2022-2023学年甘肃省兰州市第二十七中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市第二十七中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．数列，，，，，……的一个通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据所给数列前几项，寻找规律，代入选项检验即可.

【详解】由数列的前几项可知，分母为相邻两个自然数的乘积，并且正负相间，代入验证知，

故选：B

2．已知是等差数列，，，则的公差等于（    ）

A．3 B．4 C．-3 D．-4

【答案】C

【分析】利用等差数列下标和性质得出，进而可得公差．

【详解】，，

则的公差，

故选：C

3．等比数列的前项和，则数列的公比为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据求得，即可求得公比.

【详解】根据题意可得，

故数列的公比.

故选：C.

4．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据组合的基本概念求解.

【详解】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品,

任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有.

故选:A.

5．在等差数列中，，则等于

A．2 B．18 C．4 D．9

【答案】D

【分析】利用等差数列性质得到，，计算得到答案.

【详解】等差数列中，

故选D

【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.

6．若，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】B

【分析】由题知，进而研究的符号即可得答案.

【详解】解：，

所以，即.

故选：B

7．若展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意有，解可得，；进而可得其二项展开式的通项，计算可得答案．

【详解】解：根据题意，展开式的二项式系数之和等于64，

有，解可得，；

可得其二项展开式的通项为，

则其第三项是，

故选：C

【点睛】本题考查二项式系数的性质，要注意第三项是时的值，属于基础题．

8．已知正项等比数列中，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】利用等比数列的下标性质可得，结合对数性质得到结果.

【详解】利用等比数列的下标性质可知，，

又等比数列各项为正，

∴，

∴.

故选：C

二、多选题

9．已知，则可能取值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】BD

【分析】利用组合数的性质求解.

【详解】

根据组合数的性质

或

解得或

故选：BD

【点睛】本题考查组合数的性质，属于简单题.

10．已知数列的前项和为，且，下列说法正确的有（    ）

A．数列是等比数列 B．

C．数列是递减数列 D．数列是递增数列

【答案】ABD

【分析】由题意可得，从而得出，求出，从而可求出，进而可判断各个选项.

【详解】由，则

两式相减可得，即

由题意，满足

所以,所以数列是等比数列，故选项A正确.

则，故选项B正确.

又，所以数列是递增数列

故故选项C不正确，故选项D正确.

故选：ABD

11．已知多项式，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由展开式通过赋值判断A，C，D，根据二项式展开式的通项公式判断B.

【详解】因为，

取可得，，A正确；

取可得，，C错误；

取可得，

又，

所以，，，，

所以，B正确，

，D正确，

故选：ABD.

12．记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（    ）

A． B．的最大值为 C． D．

【答案】AC

【分析】根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与的关系，再对各项进行逐一判断即可.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

又由，所以，所以A正确；

因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；

由，所以，所以C正确；

因为，所以，即，所以D错误.

故选:AC.

三、填空题

13．已知数列则是这个数列的第________项.

【答案】12

【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.

【详解】数列中每一项被开方数分别为：6，10，14，18，22，…，因此这些被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，设该等差数列为，其通项公式为：，

设数列为，所以，

于是有，

故答案为：

14．在的展开式中第项和第项的二项式系数最大，则_________ .

【答案】

【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值．

【详解】解：若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即，则．

故答案为：

15．已知数列为等比数列，公比大于1，数列的前项和为，前三项和为13，前三项积为27，则______.

【答案】

【分析】根据等比数列的性质求得等比数列的首项和公比，利用前项和公式即可求解.

【详解】设数列的公比为,因为所以,

又因为,整理得,

解得或 (舍),所以,

故答案为:.

16．用0，1，2，3，4，5，6七个数共可以组成______个没有重复数字的三位数.

【答案】180

【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解.

【详解】选0时，0不能在首位，故有个，

不选0时，有个，

根据分类加法原理，共有个，

故答案为:180.

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求的最大值及相应的的值.

【答案】(1)

(2)当或时，有最大值是20

【分析】（1）用等差数列的通项公式即可.

（2）用等差数列的求和公式即可.

【详解】（1）在等差数列中，∵,

∴，

解得，

∴；

（2）∵，

∴ ，

∴当或时，有最大值是20

18．在各项都是正数的等比数列中，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记为数列的前n项和，若，求正整数m的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可求解.

（Ⅱ）利用等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】（Ⅰ）是各项都是正数的等比数列，设等比数列的公式为，则，

由，则，

又，则，

（Ⅱ），解得.

19．（1）求的展开式中的常数项；

（2）的展开式中的系数为．求常数的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】求得二项展开式的通项，结合题意确定的取值，代入，即可求解.

【详解】（1）由题意，二项式展开式的通项为，

令，可得， ，

所以展开式的常数项为．

（2）由二项式展开式为，

令，解得，

因为的展开式中的系数为，可得，解得.

20．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.

(1)选5名同学排成一排：

(2)全体站成一排，甲、乙不在两端：

(3)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；

(4)全体站成一排，男生彼此不相邻；

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】(1)直接用排列原理求解；(2)先特殊后一般即可求解；(3)利用捆绑法求解；(4)利用插空法求解.

【详解】（1）无条件的排列问题,排法有种.

（2）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，

所以有种.

（3）相邻问题，利用捆绑法，共有种.

（4）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，

所以共有种.

21．设数列的前项和为，已知.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用数列的前项和与的关系求出数列的通项；

（2）求出，再利用裂项相消法求和.

【详解】（1）解：当时，.

又满足上式.

所以数列的通项公式为.

（2）解：.

设数列的前项和为，则

22．已知数列是等比数列，公比，且是的等差中项，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，将条件化简为的形式并求解，代入写出等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）依题意得：

，，又

（2）由（1）知，

相减得：

整理得：