2022-2023学年甘肃省兰州市第二十四中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省兰州市第二十四中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简得到，从而得到z的虚部.

【详解】，故z的虚部为.

故选：C

2．下列说法错误的是（    ）

A． B．、是单位向量，则

C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动

【答案】C

【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断.

【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；

对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；

对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；

对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.

故选：C.

3．已知复数满足，则在复平面内所对应的点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的运算求出，即可得出在复平面内所对应的点.

【详解】由，得，

所以在复平面内所对应的点是．

故选：B.

4．已知复数是纯虚数,则实数=（    ）

A．－1 B．1 C．－2 D．2

【答案】A

【分析】对复数进行化简,根据纯虚数的定义列出方程求解即可.

【详解】,

根据题意得,解得.

故选:A.

5．若复数，则（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的模运算律求解即可.

【详解】由题意得，.

故选：A

6．设向量与向量共线，则实数（    ）

A．2 B．6 C．3 D．12

【答案】C

【分析】由向量共线的坐标表示求参数即可.

【详解】由题设，，解得.

故选：C

7．在中，若，则此三角形为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】A

【分析】首先利用三角恒等变换，得，再判断三角形的形状.

【详解】因为，

所以，

，又

所以，即.

故选：A.

8．已知满足，则（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】C

【分析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可.

【详解】，，

即，

故选:C．

9．设为虚数单位，复数为实数，则实数的值为(   )

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】D

【分析】利用复数除法进行计算，再利用复数的分类求解作答.

【详解】，依题意，，解得，

所以实数的值为2.

故选：D

10．已知，向量在向量上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则（    ）

A．2 B．-2 C．3 D．

【答案】A

【分析】根据投影向量的定义有，结合已知即可求.

【详解】由题意，且，

所以，而，则.

故选：A

11．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.

【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误，

故选:B.

12．下列命题中，正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

D．若，则与方向相同或相反

【答案】B

【分析】对ABC选项找出反例，证明其错误，选项B根据传递性很明显正确，即可求解.

【详解】对于A选项： 平行于任何向量，若，满足，，但不一定满足，故A错；

对于B选项：根据向量传递性，正确；

对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错；

对于D选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一个是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D错.

故选：B.

二、填空题

13．已知向量和向量的夹角为30°，，，则      ．

【答案】3

【分析】条件中给出两个向量的模和向量的夹角，直接代入公式进行计算即可．

【详解】解：量和向量的夹角为，，，

又，.

故答案为：3．

14．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为      .

【答案】1

【分析】利用正弦定理化角为边，再根据三角形的面积公式即可得解.

【详解】由，得，得，

所以的面积为.

故答案为：.

15．已知，，，则          .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的性质，结合数量积的运算律计算作答.

【详解】因，，，所以.

故答案为：

16．在中，，分别为边，上的点，，，与交于点，设，，则           .（用，表示）

【答案】

【分析】用，表示，再用向量共线表示出，并由求出，再由求出，然后由与共线即可得解.

【详解】如图，在中，依题意，，，

因与交于点，则，于是得，，

，，

因，而与不共线，从而有，解得，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．已知，，求，与．

【答案】，，.

【分析】利用平面向量的线性运算化简计算可得结果.

【详解】解：因为，，则，

，

.

18．如图，请在图中直接标出：

(1)＋．

(2)＋＋＋．

【答案】(1)

(2)

【分析】根据向量加法法则进行计算.

【详解】（1），如图所示：

（2）＋＋＋，如图所示：

19．已知复数为虚数单位.

(1)求；

(2)求 .

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据共轭复数的定义计算可得；

（2）根据复数模的定义计算可得.

【详解】（1）因为，

所以

（2）因为，所以.

20．已知锐角与钝角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解；

(2)根据两角和的正切公式求解.

【详解】（1）因为，，且，，

所以，，

所以.

（2）由（1）得，

所以.

21．计算：

(1)；

(2)．

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)0

(4)

【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解；

（2）利用平面向量的线性运算求解；

（3）利用复数的乘方运算和加法运算求解；

（4）利用复数的除法运算求解.

【详解】（1）解：，

，

；

（2），

，

；

（3），

；

（4）

22．在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足．

(1)求角A；

(2)若的面积为，，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合角的范围化简求值即可；

（2）由三角形面积公式可得，由余弦定理可得，即可求周长.

【详解】（1）由正弦定理得：，即，

∵，∴，即，

∵A是的内角，∴；

（2）∵的面积为，∴，由（1）知，∴，

由余弦定理得：，∴，解得 ，

∴的周长为.