2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别解分式不等式与二次不等式得到集合后求交集运算.

【详解】由得 且，解得，故；

由得，故.

综上得，.

故选：D.

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】要使函数有意义，则有，解出即可得答案.

【详解】要使函数有意义，则有，解得且，

所以函数的定义域为，

故选：B

3．已知命题p：，，则命题p的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定为全称命题求解即可.

【详解】由命题p：，得否定：，.

故选：C.

4．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过函数的定义域以及函数的值域，结合函数的定义判断选项的正误即可．

【详解】函数的定义域为，值域为，

可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的值域；C图象满足题目要求；D图象，根据函数定义可知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以不是函数的图象；

故选：C．

5．下列各组函数中表示同一个函数的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数

【详解】对于A，，故不是相同函数；

对于B，的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；

对于C，的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；

对于D，因为与的定义域、解析式相同，故为同一函数，

故选：D

6．已知函数，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．3 D．2

【答案】C

【分析】将代入分段函数的解析式即可求解.

【详解】因为，

所以，

故选：C.

7．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】等价于关于的不等式对任意恒成立，令，，求出即得解.

【详解】不等式对任意恒成立，

令，，

要使关于的不等式对任意恒成立，

只要即可，

的对称轴为，

在上单调递减，

当时取得最小值为，

则实数的取值范围是.   

故选：A.

8．区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】A

【分析】由已知条件可得、是方程的实数根，由根与系数的关系可得，

所以，再由基本不等式即可求解.

【详解】区间是关于的一元二次不等式的解集，

所以、是方程的实数根，且；

由韦达定理知，，所以，且，，所以，所以，

当且仅当即时等号成立，

所以的最小值为．

故选：A．

二、多选题

9．设全集，若集合，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】首先画出韦恩图，由图判断选项.

【详解】如图所示，当时，，，故AB正确；，故C不正确；，故D正确.

故选：ABD

10．已知函数用列表法表示如表，若，则可取（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】BCD

【分析】根据，结合列表中的数据求解判断.

【详解】当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则，

故选：BCD

11．下列结论中正确的有（    ）

A．若为正实数，，则

B．若为正实数，，则

C．若，则

D．当时，的最小值为

【答案】ACD

【分析】A，B选项考察不等式的证明，应用作差法判断正负即可解决；C选项考察不等式的性质，在不等式左右两边同时乘以正数，不等号不变；D选项考察基本不等式，正数时，乘积确定可以求出和的最小值

【详解】对于A，∵a，b为正实数，，

∴，故A正确；对于B，若为正实数，，则，则，故B错误；对于C，，若，则，故C正确；对于D，当时，根据基本不等式可得：，的最小值为，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ACD

12．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的的必要不充分条件

B．“都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件

C．设，R，则“且”是“”的必要不充分条件

D．设R，则“”是“”的充要条件

【答案】BD

【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项分析即得.

【详解】对于A中，由，解得，所以 “”是“”的充分不必要条件，所以A不正确；

对于B中，若都是偶数，可得是偶数，反之：比如，此时是偶数，但不是偶数，

所以 “都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，所以B正确；

对于C中，由且，可得，由，不能得出且，

所以“且”是“”的充分不必要条件，所以C不正确；

对于D中，由，可得，

解得，故“”是“”的充要条件，所以D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知函数的定义域，则的定义域为___________.

【答案】

【分析】先利用复合函数的定义域求出中的的范围，再结合分式的父母不为0求定义域.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，解得，

又因为，所以，

所以或，

即的定义域为.

故答案为：.

14．已知关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】令，根据方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，由求解.

【详解】令，

因为关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，

所以，

即，

解得

所以实数的取值范围为

故答案为：

【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的分布问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.

15．已知函数满足，则__________.

【答案】

【分析】把化成，得到，构建方程组得到结果.

【详解】∵，

∴，

联立方程组，可得.

故答案为：

16．求函数的值域______．

【答案】##

【分析】先对根式整体换元(注意求新变量的取值范围)，把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可.

【详解】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．

故答案为：.

四、解答题

17．解关于的不等式.

【答案】答案见解析.

【解析】先讨论与的大小，当时，再讨论与的大小可求得结果

【详解】不等式等价于，

当时，不等式化为，其解集为，

当时，不等式化为，其解集为，

当时，不等式化为，

当，即时，其解集为，

当，即时，其解集为，

当，即时，其解集为.

【点睛】关键点点睛：对进行分类讨论求解是解题关键.

18．已知集合．

(1)当时，求；

(2)请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．

若是的___________条件，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)见解析﹒

【分析】(1)求解集合A和B，再根据集合补集与交集运算方法计算；

(2)若选①，在AB；若选②，则BA﹒

【详解】（1）当时，，

，等价于，

，

．

（2）若选条件①：

是的充分不必要条件，，

则且与不同时成立，

解得，

若选条件②：

∵是的必要不充分条件，∴，

当，即时，，成立；

当，即时，，解得不存在，

．

19．（1）已知是二次函数，且满足，求函数的解折式；

（2）已知，求函数的解析式．

【答案】（1）；（2）且.

【分析】（1）设，根据已知列方程组，结合多项式相等求参数a、b、c，即可得解析式；

（2）换元法有，则有代入题设解析式化简整理即可得解析式，注意定义域范围.

【详解】（1）令且，而，又，

所以，

整理得，

即，则，故.

（2）令，则，

所以，故且.

20．已知函数．

(1)若对,都有,求实数a的取值范围;

(2)若,使成立,求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）判别式小于零即可

（2）由题意知，再讨论对称轴位置确定最大值即可

【详解】（1）由题知,即

解得,所以实数的取值范围为.

（2）由题意知

二次函数开口向上,对称轴

当对称轴靠近,即,则

解得

反之,当,则

解得

综上,实数的取值范围为

21．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为元．设矩形的长为()

(1)将总造价(元)表示为长度的函数：

(2)如果当地政府财政拨款万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地?

【答案】(1)，

(2)仅限最低造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地

【分析】（1）由题干直接列式；

（2）根据不等式可得，进而可判断是否能够修建起该市民休闲锻炼的场地.

【详解】（1）解：由矩形的长为，则矩形的宽为，

则中间区域的长为，宽为，则定义域为，

则，

整理得，．

（2）解：，当且仅当时取等号，

即．

所以当时，总造价最低为万元万元．

故仅限最低造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地.

22．已知函数．

(1)求的值；

(2)若，求a的取值范围；

(3)画出函数的图象，若方程有三个解，求b的取值范围（直接写出答案）

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由解析式先求，再求的值；（2）分、两种情况解不等式，综合可得出实数的取值范围；（3）作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可得，则.

（2）当时，由，得，解得，此时；

当时，由，可得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

（3）作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，

因此，实数的取值范围是.