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2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区草桥中学八年级（下）期中数学试卷(解析版)
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这是一份2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区草桥中学八年级（下）期中数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了中华汉字，源远流长，下列说法中正确的是，若点A等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区草桥中学
八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．中华汉字，源远流长．某校为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全校1000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了其中150名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．这1000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体
B．每个学生是个体
C．150名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000
3．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝3x
4．将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为18，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．12 B．24 C．28 D．40
6．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
7．若点A（﹣1，a）、B（2，b）、C（3，c）在反比例函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
8．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
二．填空题（共8小题）
9．想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为 ．（填“普查”或“抽样调查”）
10．在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 ．
11．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，且B′C′交AB于点E，若∠ABC＝50°，则∠AEC的度数是 ．
12．反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
13．若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+4x﹣5＝0是一元二次方程，则k＝ ．
14．已知x＝1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a﹣b+2021＝ ．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BEC的周长是 ．
16．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在函数y＝与y＝﹣的图象上，点P在x轴上．若AB∥x轴．则△PAB的面积为 ．
三．解答题
17．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
18．某校举行“母亲节暖心特别行动”，从全校随机调查了部分同学的吸心行动，并将其分为A，B，C，D四种类型（分别对应送服务、送鲜花、送红包、送祝愿）．现根据调查的数据绘食成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据两幅不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？
（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？
19．已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形：
（2）若AB＝10，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
20．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于两点A（1，n），B（﹣3，﹣1），与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）直接写出：不等式的解集是 ；
（3）求△AOB的面积．
选做题
21．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝15，则S2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是AD上一点，AE＝2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 ．
23．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤7．
（1）如图1，M、N分别是AB，DC中点，当t＝ s时，四边形EMFN是矩形．
（2）若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线C﹣D﹣A运动．
①如图2，当t为何值时，四边形EGFH为菱形；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，则t的值是 ．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．中华汉字，源远流长．某校为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全校1000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了其中150名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．这1000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体
B．每个学生是个体
C．150名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000
【分析】解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，考查对象是组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛的成绩，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：A．这1000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体，说法正确，故本选项符合题意；
B．每个学生的“汉字听写”大赛成绩是个体，故本选项不符合题意；
C．150名学生的“汉字听写”大赛成绩是总体的一个样本，故本选项不符合题意；
D．样本容量是150，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查统计知识的总体，样本，个体等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．
3．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝3x
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
解：A、为正比例函数，不符合题意；
B、y与x+1成反比例，不符合题意；
C、符合反比例函数的定义，符合题意；
D、为正比例函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式（k≠0），是解决此类问题的关键．
4．将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
【分析】任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．
解：将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，可得3x2﹣5x+1＝0，
则a，b，c的值分别为3，﹣5，1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为18，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．12 B．24 C．28 D．40
【分析】根据平行四边形的性质解得即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵△OCD的周长为18，
∴OD+OC＝18﹣6＝12，
∵BD＝2OD，AC＝2OC，
∴▱ABCD的两条对角线的和BD+AC＝2（OD+OC）＝24．
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【分析】依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．
解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；
B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
7．若点A（﹣1，a）、B（2，b）、C（3，c）在反比例函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b、c的大小，本题得以解决．
解：∵反比例函数y＝中，k2+1＞0，
∴函数的图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，a）、B（2，b）、C（3，c）在反比例函数y＝的图象上，
∴点A（﹣1，a）在第三象限，B（2，b）、C（3，c）在第一象限，
∴a＜c＜b，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
8．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入y＝4确定两个自变量的值，差即为有效时间．
解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（10，8）为8＝10k1，
∴k1＝；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0）代入（10，8）为8＝，
∴k2＝80，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤10）；药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞10），
把y＝4代入y＝x，得：x＝5，
把y＝4代入y＝，得：x＝20，
∵20﹣5＝15，
∴那么此次消毒的有效时间是15分钟，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
二．填空题（共8小题）
9．想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为 抽样调查 ．（填“普查”或“抽样调查”）
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
10．在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 12个 ．
【分析】用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
解：根据题意，盒子中白球的个数约为30×0.4＝12（个），
故答案为：12个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，且B′C′交AB于点E，若∠ABC＝50°，则∠AEC的度数是 85° ．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BCB′＝35°，然后根据三角形外角性质计算出∠AEC的度数．
解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，
∴∠BCB′＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠ECB＝50°+35°＝85°．
故答案为85°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12．反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k＜3 ．
【分析】由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案．
解：
∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k﹣3＜0，解得k＜3，
故答案是：k＜3．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在y＝（k≠0）中，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限是解题的关键．
13．若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+4x﹣5＝0是一元二次方程，则k＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出k﹣1≠0且|k|+1＝2，再求出k即可．
解：∵关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+4x﹣5＝0是一元二次方程，
∴k﹣1≠0且|k|+1＝2，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
14．已知x＝1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a﹣b+2021＝ 2020 ．
【分析】把x＝1代入方程得到1+a﹣b＝0易得a﹣b＝﹣1，然后整体代入求值即可．
解：根据题意，得1+a﹣b＝0，则a﹣b＝﹣1．
∴a﹣b+2021
＝﹣1+2021
＝2020．
故答案是：2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BEC的周长是 24 ．
【分析】本题运用了三角形的中位线的性质可求BC的长，运用勾股定理可求BE的长，进而求出△BEC的周长．
解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，AE＝6，DE＝5，
∴BC＝10，CE＝6，
∵∠BEC＝90°，
∴BE2+62＝102，
∴BE＝8，
∴△BEC的周长＝6+8+10＝24．
故答案是：24．
【点评】本题运用了三角形的中位线和勾股定理的知识点，关键是结合图形准确计算．
16．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在函数y＝与y＝﹣的图象上，点P在x轴上．若AB∥x轴．则△PAB的面积为 5 ．
【分析】连接OA、OB，如图，利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE＝1.5，S△OBE＝3.5，所以S△OAB＝5，进而得出结果．
解：连接OA、OB，设AB交y轴于点E，如图，
∵AB∥x轴，
∴S△OAE＝×|3|＝1.5，S△OBE＝×|﹣7|＝3.5，
∴S△ABP＝S△OAB＝S△OAE＝1.5+3.5＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．
三．解答题
17．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为2x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．
解：（1）x2﹣9＝0，
（x+3）（x﹣3）＝0，
x+3＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝3；
（2）2x2﹣x﹣3＝0，
（2x﹣3）（x+1）＝0，
2x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．某校举行“母亲节暖心特别行动”，从全校随机调查了部分同学的吸心行动，并将其分为A，B，C，D四种类型（分别对应送服务、送鲜花、送红包、送祝愿）．现根据调查的数据绘食成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据两幅不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？
（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？
【分析】（1）从两个统计图可以得到，“A送服务”的有20人，占调查人数的25%，可求出调查总人数；
（2）用360°×“B送鲜花”所占比例即可；
（3）样本中“B送鲜花”的占，因此全校2400人的是送鲜花的人数．
解：（1）20÷25%＝80（人），
答：该校共抽查了80名同学的暖心行动；
（2）送红包人数：80×30%＝24（人），
1﹣5%﹣25%﹣30%＝40%，
扇形统计图中扇形B的圆心角度数为：360×40%＝144°；
（3）2400×40%＝960（人），
答：该校2400名同学中进行送鲜花行动的约有960名．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，从条形图可以很容易看出数据的大小，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．也考查了用样本估计总体．
19．已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形：
（2）若AB＝10，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
【分析】（1）先证四边形AODE为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOD＝90°，即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝10，则AO＝CO＝5，再由勾股定理得OD＝OB＝5，然后由矩形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝10，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10，
∴AO＝CO＝5，
∴OD＝OB＝＝＝5，
由（1）得：四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积＝AO•OD＝5×5＝25．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于两点A（1，n），B（﹣3，﹣1），与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）直接写出：不等式的解集是 ﹣3＜x＜0或x＞1 ；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出A点坐标，再将A，B点坐标代入一次函数求解即可；
（2）根据图象即可得出不等式的解集；
（3）先求出C点坐标，再分别求出△AOC和△BOC的面积即可求出△AOB的面积．
解：（1）∵反比例函数的图象过B（﹣3，﹣1），
∴m＝（﹣3）×（﹣1）＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
∵点A（1，n）在反比例函数图象上，
∴1×n＝3，
∴n＝3，
∴点A的坐标为（1，3），
将点A，B坐标代入一次函数y＝kx+b中，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为：y＝x+2．
（2）根据图象可知，不等式的解集是：﹣3＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1；
（3）过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，如下图所示：
∵一次函数y＝x+2与y轴相交于点C，
∴C点坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵A点坐标为（1，3），
∴AG＝1，
∵B点坐标为（﹣3，﹣1），
∴BH＝3，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+×3＝4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解决本题的关键．
选做题
21．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝15，则S2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝2S2，S3＝3S2，根据S1+S3＝15，求出S1，S3，S2即可．
解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1+S3＝15，
∴S3＝9，S1＝6，S2＝3，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是AD上一点，AE＝2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 10 ．
【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM＝2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．
解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
∵F为AP的中点，PM∥FE，
∴FE为△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝4，PM＝2EF，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，
此时PM＝AB＝6，
∵MD＝AD﹣AM＝8，
在Rt△PMD中，PD＝＝＝10，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键．
23．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤7．
（1）如图1，M、N分别是AB，DC中点，当t＝ 或 s时，四边形EMFN是矩形．
（2）若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线C﹣D﹣A运动．
①如图2，当t为何值时，四边形EGFH为菱形；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，则t的值是 ．
【分析】（1）先证四边形EMFN是平行四边形，则当EF＝MN＝4时，四边形EMFN是矩形，即可求解；
（2）①由菱形的性质可得GH⊥AC，由勾股定理可求解；
②由线段垂直平分线和勾股定理可求CQ的长，由面积和差关系可求解．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠MAE＝∠NCF，
∵M、N分别是AB，DC中点，
∴AM＝CN，
∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴ME＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，DC中点，
∴四边形MBCN是矩形，
∵AB＝3，BC＝4，
∴MN＝BC＝4，AC＝＝5，
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF＝MN＝4时，四边形EMFN是矩形，
∴5﹣2t＝4或2t﹣5＝4，
解得t＝或，
故答案为：或；
（2）①∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∴四边形EGFH的对角线EF的中点即是AC中点，
若四边形EGFH为菱形，则对角线垂直，且GH必经过AC中点，
过AC的中点O作GH⊥AC交BC于G，交AD于H，连接CH，如图2：
∵AO＝CO，GH⊥AC，
∴AH＝HC，
∵HC2＝CD2+DH2，
∴AH2＝9+（4﹣AH）2，
∴AH＝CH＝，
∴DH＝，
∴CD+DH＝3+＝，
∴t＝＝；
②如图3，连接AQ，
∵PQ垂直平分AC，
∴AQ＝QC，
∵QA2＝AB2+BQ2，
∴AQ2＝9+（4﹣AQ）2，
∴AQ＝CQ＝，
∴BQ＝，
由①可得：AP＝，
∴AP＝CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG＝CH，
又∵∠GAP＝∠QCH＝90°，
∴△APG≌△CQH（SAS），
∴GP＝QH，
同理可证PH＝GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
∵四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半，
∴S△PGQ＝×S平行四边形PGQH＝S矩形ABCD＝3，
∴S△AGP+S△GBQ＝S△GPQ＝3，
∴×AG×+×（3﹣AG）×＝3，
∴AG＝，
∴t＝．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区草桥中学
八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．中华汉字，源远流长．某校为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全校1000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了其中150名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．这1000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体
B．每个学生是个体
C．150名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000
3．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝3x
4．将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为18，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．12 B．24 C．28 D．40
6．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
7．若点A（﹣1，a）、B（2，b）、C（3，c）在反比例函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
8．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
二．填空题（共8小题）
9．想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为 ．（填“普查”或“抽样调查”）
10．在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 ．
11．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，且B′C′交AB于点E，若∠ABC＝50°，则∠AEC的度数是 ．
12．反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
13．若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+4x﹣5＝0是一元二次方程，则k＝ ．
14．已知x＝1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a﹣b+2021＝ ．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BEC的周长是 ．
16．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在函数y＝与y＝﹣的图象上，点P在x轴上．若AB∥x轴．则△PAB的面积为 ．
三．解答题
17．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
18．某校举行“母亲节暖心特别行动”，从全校随机调查了部分同学的吸心行动，并将其分为A，B，C，D四种类型（分别对应送服务、送鲜花、送红包、送祝愿）．现根据调查的数据绘食成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据两幅不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？
（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？
19．已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形：
（2）若AB＝10，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
20．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于两点A（1，n），B（﹣3，﹣1），与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）直接写出：不等式的解集是 ；
（3）求△AOB的面积．
选做题
21．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝15，则S2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是AD上一点，AE＝2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 ．
23．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤7．
（1）如图1，M、N分别是AB，DC中点，当t＝ s时，四边形EMFN是矩形．
（2）若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线C﹣D﹣A运动．
①如图2，当t为何值时，四边形EGFH为菱形；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，则t的值是 ．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．中华汉字，源远流长．某校为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全校1000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了其中150名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是（ ）
A．这1000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体
B．每个学生是个体
C．150名学生是总体的一个样本
D．样本容量是1000
【分析】解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，考查对象是组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛的成绩，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：A．这1000名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体，说法正确，故本选项符合题意；
B．每个学生的“汉字听写”大赛成绩是个体，故本选项不符合题意；
C．150名学生的“汉字听写”大赛成绩是总体的一个样本，故本选项不符合题意；
D．样本容量是150，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查统计知识的总体，样本，个体等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．
3．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝3x
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
解：A、为正比例函数，不符合题意；
B、y与x+1成反比例，不符合题意；
C、符合反比例函数的定义，符合题意；
D、为正比例函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式（k≠0），是解决此类问题的关键．
4．将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
【分析】任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．
解：将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，可得3x2﹣5x+1＝0，
则a，b，c的值分别为3，﹣5，1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为18，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．12 B．24 C．28 D．40
【分析】根据平行四边形的性质解得即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵△OCD的周长为18，
∴OD+OC＝18﹣6＝12，
∵BD＝2OD，AC＝2OC，
∴▱ABCD的两条对角线的和BD+AC＝2（OD+OC）＝24．
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【分析】依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．
解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；
B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
7．若点A（﹣1，a）、B（2，b）、C（3，c）在反比例函数y＝的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b、c的大小，本题得以解决．
解：∵反比例函数y＝中，k2+1＞0，
∴函数的图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，a）、B（2，b）、C（3，c）在反比例函数y＝的图象上，
∴点A（﹣1，a）在第三象限，B（2，b）、C（3，c）在第一象限，
∴a＜c＜b，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
8．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入y＝4确定两个自变量的值，差即为有效时间．
解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（10，8）为8＝10k1，
∴k1＝；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0）代入（10，8）为8＝，
∴k2＝80，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤10）；药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞10），
把y＝4代入y＝x，得：x＝5，
把y＝4代入y＝，得：x＝20，
∵20﹣5＝15，
∴那么此次消毒的有效时间是15分钟，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
二．填空题（共8小题）
9．想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为 抽样调查 ．（填“普查”或“抽样调查”）
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：想了解中央电视台《开学第一课》的收视率，适合的调查方式为抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
10．在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 12个 ．
【分析】用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
解：根据题意，盒子中白球的个数约为30×0.4＝12（个），
故答案为：12个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，且B′C′交AB于点E，若∠ABC＝50°，则∠AEC的度数是 85° ．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BCB′＝35°，然后根据三角形外角性质计算出∠AEC的度数．
解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°后能与△A′B′C′重合，
∴∠BCB′＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠ECB＝50°+35°＝85°．
故答案为85°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12．反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k＜3 ．
【分析】由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案．
解：
∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k﹣3＜0，解得k＜3，
故答案是：k＜3．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在y＝（k≠0）中，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限是解题的关键．
13．若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+4x﹣5＝0是一元二次方程，则k＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出k﹣1≠0且|k|+1＝2，再求出k即可．
解：∵关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+4x﹣5＝0是一元二次方程，
∴k﹣1≠0且|k|+1＝2，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
14．已知x＝1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a﹣b+2021＝ 2020 ．
【分析】把x＝1代入方程得到1+a﹣b＝0易得a﹣b＝﹣1，然后整体代入求值即可．
解：根据题意，得1+a﹣b＝0，则a﹣b＝﹣1．
∴a﹣b+2021
＝﹣1+2021
＝2020．
故答案是：2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接BE，若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BEC的周长是 24 ．
【分析】本题运用了三角形的中位线的性质可求BC的长，运用勾股定理可求BE的长，进而求出△BEC的周长．
解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，AE＝6，DE＝5，
∴BC＝10，CE＝6，
∵∠BEC＝90°，
∴BE2+62＝102，
∴BE＝8，
∴△BEC的周长＝6+8+10＝24．
故答案是：24．
【点评】本题运用了三角形的中位线和勾股定理的知识点，关键是结合图形准确计算．
16．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在函数y＝与y＝﹣的图象上，点P在x轴上．若AB∥x轴．则△PAB的面积为 5 ．
【分析】连接OA、OB，如图，利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE＝1.5，S△OBE＝3.5，所以S△OAB＝5，进而得出结果．
解：连接OA、OB，设AB交y轴于点E，如图，
∵AB∥x轴，
∴S△OAE＝×|3|＝1.5，S△OBE＝×|﹣7|＝3.5，
∴S△ABP＝S△OAB＝S△OAE＝1.5+3.5＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．
三．解答题
17．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为2x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．
解：（1）x2﹣9＝0，
（x+3）（x﹣3）＝0，
x+3＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝3；
（2）2x2﹣x﹣3＝0，
（2x﹣3）（x+1）＝0，
2x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．某校举行“母亲节暖心特别行动”，从全校随机调查了部分同学的吸心行动，并将其分为A，B，C，D四种类型（分别对应送服务、送鲜花、送红包、送祝愿）．现根据调查的数据绘食成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据两幅不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？
（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？
【分析】（1）从两个统计图可以得到，“A送服务”的有20人，占调查人数的25%，可求出调查总人数；
（2）用360°×“B送鲜花”所占比例即可；
（3）样本中“B送鲜花”的占，因此全校2400人的是送鲜花的人数．
解：（1）20÷25%＝80（人），
答：该校共抽查了80名同学的暖心行动；
（2）送红包人数：80×30%＝24（人），
1﹣5%﹣25%﹣30%＝40%，
扇形统计图中扇形B的圆心角度数为：360×40%＝144°；
（3）2400×40%＝960（人），
答：该校2400名同学中进行送鲜花行动的约有960名．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，从条形图可以很容易看出数据的大小，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．也考查了用样本估计总体．
19．已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形：
（2）若AB＝10，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
【分析】（1）先证四边形AODE为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOD＝90°，即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝10，则AO＝CO＝5，再由勾股定理得OD＝OB＝5，然后由矩形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝10，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10，
∴AO＝CO＝5，
∴OD＝OB＝＝＝5，
由（1）得：四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积＝AO•OD＝5×5＝25．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于两点A（1，n），B（﹣3，﹣1），与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）直接写出：不等式的解集是 ﹣3＜x＜0或x＞1 ；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出A点坐标，再将A，B点坐标代入一次函数求解即可；
（2）根据图象即可得出不等式的解集；
（3）先求出C点坐标，再分别求出△AOC和△BOC的面积即可求出△AOB的面积．
解：（1）∵反比例函数的图象过B（﹣3，﹣1），
∴m＝（﹣3）×（﹣1）＝3，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
∵点A（1，n）在反比例函数图象上，
∴1×n＝3，
∴n＝3，
∴点A的坐标为（1，3），
将点A，B坐标代入一次函数y＝kx+b中，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为：y＝x+2．
（2）根据图象可知，不等式的解集是：﹣3＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1；
（3）过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，如下图所示：
∵一次函数y＝x+2与y轴相交于点C，
∴C点坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵A点坐标为（1，3），
∴AG＝1，
∵B点坐标为（﹣3，﹣1），
∴BH＝3，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+×3＝4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解决本题的关键．
选做题
21．点P，Q，R在反比例函数（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝15，则S2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设CD＝DE＝OE＝a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP＝，DQ＝，ER＝，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，推出S1＝2S2，S3＝3S2，根据S1+S3＝15，求出S1，S3，S2即可．
解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP＝，DQ＝，ER＝，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF＝GA，
∴S1＝S3＝2S2，
∵S1+S3＝15，
∴S3＝9，S1＝6，S2＝3，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是AD上一点，AE＝2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 10 ．
【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM＝2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．
解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
∵F为AP的中点，PM∥FE，
∴FE为△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝4，PM＝2EF，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，
此时PM＝AB＝6，
∵MD＝AD﹣AM＝8，
在Rt△PMD中，PD＝＝＝10，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键．
23．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤7．
（1）如图1，M、N分别是AB，DC中点，当t＝ 或 s时，四边形EMFN是矩形．
（2）若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线C﹣D﹣A运动．
①如图2，当t为何值时，四边形EGFH为菱形；
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，则t的值是 ．
【分析】（1）先证四边形EMFN是平行四边形，则当EF＝MN＝4时，四边形EMFN是矩形，即可求解；
（2）①由菱形的性质可得GH⊥AC，由勾股定理可求解；
②由线段垂直平分线和勾股定理可求CQ的长，由面积和差关系可求解．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠MAE＝∠NCF，
∵M、N分别是AB，DC中点，
∴AM＝CN，
∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴ME＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴ME∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
如图1，连接MN，
∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，DC中点，
∴四边形MBCN是矩形，
∵AB＝3，BC＝4，
∴MN＝BC＝4，AC＝＝5，
∵四边形EMFN是平行四边形，
∴当EF＝MN＝4时，四边形EMFN是矩形，
∴5﹣2t＝4或2t﹣5＝4，
解得t＝或，
故答案为：或；
（2）①∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，
∴AE＝CF，
∴四边形EGFH的对角线EF的中点即是AC中点，
若四边形EGFH为菱形，则对角线垂直，且GH必经过AC中点，
过AC的中点O作GH⊥AC交BC于G，交AD于H，连接CH，如图2：
∵AO＝CO，GH⊥AC，
∴AH＝HC，
∵HC2＝CD2+DH2，
∴AH2＝9+（4﹣AH）2，
∴AH＝CH＝，
∴DH＝，
∴CD+DH＝3+＝，
∴t＝＝；
②如图3，连接AQ，
∵PQ垂直平分AC，
∴AQ＝QC，
∵QA2＝AB2+BQ2，
∴AQ2＝9+（4﹣AQ）2，
∴AQ＝CQ＝，
∴BQ＝，
由①可得：AP＝，
∴AP＝CQ，
∵G、H分别从点A、C沿折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A运动，
∴AG＝CH，
又∵∠GAP＝∠QCH＝90°，
∴△APG≌△CQH（SAS），
∴GP＝QH，
同理可证PH＝GQ，
∴四边形GQHP是平行四边形，
∵四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半，
∴S△PGQ＝×S平行四边形PGQH＝S矩形ABCD＝3，
∴S△AGP+S△GBQ＝S△GPQ＝3，
∴×AG×+×（3﹣AG）×＝3，
∴AG＝，
∴t＝．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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