2022-2023学年云南省红河州弥勒市第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省红河州弥勒市第一中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】确定集合中元素，然后由交集定义计算．

【详解】，，，

故选：B.

2．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】C

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】A选项，，如，而，所以A选项错误.

B选项，，如，而，所以B选项错误.

C选项，，则，所以，所以C选项正确.

D选项，，如，而，所以D选项错误.

故选：C

3．已知函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】利用分段函数的解析式，先求得，然后再直接求值即可.

【详解】因为，

所以

故选：A.

4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解.

【详解】．函数的定义域为，，函数为非奇非偶函数，故错误，

．函数为偶函数，当时，函数为减函数，不满足条件．故错误，

．函数为奇函数，在上为减函数，不满足条件．故错误，

．，函数是偶函数，

当时，是增函数，满足条件．故正确

故选：．

【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.

5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

6．已知奇函数在上单调，若正实数，满足，则的最小值是（    ）

A．8 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】利用奇函数的性质以及基本不等式，即可计算求解.

【详解】，∴，，

∴，即，

故选：D．

7．已知函数是定义在的奇函数，且当时，，若则的解为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由的性质画出图象，再由的单调性解不等式即可.

【详解】当时，，因为函数是定义在的奇函数，

所以的图象如下图，

所以由图可知，在上单调递增，

所以由可得：，解得：.

故选：D.

8．若，为真命题，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可.

【详解】由题意知，，恒成立，

设函数，

即，恒成立.

则，即，

解得，或.

故选：C.

二、多选题

9．下列各组函数表示的是不同函数的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】ACD

【分析】利用相同函数的定义求解.

【详解】A. 的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；

B. 的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；

C. 的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误；

D.，由得，所以的定义域为，由，得 或 ，

所以函数的定义域为或 ，所以不是同一函数，故错误；

故选：ACD

10．下列说法正确的有（    ）

A．已知集合，，全集，若，则实数的集合为

B．命题，成立的充要条件是

C．设，则“”的充要条件是“都不为1”

D．已知，，，则的最小值为

【答案】CD

【分析】利用集合间的关系判断A；利用分参求最值判断B；利用充要条件的定义和不等式的性质判断C；利用基本不等式判断D.

【详解】对于A：集合.

因为，所以.

当时，关于x的方程无解，所以；

当时，则有，解得：；

当时，则有，解得：.

所以实数的集合为.故A错误；

对于B：，.

记.

因为，所以当时，，所以.

所以命题，成立的充要条件是，故B错误；

对于C：且.

故C正确；

对于D：因为，，，所以.

因为（当且仅当，即时等号成立）.

所以.

即的最小值为，故D正确.

故选：CD.

11．已知关于的不等式的解集是，则下列结论不正确的是（    ）

A．

B．

C．关于的不等式的解集是

D．的最小值是

【答案】BD

【分析】由题知，，进而得，，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为关于的不等式的解集是，

所以，和是关于的方程的实数根，且，

所以，，即，，故A选项正确；

所以，，故B选项错误；

所以关于的不等式解集即为不等式的解集，即为，故C选项正确；

因为，，

所以，，当且仅当，即，与矛盾，

所以，的取不到最小值,故D选项错误.

故选：BD

12．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．，，使得

【答案】ACD

【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可.

【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，

所以，故A对，

若，则，得，故B错，

若，则或，因为，所以或，故C正确，

因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．不等式的解集为        .

【答案】

【分析】利用分式不等式的解法，求得原不等式的解集.

【详解】

，

所以原不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.

14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为               

【答案】

【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.

【详解】因为函数的定义域为，

所以；即函数的定义域为；

由，解得，

因此的定义域为.

故答案为：.

15．已知函数，若存在互不相等的实数，且满足，则的取值范围是        ．

【答案】

【分析】作分段函数的图象，数形结合可得，求出，即可得所求范围.

【详解】作出函数的图象如图，

若存在互不相等的实数，且满足，

则，又，

令，得，则，.

则，即.

故答案为：.

16．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于的最大整数，如，称函数叫做高斯函数．下列关于高斯函数的说法正确的有        ．

①

②若，则

③函数的值域是

④函数在上单调递增

【答案】①②③④

【分析】根据高斯函数的定义逐一判断即可.

【详解】①由高斯函数的定义可得，故①正确；

②若，则，而表示不大于的最大整数，

则，即，故②正确；

③因为表示不大于的最大整数，所以，

即函数的值域是，故③正确；

④，函数为分段函数，满足分段函数单调递增的条件，

所以函数在上单调递增，故④正确；

故答案为：①②③④

四、解答题

17．（1）设函数，求的解析式．

（2）已知，求的解析式．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）用换元法求函数解析式即可；

（2）用代换，构造新方程，与原方程联立，即可解得的解析式.

【详解】（1）设，由得，得，

所以，，

即，；

（2）因为①，

得②，

联立①②得，解得.

18．已知函数

(1)判断的奇偶性并证明．

(2)若，判断在的单调性并证明．

【答案】(1)为奇函数，证明见解析

(2)在上为单调递增函数，证明见解析

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义及判定方法，即可求解；

（2）根据函数单调性的定义即判定方法，即可求解.

【详解】（1）解：函数为奇函数.

证明如下：

由函数，可得其定义域为，关于原点对称，

又由，所以函数为定义域上的奇函数.

（2）解：当时，函数在上为单调递增函数.

证明如下：

当时，函数，

任取且，

则，

因为且，可得，

所以，即，

所以函数在上为单调递增函数.

19．设函数的定义域为集合，集合 ．

(1)求函数的定义域；

(2)若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）只要二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得答案；

（2）由题意可得，然后分和两种情况求解即可.

【详解】（1）要使得函数有意义，只需要

解得，

所以集合

（2）因为是的必要不充分条件，所以，

当时，，且，解得 ，

当时，且，解得，      

综上可知，实数的取值范围是.

20．若正数，，满足．

(1)求的最大值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对直接利用基本不等式，即可得出的最大值；

（2）将看作一个整体，由，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.

【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以当，时，．

（2），

当且仅当时等号成立，

∴当，时，．

21．已知函数对一切实数都有成立，且.

（1）求的值，及的解析式；

（2）当时，不等式 恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）通过对抽象函数赋值，令进行求解，即得；令可消去，再结合的值，即求得解析式；

（2）先讨论时不等式恒成立，时，再通过分离参数法求得的取值范围即可.

【详解】解：（1）令，可得，又由，解得；令，得，又因，解得；

（2）当时，不等式 恒成立，即，

若时不等式即，显然成立；

若时，，故恒成立，只需，

设，设

则是对勾函数，在递减，在递增，故时，即时，故，

综上， 的取值范围为.

【点睛】方法点睛：

1.抽象函数通常利用赋值法求函数值或者求解析式；

2.二次函数含参恒成立的问题，一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定.

22．已知定义在R上的函数对任意都有，且当时，．

(1)求证：在R上是增函数；

(2)若，关于x的不等式有解，求实数t的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先设两个变量并给定大小关系，通过将变形为，再根据已知条件得到的大小关系，从而判断出为单调增函数；

（2）利用已知条件将原不等式变形为有解，然后根据的单调性得有解，构造函数（），再求最值即得.

【详解】（1）任取，且，

则，所以．

又，

所以，即，

故在R上是增函数．

（2）因为，所以．

因为，

所以有解，

即有解，

故有解，

即有解．

令（），则．

因为在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，

所以，又，所以，

因此，所以，

故实数t的取值范围为．