2023年江苏省苏州市姑苏区草桥中学中考数学零模试卷(含答案解析)

这是一份2023年江苏省苏州市姑苏区草桥中学中考数学零模试卷(含答案解析)，共24页。试卷主要包含了 2023的倒数是， 被誉为， 下列运算正确的是， 计算， 因式分解等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市姑苏区草桥中学中考数学零模试卷
1. 2023的倒数是(    )
A. −2023 B. 2023 C. 12023 D. −12023
2. 被誉为：“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，将250000用科学记数法可表示为(    )
A. 25×104 B. 2.5×105 C. 2.5×104 D. 0.25×106
3. 为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取方法最合适的是(    )
A. 随机抽取一个班级的学生 B. 随机抽取一个年级的学生
C. 随机抽取一部分男生 D. 在全校每个班级中随机抽取10%的学生
4. 下列运算正确的是(    )
A. 2a2⋅3a=6a3 B. (2a)3=2a3 C. a6÷a2=a8 D. 3a2+4a3=7a5
5. 如图所示，已知AB//CD，EF平分∠CEG，若∠1=70∘，则∠GFE的度数为(    )


A. 60∘ B. 45∘ C. 55∘ D. 70∘
6. 如图，有一个三角形纸片ABC，点D、E分别是AB、AC边上的中点，△ADE为阴影部分.现有一蚂蚁在纸片上任意爬行，并随机停留在某处，则蚂蚁停在阴影部分的概率是(    )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 23
7. 在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是(    )
A. 50x−50(1+30%)x=2 B. 50x−5030%x=2
C. 5030%x−2=50x D. 50(1+30%)x−50x=2
8. 如图，正方形ABCD的边长AB=8，点E为平面内一动点，且AE=4，点F为CD上一点，CF=2，连接EF、ED，当线段EF的长最小时，三角形ADE的面积是(    )

A. 485 B. 245 C. 125 D. 65
9. 计算： 16=______.
10. 因式分解：a2−9=______.
11. 正n边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则n=______ .
12. 若关于x的一元二次方程mx2−nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m−n的值是______.
13. 一次函数y=ax−2的图象经过点(3,0)，当y>0时，x的取值范围是______ .
14. 如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为__________.






15. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=150∘.利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内，交于点G；作射线BG交DC于点H.若AD=2，则BH2的长为______ .

16. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90∘到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是______ .

17. 计算：|−2|− 4+(12)−2+cos30∘.
18. 解不等式组：x−12<2x−133(x+1)≥5x+4.
19. 先化简，再求值：x+2x2−4x+4÷(42−x−1)，其中x=2− 3.
20. 某校开展“垃圾分类，从我做起”的活动，该活动的志愿者从甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取．
(1)若随机抽取1名，甲被抽中的概率为______；
(2)若随机抽取2名，求甲在其中的概率．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90∘，点E在BC上，AE//DC，EF⊥AB，垂足为F.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BC=8，BF=4，求sinB的值.

22. “勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0≤x<10)，B(10≤x<20)，C(20≤x<30)，D(30≤x<40)，E(x≥40).并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；
(2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
(3)扇形统计图中m的值是______，类别D所对应的扇形圆心角的度数是______度；
(4)若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
23. 如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点A(2 2,m)，点P是反比例函数y=kx(k≠0,x>0)图象上的一动点.过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y=x于点G.
(1)求k与m的值；
(2)若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标.

24. 妮妮打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈.已知，买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)妮妮准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，她怎样购买可以使买花费用最少？
25. 如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE=DE.
(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=4，sinC=13.
①求⊙O的半径；
②求BD的长．





26. 定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”.
(1)如图1，在对角互余四边形ABCD中，∠D=30∘，且AC⊥BC，AC⊥AD.若BC=1，求四边形ABCD的面积和周长.
(2)如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90∘，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC=∠ABC，求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；
(3)在(2)的条件下，如图3，已知AD=4，DC= 10，AB=3AC，连接BD，求线段BD的长.

27. 如图1，抛物线y=(x−m)2−2m+1(m为常数)与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C.
(1)下列说法正确的是______ (填序号).
①该抛物线开口向上；
②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方；
③该抛物线的顶点在直线y=−2x+1上.
(2)如图2，若直线y=−2x+1与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段MN的长是一个定值，并求出这个值.
(3)在(2)的条件下，点E是直线y=−2x+1上的一个动点(图3)，当EN：MN=1：2时，△BMN与△BEM相似，求此时抛物线的函数表达式.

答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：2023的倒数是12023，
故选：C.
利用倒数的定义判断．
本题考查了倒数，解题的关键是掌握倒数的定义．

2.【答案】B 
【解析】解：将250000 用科学记数法表示为2.5×105.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】D 
【解析】解：A.随机抽取一个班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故A选项不符合题意；
B.随机抽取一个年级的学生，不能很好地反映总体的情况，故B选项不符合题意；
C.随机抽取一部分男生，不能很好地反映总体的情况，故C选项不符合题意；
D.在全校每个班级中随机抽取10%的学生，能很好地反映总体的情况，故D选项符合题意．
故选：D.
应用抽样调查的可靠性进行判定即可出答案．
本题主要考查了抽样调查的可靠性，熟练掌握抽样调查的可靠性的定义进行求解是解决本题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：A、2a2⋅3a=6a3，故A符合题意；
B、(2a)3=8a3，故B不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不符合题意；
D、3a2与4a3不能合并，故D不符合题意；
故选：A.
根据单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：因为∠1+∠CEG=180∘，∠1=70∘，
所以∠CEG=110∘，
因为EF平分∠CEG，
所以∠CEF=12∠CEG=55∘，
又因为AB//CD，
所以∠GFE=∠CEF=55∘，
故选：C.
由平角的定义可求解∠CEG的度数，结合角平分线的定义可求∠CEF得度数，再利用平行线的性质可求解．
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是利用平行线的性质确定内错角相等，然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系．

6.【答案】C 
【解析】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE=12BC，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∴石子落在阴影部分的概率是14.
故选：C.
根据三角形中位线定理得出DE=12BC，DE//BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，得出S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，即可求解．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．也考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．

7.【答案】A 
【解析】解：由题意可得，
50x−50(1+30%)x=2，
故选：A.
根据原计划的天数-实际的天数=提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．

8.【答案】A 
【解析】解：∵AE=4，
∴E的轨迹是以A为圆心，4为半径的⊙A，
当E在线段AF上时，EF最小，过E作EH⊥AD于H，如图：

∵AB=AD=CD=8，CF=2，
∴DF=6，
∴AF= AD2+DF2= 82+62=10，
∵sin∠DAF=DFAF=HEAE，
∴HE=610×4=125，
∴S△ADE=12×8×125=485，
故选：A.
由AE=4，知E的轨迹是以A为圆心，4为半径的⊙A，故当E在线段AF上时，EF最小，过E作EH⊥AD于H，可得DF=6，AF= AD2+DF2=10，根据DFAF=HEAE，即得HE=610×4=125，从而可得答案．
本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形面积，动点问题，解题的关键是理解E在线段AF上时，EF最小．

9.【答案】4 
【解析】解：∵42=16，
∴ 16=4，
故答案为4.
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

10.【答案】(a+3)(a−3) 
【解析】
【分析】
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．a2−9可以写成a2−32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：a2−9=(a+3)(a−3)，
故答案为(a+3)(a−3).  
11.【答案】12 
【解析】解：设多边形的每个外角为n，则其内角为5n，
n+5n=180∘，
解得：n=30∘，
即这个多边形的边数为：360∘÷30∘=12.
故答案为：12.
正n边形每个内角的度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，进而利用外角和求出n.
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．

12.【答案】1 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2−nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，
∴m−n−1=0，
∴m−n=1，
故答案为：1.
将x=1代入mx2−nx−1=0(m≠0)中即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．

13.【答案】x>3 
【解析】解：∵一次函数y=ax−2的图像经过点(3,0)，
∴3a−2=0，
∴a=23，
∵23>0，
∴函数y=ax−2随x的增大而增大，
∴当y>0时，x的取值范围是x>3.
故答案为：x>3.
将点的坐标代入解析式即可求得a的值，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是首先正确的确定一次函数的解析式，难度不大．

14.【答案】120∘ 
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n∘，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2=nπ×6180，然后解方程即可．
【解答】
解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n∘，
根据题意得2π×2=nπ×6180，
解得n=120，
所以侧面展开图的圆心角为120∘.
故答案为：120∘.  
15.【答案】8−4 3 
【解析】解：在▱ABCD中，∠ABC=150∘，
∴AB//CD，BC=AD=2，∠C=30∘，
由作图知，BH平分∠ABC，
∴∠CBH=∠ABH，
∵AB//CD，
∴∠CHB=∠ABH，
∴∠CHB=∠CBH，
∴CH=BC=2，
过B作BP⊥CD于P，
∴∠CPB=90∘，
∴BP=12BC=1，CP= 32BC= 3，
∴HP=CH−CP=2− 3，
∴BH2=BP2+HP2=8−4 3，
故答案为：8−4 3，
根据平行四边形的性质得到C=30∘，AB//CD，BC=AD=2，根据角平分线的定义得到∠CBH=∠ABH，过B作BP⊥CD于P，根据直角三角形的性质得到BP=12BC=1，CP= 32BC= 3，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图-基本作图，掌握角平分线的定义、矩形的性质等知识是解题的关键．

16.【答案】3 5 
【解析】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90∘到EF，
∴EF⊥DE，且EF=DE，
∴△AED≌△GFE(AAS)，
∴FG=AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C′，
∵EG=DA，FG=AE，
∴AE=BG，
∴BG=FG，
∴∠FBG=45∘，
∴∠CBF=45∘，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C′点在AB的延长线上，
当D、F、C′三点共线时，DF+CF=DC′最小，
在Rt△ADC′中，AD=3，AC′=6，
∴DC′= AD2+C′A2= 36+9=3 5，
∴DF+CF的最小值为3 5，
故答案为：3 5.
过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE(AAS)，确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C′，由三角形全等得到∠CBF=45∘，从而确定C′点在AB的延长线上；当D、F、C′三点共线时，DF+CF=DC′最小，在Rt△ADC′中，AD=3，AC′=6，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．

17.【答案】解：原式=2−2+4+ 32
=4+ 32. 
【解析】先分别化简绝对值，算术平方根，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解算术平方根的概念，掌握a−p=1ap(a≠0)，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

18.【答案】解：{x−12<2x−13①3(x+1)⩾5x+4②，
由①得：x>−1，
由②得：x≤−12，
∴原不等式组的解集是−1 【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

19.【答案】解：x+2x2−4x+4÷(42−x−1)
=x+2(x−2)2÷4−2+x2−x
=x+2(x−2)2⋅2−x2+x
=12−x，
当x=2− 3时，原式=12−2+ 3= 33. 
【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20.【答案】解：(1)14；
(2)画树状图得：

共有12种可能的结果：
(甲，乙)、(甲，丙)、(甲，丁)、(乙，甲)、(乙，丙)、(乙，丁)、(丙，甲)、(丙，乙)、(丙，丁)、(丁，甲)、(丁，乙)、(丁，丙).
它们是等可能的，记“随机抽取2名，甲在其中”为事件A，则事件A发生的可能有6种：(甲，乙)、(甲，丙)、(甲，丁)、(乙，甲)、(丙，甲)、(丁，甲).
∴P(A)=12，
即随机抽取2名，求甲在其中的概率是12. 
【解析】
[【分析】
本题考查的是树状图求概率．概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)由从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)利用树状图法抽取2名，可得总共有12种等可能的结果，甲在其中的有6种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：(1)随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等．
抽取1名恰好是甲(记为事件A)的结果有1种，
所以P(A)=14.
故答案为：14；
(2)见答案．  
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90∘，
∴AD//CE，
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴EC⊥AC，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴EF=EC，
设BE=x，则EF=EC=BC−BE=8−x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF2+EF2=BE2，
即42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴BE=5，EF=8−x=3，
∴sinB=EFBE=35. 
【解析】(1)证AD//CE，再由AE//DC，即可得出结论；
(2)由角平分线的性质得EF=EC，设BE=x，则EF=EC=BC−BE=8−x，在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，求出x=5，则BE=5，EF=3，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．

22.【答案】(1)50
(2)B类人数：50×24%=12(人)，
D类人数：50−10−12−16−4=8(人)，

(3)32，57.6
(4)估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．
800×(1−20%−24%)=448(名)，
答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时． 
【解析】解：(1)本次共调查了10÷20%=50(人)，
故答案为50；
(2)见答案
(3)1650×100%=32%，即m=32，
类别D所对应的扇形圆心角的度数360∘×850=57.6∘，
故答案为32，57.6；
(4)见答案
(1)本次共调查了10÷20%=50(人)；
(2)B类人数：50×24%=12(人)，D类人数：50−10−12−16−4=8(人)，根据此信息补全条形统计图即可；
(3)1650×100%=32%，即m=32，类别D所对应的扇形圆心角的度数360∘×850=57.6∘；
(4)估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800×(1−20%−24%)=448(名).
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23.【答案】解：(1)∵正比例函数y=x与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点A(2 2,m)，
∴m=2 2，k=2 2m，
∴k=8，
(2)设H点的横坐标为x，则G(x,x)，
∴S△GOH=12x2，
∵S△POH=12k=4，
∴S△OPG=S△POH−S△GOH=4−12x2=2，
∴x=2(负数舍去)，
∴P点的横坐标为2，
∴y=82=4，
∴P点的坐标为(2,4). 
【解析】(1)利用正比例函数的解析式求得m=2 2，然后利用待定系数法即可求得k=8；
(2)设H点的横坐标为x，则G(x,x)，即可求得S△GOH=12x2，由S△POH=12k=4，得出S△OPG=S△POH−S△GOH=4−12x2=2，解得x=2，进而求得P点的坐标为(2,4).
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出点的坐标是解题的关键．

24.【答案】解：(1)设买一支康乃馨需x元，买一支百合y元，
根据题意得：x+2y=143x−2y=2，
解得x=4y=5，
答：买一支康乃馨需4元，买一支百合5元；
(2)设买康乃馨a支，总费用w元，
∵康乃馨不多于9支，
∴a≤9，
根据题意得：w=4a+5(11−a)=−a+55，
∴w=−a+55，
∵−1<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=9时，w取最小值，最小值为−9+55=46(元)，
答：买康乃馨9支，最少费用是46元． 
【解析】(1)设买一支康乃馨需x元，买一支百合y元，可得x+2y=143x−2y=2，即可解得买一支康乃馨需4元，买一支百合5元；
(2)设买康乃馨a支，总费用w元，由康乃馨不多于9支，得a≤9，而w=4a+5(11−a)=−a+55，根据一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式．

25.【答案】 解：(1)CD是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OD.






∵BE=DE，OB=OD，
∴∠EBD=∠EDB，∠OBD=∠ODB，
∵BE是⊙O的切线，OB是半径，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90∘，
∴∠EBD+∠OBD=90∘，
∴∠EDB+∠ODB=90∘，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)①设OD=OA=r，
∵OD⊥CD，
∴sinC=ODOC=ODOA+AC=13，
∴rr+4=13，
∴r=2，
∴⊙O的半径为2；
②在Rt△COD中，CD= OC2−OD2= (2+4)2−22=4 2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠DBA+∠BAD=90∘，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC+∠ODA=90∘，
∴∠ADC+∠OAD=90∘，
∴∠ADC=∠DBC，
∵∠C=∠C，
∴△CDA∽△CBD，
∴ADDB=ACDC=44 2= 22，
设AD= 2k，DB=2k，
∵AD2+DB2=AB2，
∴( 2k)2+(2k)2=42，
∴k=2 63(负根已经舍去)，
∴BD=2k=4 63.
 
 
【解析】
【分析】
(1)CD是⊙O的切线，连接OD，证明OD⊥CD即可；
(2)①设OD=OA=r，根据sinC=13构建方程求解即可；
②证明△CDA∽△CBD，推出ADDB=ACDC=44 2= 22，设AD= 2k，DB=2k，利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：(1)CD是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OD.






∵BE=DE，OB=OD，
∴∠EBD=∠EDB，∠OBD=∠ODB，
∵BE是⊙O的切线，OB是半径，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90∘，
∴∠EBD+∠OBD=90∘，
∴∠EDB+∠ODB=90∘，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)①设OD=OA=r，
∵OD⊥CD，
∴sinC=ODOC=ODOA+AC=13，
∴rr+4=13，
∴r=2，
∴⊙O的半径为2；
②在Rt△COD中，CD= OC2−OD2= (2+4)2−22=4 2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠DBA+∠BAD=90∘，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC+∠ODA=90∘，
∴∠ADC+∠OAD=90∘，
∴∠ADC=∠DBC，
∵∠C=∠C，
∴△CDA∽△CBD，
∴ADDB=ACDC=44 2= 22，
设AD= 2k，DB=2k，
∵AD2+DB2=AB2，
∴( 2k)2+(2k)2=42，
∴k=2 63(负根已经舍去)，
∴BD=2k=4 63.
【点评】
本题考查圆的切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．  
26.【答案】(1)解：如图1，∵四边形ABCD是对角互余四边形，∠D=30∘，
∴∠B=90∘−∠D=60∘，
∵AC⊥BC，AC⊥AD，
∴∠ACB=∠CAD=90∘，
∴∠BAC=90∘−∠B=30∘，∠ACD=90∘−∠D=60∘，
∵BC=1，
∴AC=BC⋅tan60∘=1× 3= 3，AB=AC⋅tan60∘= 3× 3=3，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12×1×3+12×3×3=23，
∵AB=2BC=2×1=2，CD=2AC=2× 3=2 3，
∴AB+BC+CD+AD=2+1+2 3+3=6+2 3，
∴四边形ABCD的面积为2 3，周长为6+2 3.
(2)证明：如图2，延长AO交⊙O于点E，连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90∘，
∵∠OAC=∠ABC，∠E=∠D，
∴∠ABC+∠D=∠OAC+∠E=90∘，
∴四边形ABCD是“对角互余四边形”．
(3)解：如图3，作∠FCD=∠ACB，DF⊥CF于点F，使点F与点A在直线CD的异侧，
∵∠BAC=90∘，AB=3AC，
∴BC= AB2+AC2= (3AC)2+AC2= 10AC，
∵∠ACB=∠FCD，∠BAC=∠DFC=90∘，
∴△ABC∽△FDC，
∴BCDC=ACFC，∠ABC=∠FDC，
∴DCFC=BCAC= 10ACAC= 10，
∵AD=4，DC= 10，
∴FC=1 10DC=1 10× 10=1，
∵DFFC=tan∠FCD=tan∠ACB=ABAC=3ACAC=3，
∴DF=3FC=3×1=3，
∵∠ADF=∠FDC+∠ADC=∠ABC+∠ADC=90∘，
∴AF= AD2+DF2= 42+32=5，
连接AF，
∵∠ACB+∠ACD=∠FCD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACF，
∴△BCD∽△ACF，
∴BDAF=BCAC= 10，
∴BD= 10AF= 10×5=5 10，
∴线段BD的长是5 10. 
【解析】(1)由四边形ABCD是对角互余四边形，∠D=30∘，得∠B=60∘，则∠BAC=30∘，∠ACD=60∘，可求得AC=BC⋅tan60∘= 3，AB=AC⋅tan60∘=3，AB=2BC=2，CD=2AC=2 3，于是可求得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=23，AB+BC+CD+AD=6+2 3；
(2)延长AO交⊙O于点E，连接CE，由AE是⊙O的直径，得∠ACE=90∘，而∠OAC=∠ABC，∠E=∠D，则∠ABC+∠D=∠OAC+∠E=90∘，即可证明四边形ABCD是“对角互余四边形”；
(3)作∠FCD=∠ACB，DF⊥CF于点F，使点F与点A在直线CD的异侧，由AB=3AC，根据勾股定理得BC= 10AC，可证明△ABC∽△FDC，得BCDC=ACFC，∠ABC=∠FDC，所以DCFC=BCAC= 10，由AD=4，DC= 10，得FC=1 10DC=1，而DFFC=ABAC=3，则DF=3FC=3，因为∠ADF=∠FDC+∠ADC=∠ABC+∠ADC=90∘，所以AF= AD2+DF2=5，连接AF，证明△BCD∽△ACF，可求得BD= 10AF=5 10.
此题重点考查圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

27.【答案】①③ 
【解析】解：(1)由y=(x−m)2−2m+1得顶点坐标为(m,−2m+1)，二次项系数为1，
∴开口向上，故①正确，符合题意；
当x=0时，y=m2−2m+1=(m−1)2≥0，
∴点C不一定在y轴正半轴上，故②错误，不符合题意；
将顶点坐标代入直线y=−2x+1，得−2m+1=−2m+1，故③正确，符合题意；
故答案为：①③；

(2)由y=−2x+1y=(x−m)2−2m+1，得：x2+(2−2m)x+m2−2m=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则
x1+x2=2m−2，x1⋅x2=m2−2m，
∴MN2=(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x1−x2)2+(2x1+1+2x2−1)2=5[(x1+x2)2−4x1x2]=5[(2m−2)2−4(m2−2m)2]=20，
则MN=2 5，
∴线段MN的长度是定值2 5；

(3)∵EN：MN=1：2，
∴EN2 5=12，
∴EN= 5，
对直线y=−2x+1，当x=0时，y=1，
∴D(0,1)，OD=1，
设N(x,−2x+1)，则
DN= x2+(−2x+1−1)2= 5，
解得：x=−1或x=1，
∴N(−1,3)或(1,−1)，
将N(−1,3)代入y=(x−m)2−2m+1，得3=(−1−m)2−2m+1，
解得：m=1或m=−1，
当m=1时，y=x2−2x，
令y=0时，x=0或x=2，
∴A(0,0)，B(2,0)，
由y=x2−2xy=−2x+1，得：{x=1y=−1或{x=−1y=3，
∴M(1,−1)，N(−1,3)，符合条件；
∴MB= 1+1= 2，MD= 12+(−2)2= 5，
∴MB：MN≠MD：MB，
∴△MBN与△MDB不相似，舍去；
当m=−1时，y=x2+2x+4，
令y=0时，x2+2x+4=0，无解；
将N(1,−1)代入y=(x−m)2−2m+1，得−1=(1−m)2−2m+1，
解得：m=1或m=3，
当m=1时，不符合条件，舍去；
当m=3时，y=x2−6x+4，
由y=x2−6x+4y=−2x+1，解得：{x=1y=−1或{x=3y=−5，
∴N(1,−1)，M(3,−5)，
当y=0时，x2−6x+4=0，
解得：x=3− 5或x=3+ 5，
∴A(3− 5,0)，B(3+ 5,0)，
∴BM= 30，DM=3 5，
∵MN=2 5，
∴MN：BM=2 5： 30= 6：3，BM：DM= 30：3 5= 6：3，
∴MN：BM=BM：DM，
∵∠BMN=∠DMB，
∴△BMN∽△DMB，
综上所述，m=3时，△MBN与△MDB相似．
则抛物线的表达式为：y=(x−3)2−5.
(1)由二次项系数判定①，令x=0计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③；
(2)联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段MN的长度，判定是否为定值；
(3)先根据DN：MN=1：2算出DN的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解．
本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题．