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2022-2023学年广西钦州市浦北中学高一下学期期中考试数学试题含答案
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一、单选题
1.与角终边相同的角的集合是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的定义可得.
【详解】,所以与角终边相同的角的集合是.
故选:B.
2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】对按奇偶分类讨论可得.
【详解】当k=2n(n∈Z)时,2nπ≤≤2nπ+(n∈Z),此时的终边和0≤≤的终边一样,当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π≤≤2nπ+π+ (n∈Z),此时的终边和π≤≤π+的终边一样.
故选:B.
3.已知一个面积为的扇形所对的弧长为,则该扇形圆心角的弧度数为( )
A. B. C.2 D.
【答案】B
【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.
【详解】设扇形的半径为,圆心角为,
则,解得.
故选:B
4.已知角的终边过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由三角函数的定义求解即可.
【详解】
故选:C
5.已知角A是的内角,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件立 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可求解.
【详解】因角A是的内角,则,
当时,或,
即不一定能推出,
若,则,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
6.在四边形ABCD中,+=,则四边形ABCD是( )
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
【答案】D
【分析】利用向量的加法平行四边形法则求解出答案.
【详解】由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.
故选:D.
7.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】直接利用诱导公式和二倍角的余弦公式得,结合范围即可得到答案.
【详解】,则,
故,又,则.
故选:A.
8.已知,函数在区间上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间,然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由,得,
即函数的单调递减区间为,
令,则函数其中一个的单调递减区间为:
函数在区间内单调递减,
则满足,得,所以的取值范围是.
故选:D.
二、多选题
9.下列命题中,正确的命题为( )
A.对于向量,若,则或
B.若为单位向量,且,则
C.若,则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形
D.四边形中,
【答案】BCD
【分析】根据向量的运算法则,直接判断即可
【详解】对于A,只是代表向量的模相等,向量的方向都可以是任意的,错误;
对于B,,则与方向相同或相反,则,正确;
对于C,,则必有,设,,则有,故,则非零向量与可以构成一个首尾相接的三角形,正确;
对于D,根据向量的平行四边形法,四边形中,因为,所以,,整理得,正确;
故选:BCD
10.如图,设两点把线段三等分,则下列向量表达式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AB
【分析】由图和平面向量线性运算逐一判断选项即可.
【详解】由图可得两点把线段三等分,
故,A,B正确;
,故C,D,错误,
故选:AB.
11.已知函数,则( )
A.是奇函数 B.的最小正周期为
C.在上是增函数 D.的图象关于点对称
【答案】ABC
【分析】,根据奇偶函数的定义及最小正周期公式判断A,B选项是否正确;
在C中:根据的范围判断在上的单调性;
在D中,根据对称中心处的函数值为0判断是否正确.
【详解】,是奇函数,且最小正周期为,故A,B正确;
当时,,因为在上为增函数,故在上是增函数,C正确;
当时,,故点不是的图象的对称中心,D错误;
故选:ABC.
12.若,则( )
A.是图象的对称中心
B.若和分别为图象的对称轴,则
C.在内使的所有实数x值之和为
D.在内有三个实数x值,使得
【答案】AC
【分析】由辅助角公式化简,代入法判断对称中心,由正弦型函数对称轴的性质判断B;画出在上图象,数形结合判断C、D.
【详解】由,
A:,故是图象的对称中心,正确;
B:若为对称轴,则,所以和分别为图象的对称轴,不一定成立,错误;
当,则,故在上图象如下,
由图知:内使的所有实数x关于对称,且仅有两个值,故它们的和为,C正确;
显然只有两个实数x值,D错误.
故选:AC
三、填空题
13.平行四边形的三个顶点的坐标是,则顶点的坐标是 .
【答案】
【分析】设,利用列方程即可求解.
【详解】设顶点的坐标为,
则由题意可得,即,
故,解得,
故的坐标为
故答案为:
14.若为平面内所有向量的一组基,且,不能作为一组基,则k的值为 .
【答案】-8
【分析】由题得存在实数λ,使得,把代入计算即得解.
【详解】因为不能作为一组基,
所以存在实数λ,使得,
即,
则6λ=3,且kλ=-4,解得λ=,k=-8.
故答案为:
15.已知,则
【答案】
【分析】利用诱导公式及倍角公式变形计算即可.
【详解】
.
故答案为:.
16.设,其中是正实数.若对一切恒成立,则 .
【答案】0
【分析】由题知,再结合题意得的最大值为,且为函数的对称轴,进而得,再计算函数值即可.
【详解】解:由题知,,
因为对一切恒成立,
所以的最大值为,且为函数的对称轴,
所以,,,解得,
所以, ,即,
所以,,
所以,,
故答案为:
四、解答题
17.已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为,没有单调递减区间
【分析】(1)由题意利用正切函数的定义域可得,求得的范围,可得函数的定义域.
(2)根据题意利用正切函数的单调增区间可得,由此求得的范围,得到的单调递增区间.
【详解】(1)对于函数,
令,求得,
故函数的定义域为.
(2)令,求得,
可得函数的单调递增区间为,没有单调递减区间.
18.已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)通过解方程,结合正切函数的性质进行求解即可.
(2)利用诱导公式,结合(1)的结论、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】(1)由,或,由;
(2)
19.设是不共线的两个向量.
(1)若,求证:三点共线;
(2)若与共线,求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】(1)要证明三点共线,即证明三点组成的两个向量共线即可.
(2)由共线性质求出参数即可.
【详解】(1)证明:因为,
而
所以,
所以与共线,且有公共点,
所以三点共线
(2)因为与共线
所以存在实数,使得,
因为与不共线,
所以,
解得,.
20.已知为锐角,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解;
(2)先利用二倍角的正切公式求出,再根据平方关系及商数关系求出,再根据利用两角差的正切公式即可得解.
【详解】(1);
(2)由,得,
因为为锐角,所以,则,
又因,所以,
所以,
所以,
则.
21.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,.
(1)用表示;
(2)求证:B,E,F三点共线.
【答案】(1),;
(2)证明见解析
【分析】(1)利用向量的加减法运算以及基底的含义求解;
(2)根据向量的共线定理证明三点共线.
【详解】(1)在中,分别是的中点,
则,
故,;
(2)证明:因为,
,
所以,所以,
又因有公共点,所以三点共线.
22.已知函数在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的表达式;
(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,再把得到的图象向下平移一个单位,再向左平移个单位,得到函数的图象,若,求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据函数图象可得,得,由图象和公式求得,由求得,即可求解;
(2)根据三角函数图象的平移伸缩变换可得,利用正弦函数的单调性即可求出函数的值域.
【详解】(1)根据函数图象可得,,
,,
,得,,
又,,,
,,得,,
又,,
;
(2)把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到,
再向下平移一个单位得到,
再向左平移个单位得到,
,
当时,,
又函数在上单调递增,在上单调递减,
,
,即值域为
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