2022届北京市首都师范大学附属中学高三下学期开学检测数学试题含解析

2022届北京市首都师范大学附属中学高三下学期开学检测

数学试题

一、单选题

1．复数（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由复数的乘法运算即可求得答案.

【详解】.

故选：B.

2．集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合A,再求.

【详解】.

因为，所以.

故选：C

3．在的展开式中，的系数是(       )

A．4 B．5 C．－5 D．－4

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项即可求解.

【详解】展开式的通项为，当r＝4时，系数为.

故选：B.

4．下列函数中，在为增函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数的单调性判断ABC，利用导数判断D．

【详解】解：A不正确，在每一个单调区间上增，在不是增函数，时函数不存在；B是对称轴为，在不是增函数；C在为减函数，D求导得可，可知D正确

故选：D．

5．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定定理依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，如图，因为为所在棱的中点，故由正方体的性质易得，所以，由于，故平面，故A选项正确；

对于B选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，由正方体的性质得，所以平面，故，所以，同理得，，故平面，故B选项正确；

对于C选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，所以在中，与夹角为，故异面直线与所成的角为，故平面不成立，故错误；

对于D选项，同A选项，可判断平面.

故选：C

6．若函数的最大值为2，则下列结论不一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据辅助角公式，可得，根据基本不等式，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】因为，且最大值为，

所以，即，故A一定成立；

又，所以，

当且仅当a=b时等号成立，故B一定成立；

又，所以，

当且仅当a=b时等号成立，故C一定成立；

，当同号时，，

当异号时，，故D不一定成立.

故选：D

7．若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出结果.

【详解】对于A，当时，单调递减，所以由可得，故A错误；

对于B，当时，单调递减，所以由可得，故B错误；

对于C，当时，在单调递增，由可得，故C错误；

对于D，当时，单调递减，所以由可得，

则，即，故D正确.

故选：D.

8．“角，的终边关于轴对称”是“”的(       )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据三角函数的性质的即可判断求解.

【详解】若角，的终边关于轴对称，则sinα＝cosβ，则；

若，则，则sinα＝±cosβ，则角，的终边关于或y＝－x轴对称；

综上，“角，的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

9．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】该组合体可视作一个正方体和个球体的组合体，进而求出体积.

【详解】由题意，该组合体是一个正方体和个球体的组合体，其体积为.

故选：A.

10．某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．

分值权重表如下：

技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的．报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分．若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基础上扣0.8分．

在某次招标中，若基准价为1000（万元）．甲、乙两公司综合得分如下表：

甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（　　）A．73，75.4              B．73，80              C．74.6，76              D．74.6，75.4

【答案】A

【分析】根据定义计算甲，乙两公司的报价得分，再计算综合得分．

【详解】甲公司报价为1100（万元），比基准价1000（万元）多100（万元），超10%，所以得分为，因此综合得分为；

乙公司报价为800（万元），比基准价1000（万元）少200（万元），低20%，所以得分为，因此综合得分为，故选A．

【点睛】本题考查了函数值的计算，属于中档题．

二、填空题

11．双曲线的一条渐近线为，则的焦距为__________

【答案】

【分析】根据题意双曲线的一条渐近线为求出，即可求出答案.

【详解】双曲线的渐近线为，

由于双曲线的一条渐近线为，

故.

.

的焦距为.

故答案为：.

12．设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为______．

【答案】，(答案不唯一)

【分析】采用赋值法可直接求解.

【详解】若令，则，，，故满足.

故答案为：，

13．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容触”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为_________种.

【答案】12

【分析】先安排小明和小李，剩余3人分成两组，一组1人，一组2人，分配到两个吉祥物即可.

【详解】①小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况;

②剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有;

则共有种.

故答案为：12.

14．在梯形中，，，，，是的中点，则= _______

【答案】14

【分析】把看成基底，将用基底表示，然后利用数量积运算律求解即可

【详解】因为是的中点，

所以，

因为，，，

所以

，

故答案为：14

15．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论：

① 曲线上任意两点间距离的最大值为；

② 曲线的周长大于曲线的周长；

③ 曲线与圆有且仅有个公共点.

其中正确的序号为________________.

【答案】①③

【分析】由题意知星形线任意点满足，为参数，其中，即，，从而可判断①；分析曲线的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线的交点，知曲线与圆相切，可判断③；

【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为，

则小圆的圆心轨迹为以为圆心，半径为3的圆，即

设星形线任意点，则，为参数，其中

可知星形线任意点，满足，

对于①，星形线上左右两个端点，或上下两个端点，的距离最远，等于8，故①正确；

对于②，曲线为过点，，，的正方形，

而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线的周长小于曲线的周长，故②错误；

对于③，星形线与直线的交点为，即

它们到原点的距离为与圆的半径相等，

所以曲线与圆相切，即有且仅有个公共点，故③正确；

故答案为：①③

【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题.

三、解答题

16．已知函数.

(1)求的值；

(2)求的最小正周期；

(3)若为偶函数，写出一个满足条件的的值，并证明.

【答案】(1)0；

(2)；

(3).

【分析】(1)代入x＝0即可计算；

(2)化简f(x)解析式即可计算；

(3)根据正余弦函数的奇偶性即可计算.

【详解】(1)，

；

(2)；

(3)，证明如下：

，

若g(x)是偶函数，则，即，

∵，∴

17．如图，矩形所在的平面与菱形所在的平面垂直，G为BE边中点，

(1)求证：直线平面BCE；

(2)若，________，求二面角的余弦值.从①，②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.

注：如果选择多个条件作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析.

(2)答案见解析.

【分析】（1）先证明出AG⊥平面ADF，利用面面垂直的判定定理即可证明平面ACG⊥平面ADF.

（2）先证明出∠CGE是二面角C-AG-F的平面角.选择条件①或②时，用同样的方法，在直角三角形BCG中，求出，即可求出.

【详解】(1)因为矩形所在的平面与菱形所在的平面垂直，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥AG.

在菱形中， 因为AE=AF，所以AE=AB=EB，所以△ABE是等边三角形.

因为G为BE中点，故AG⊥BE.

因为BC∩BE=B，所以AG⊥平面BCE

(2)由（1）AG⊥平面BCE.

因为平面BCE， 平面BCE，所以AG⊥CG，AG⊥GE，所以∠CGE是二面角C-AG-F的平面角.

选条件①：

因为，所以CG=3，所以，所以，即二面角C-AG-F的余弦值为.

选②：

因为，所以，所以，即二面角C-AG-F的余弦值为.

18．随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：

(1)从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；

(2)规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.

（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；

（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.

【答案】(1)；

(2)（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，理由见解析.

【分析】（1）根据古典概型计算公式，结合所给的数据进行求解即可；

（2）（i）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；

（ii）根据独立重复事件的概率公式，结合小概率事件的性质进行求解即可.

【详解】(1)设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”．“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以．

(2)（i）X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．

所以，.

所以X的分布列为：

所以．

（ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，

则．

参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：

比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ．

参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：

事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．

19．已知函数.

(1)若，判断集合与集合是否相等，并证明：

(2)若函数的导函数有两个不同零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)A=B.证明见解析.

(2)

【分析】（1）求出集合A，利用导数求最小值，解出集合B，即可证明；

（2）求出导函数，设,判断其单调性.根据h(x)有两个零点，则有，解得：.再证明其充分性：h(x)在上有唯一一个零点，在上有唯一一个零点.

【详解】(1)A=B.下面进行证明：若a=2, .

当x∈(0,1)时,f(x)<0；当x=1时,f(x)=0；当x∈(1,+∞)时,f(x)>0.所以A={1}.

设，则.

当x∈(0,1)时,<0, g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时, >0, g(x)单调递增.

所以，所以.所以A=B.

(2)由题意,关于x的方程有两个不等实根.

设,则.

当a≥0时,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,至多有一个零点,不符合题意；

当a<0时,由得,当时,h(x)单调递减；

当时,h(x)单调递增.

所以h(x)有两个零点，则有，即，解得：.

因为，所以.

所以

设，则，所以在上单调递增,

所以，所以.

又,h(x)在上不间断，所以h(x)在上有唯一一个零点.

当时，，所以h(x)在上有唯一一个零点.

综上,a∈(-∞,-2)

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围；

（4）利用导数证明不等式

20．已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为.

(1)求的方程；

(2)设直线与分别相交于两点，直线与相交于点．试问：当 变化时，点是否恒在一条定直线上若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)点恒在定直线上

【分析】(1)由 求出椭圆的标准方程；

(2)分类讨论，当时，利用相交弦求出直线与椭圆的交点，进而可以得到直线、，再求交点P的坐标；当时，利用韦达定理，假设点在直线上，再求点P的坐标.

【详解】(1)由题意得：椭圆的焦点在x轴上，，

故C的方程为；

(2)若，则与椭圆相交于．.

直线：，直线．

．

由椭圆的对称性若可得交点为．

当时，点恒在定直线上．

若时，．

设交点为，由韦达定理得：（1）

直线：与定直线相交于，得．

同理直与直线相交于，得．

把(1)式代入得，

当时，点恒在一条定直线上．

综上所述，当变化时，点恒在一条定直线上.

21．若有穷数列且满足，则称为M数列．

(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；

① 1，2，4，3．

② 4，2，8，1．

(2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；

(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．

【答案】(1)①数列不是M数列；②数列是M数列；理由见解析

(2)证明见解析

(3)的所有取值为4或5

【分析】（1）直接根据条件检验即可；

（2）先判断必要性，若数列是等差数列，设公差为，可得数列是常数列．再判断充分性，若数列是常数列，可得，进而可得是等差数列；

（3）先判断不符合题意，，符合题意，进而证明不符合题意，令，可得有三种可能：①； ②；③．

当，根据（2）的结论排除这3种可能性，则可得答案.

【详解】(1)①因为，所以该数列不是M数列；

②因为，所以该数列是M数列．

(2)必要性：

若数列是等差数列，设公差为，

则．

所以数列是常数列．

充分性：

若数列是常数列，

则，即．

所以或．

因为数列的各项互不相同，

所以．

所以数列是等差数列．

(3)当时，因为，所以，不符合题意；

当时，数列为．此时，符合题意；

当时，数列为．此时，符合题意；

下证当时，不存在满足题意．

令，

则，且，

所以有以下三种可能：

①；

②；

③．

当时，因为，

由（2）知：是公差为1（或−1）的等差数列．

当公差为1时，由得或，

所以或，与已知矛盾．

当公差为−1时，同理得出与已知矛盾．

所以当时，不存在满足题意．

其它情况同理可得．

综上可知，的所有取值为4或5．

【点睛】方法点睛：1、对于数列种的新定义问题，一定要理解新数列的性质后才能解题，充分利用新数列的定义去解答问题.2、对于第三问，可能的取值必然不多，那么可以通过尝试取值，然后找到规律和方法来解决问题.