﹣3，函数最小值为y＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，结合图象求解．
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分．）
17．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴，即，
解得：DE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18．如果实数a，b满足a2+2a＝2，b2﹣2b＝2，且a+b≠0，则ab的值 2 ．
【分析】由“实数a，b满足a2+2a＝2，b2﹣2b＝2，且a+b≠0”，可得出实数a，﹣b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不等实数根，再利用根与系数的关系，即可求出ab的值．
解：∵实数a，b满足a2+2a＝2，b2﹣2b＝2，且a+b≠0，
∴实数a，﹣b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣2＝0的两个不等实数根，
∴a（﹣b）＝﹣2，
∴ab＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则sin∠EFC的值为 ．
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝8，则CF＝BC﹣BF＝2，设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+22＝（6﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，
在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得x＝，
∴EF＝6﹣x＝，
∴sin∠EFC＝＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：
①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；
②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．
其中正确的是 ①②④ ．（填写序号）
【分析】由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，图象经过点（﹣1，0），由抛物线的对称性即可判断①；由Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，即可判断②；由a﹣b+c＝0，则方程a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0在2﹣x＝﹣1是成立，求得x＝﹣3，即可判断③；由题意可知，由题意可知，抛物线开口向上，且﹣≤2，则﹣b≤4a，结合a﹣b+c＝0，即可判断④．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a﹣b+c＝0，
∴（﹣1，0）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵b＝﹣2a，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴抛物线经过点（3，0），即①正确；
②Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
∵a≠c，
∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故②正确；
③方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c整理得，a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0，
∵a﹣b+c＝0，
∴当2﹣x＝﹣1时，a+b+c＝0，
∴x＝3，
∴一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3；故③错误；
④由题意可知，抛物线开口向上，且﹣≤2，
∴﹣b≤4a，
∵a﹣b+c＝0，
∴﹣b＝﹣a﹣c，
∴﹣a﹣c≤4a，
∴5a+c≥0．故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础．
三、解答题（本大题共6小题，每题10分，共60分．）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
22．△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．
【分析】过点A作 AD⊥BC，利用三角形的内角和定理先求出∠DCA、∠BAD，再利用直角三角形的边角间关系求出CD、AD的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论．
解：过点A作 AD⊥BC，交BC的延长线于点D．
∵∠B＝45°，∠BAC＝15°，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝60°，∠BAD＝45°．
在Rt△ACD中，
∵cos∠DCA＝＝cos60°＝，
sin∠DCA＝＝sin60°＝，AC＝10（cm），
∴CD＝5cm，AD＝5cm．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠B，
∴BD＝AD＝5（cm）．
∴BC＝BD﹣CD＝（5﹣5）cm．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A，B（﹣3，﹣2）两点，其中点A的横坐标为1．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）将一次函数向下平移8个单位长度后，与x轴交于点C，连接CA，CB，求△ABC的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式mx+n≥的解集．
【分析】（1）把点B（﹣3，﹣2）代入y＝（k≠0），求得k，进而求得A的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得C的坐标，求得直线AB与x轴的交点D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD求得即可；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B（﹣3，﹣2），
∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把x＝1代入得，y＝＝6，
∴A（1，6），
∵把A、B的坐标代入y＝mx+n（m≠0）得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x+4；
（2）把y＝0，代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴D（﹣2，0），
将一次函数向下平移8个单位长度后，得到y＝2x﹣4，
令y＝0，则0＝2x﹣4，解得x＝2，
∴C（2，0），
∴CD＝4，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝×（6+2）＝16；
（3）由图象可知不等式mx+n≥的解集是﹣3≤x＜0或x≥1．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
24．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元/盒的口罩，销售单价为16元/盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价x元．（0＜x＜6，x为整数）
（1）降价后，每盒盈利 （6﹣x） 元时，每天可售出 （60+30x） 盒（用含x的式子表示）；
（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）降价后，每盒盈利（6﹣x）元时，每天可售出（60+30x）盒；
故答案为：（6﹣x），（60+30x）；
（2）设可取得的利润为y元，
根据题意得，y＝（6﹣x）（60+30x）＝﹣30x2+120x+360，
即y＝﹣30（x﹣2）2+480，
答：每盒2元时，可取得最大利润，此时最大利润为480元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
25．阅读下列材料：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
解决下面问题：
已知关于x的一元二次方程（2x+n）2＝4x有两个非零不等实数根x1，x2，设m＝．
（1）求n的取值范围；
（2）用含n的代数式表示出m，并求出m的取值范围．
【分析】（1）把方程变形成一般形式，再根据有两个非零不等实数根列出不等式，即可求出n的范围；
（2）由一元二次方程写出x1+x2＝﹣n+1，x1•x2＝，再代入m＝+＝即可得答案．
解：（1）将（2x+n）2＝4x变形得：4x2+（4n﹣4）x+n2＝0，
∵（2x+n）2＝4x有两个非零不等实数根，
∴Δ＞0，即（4n﹣4）2﹣4×4n2＞0，
解得n＜，
∵x1≠0，x2≠0，
∴n≠0，
∴n的取值范围是n＜且n≠0；
（2）x1、x2是4x2+（4n﹣4）x+n2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣n+1，x1•x2＝，
∴m＝+＝＝，
∵且n≠0，
∴﹣8n＞﹣4，
∴﹣8n+8＞﹣4+8，
即﹣8n+8＞4，
∵n≠0，
∴n2＞0，
∴，
即m＞0．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
26．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求以抛物线上与坐标轴距离相等的点为顶点的多边形的面积．
【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入即可．
（2）求出抛物线上与坐标轴距离相等的点，再求多边形的面积即可．
解：（1）因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
所以令抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
又点C（0，3）在抛物线上，
所以a（0+1）（0﹣3）＝3，得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）．
（2）将y＝x与y＝﹣（x+1）（x﹣3）联立方程组得，
，解得或．
将y＝﹣x与y＝﹣（x+1）（x﹣3）联立方程组得，
，解得或．
则EF＝＝，
MN＝＝，
又y＝x和y＝﹣x的比例系数分别是1和﹣1，且1×（﹣1）＝﹣1，
所以MN⊥EF，
所以＝．
所以抛物线上与坐标轴距离相等的点为顶点的多边形的面积是．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半是解题的关键．
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