2022-2023学年云南省红河州开远市第一中学校高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省红河州开远市第一中学校高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解二次不等式得集合，由函数的定义域得集合，再求集合即可.

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

则．

故选：B.

2．已知为虚数单位，则在复平面上对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】化简，即可得出复数在复平面内对应的点为，根据复数的几何意义即可得出答案.

【详解】.

所以，在复平面上对应的点为，

所以，在复平面上对应的点在第二象限.

故选：B.

3．已知平面向量，，且，则（    ）

A．1 B．14 C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解.

【详解】因为，，，所以，所以.

故选：B

4．2022年11月30日,神舟十四号宇航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”,为记录这一历史时刻,他们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神舟十五号三名航天员也互不相邻,则他们的不同站法共有（    ）种

A．72 B．144 C．36 D．108

【答案】A

【分析】不相邻问题进行插空,先将神舟十四号三名航天员全排,再将神舟十五号三名航天员插入,由于神舟十四号三名航天员互不相邻,神舟十四号三名航天员之间有两个空需要有人插入,故将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间即可满足,写出式子,计算结果即可.

【详解】解:由题知,不妨先将神舟十四号三名航天员全排为:,

再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中,

因为神舟十四号三名航天员互不相邻,

故先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上,进行排列:,

最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下,共,

故不同站法有:种.

故选:A

5．已知，则（  ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答.

【详解】因为，所以，则，

所以．

故选：A.

6．已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，的斜率为，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用直角三角形的几何性质和双曲线的定义得到关于的关达式，再利用双曲线离心率的定义即可得到其离心率的值.

【详解】依题意，设，

因为的斜率为，所以直线的倾斜角为，则，

又，

所以在中，，

则，，

双曲线的离心率.

故选：B.

7．公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性可得圆心在直线方程上，即，从而利用乘“1”法即可得到最值.

【详解】设点的坐标为，因为，则，

即，

所以点的轨迹方程为，

因为点的轨迹关于直线对称，

所以圆心在此直线上，即，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值是.

故选：B.

8．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小.

【详解】令，则，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

，，，

因为，所以.

故选：D.

二、多选题

9．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．展开式中各项系数的和为1

C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大

D．展开式中含项的系数为

【答案】ACD

【分析】对于A，利用二项式系数和为即可得解；

对于B，令即可得到展开式中各项系数的和，从而得以判断；

对于C，分别求得第4项和第5项的二项式系数，结合组合数的性质即可判断；

对于D，利用二项式定理得到展开式的通项公式，从而求得展开式中含项的系数，由此得以判断.

【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；

对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为，故B错误；

对于C，因为第4项的二项式系数为，第5项的二项式系数，

所以，又，

所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C正确；

对于D，因为的展开通项为，

令，得，则，

所以含项的系数为，故D正确.

故选：ACD.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17

B．若随机变量，且，则.

C．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则

D．设随机事件A，B，已知，，，则

【答案】BD

【分析】对于A，由百分位数的定义判断；对于B，由正态分布的性质求解即可；对于C，由条件概率的计算方法求解即可；对于D，根据条件概率及对立事件的计算公式计算即可.

【详解】解：对于A，共有10个数，，所以数据的第80百分位数为17和20的平均数，即为18.5，故错误；

对于B，因为随机变量，且，

所以，

所以，

所以，故正确；

对于C，由题意可知,

所以，，故错误；

对于D，因为，，

所以,

又因为，

所以，

,

所以,故正确.

故选：BD.

11．已知直线与圆，若点P为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（    ）

A．直线l与圆相交

B．与直线l平行且截圆的弦长为的直线为或

C．若点Q为圆上的动点，则的取值范围为

D．过点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值为2

【答案】BCD

【分析】A选项，圆心到的距离大于圆的半径，A错误；B选项，设与直线l平行直线方程为，利用点到直线距离和垂径定理得到方程，求出或；C选项，圆心到直线的距离加上半径为的最大值，减去半径为的最小值，求出答案；D选项，推导出要想最小，只需的面积最小，由三角形面积得到只需最小，数形结合得到最小值为，从而得到答案.

【详解】A选项，的圆心为，半径为1，

则圆心到的距离为，故直线l与圆相离，A错误；

B选项，设与直线l平行直线方程为，

则圆心到的距离为，

由垂径定理得，解得，故，解得或，

故与直线l平行且截圆的弦长为的直线为或，B正确；

C选项，圆心到直线的距离加上半径为的最大值，减去半径为的最小值，

由A可知，圆心到直线的距离为，故的取值范围为，C正确；

D选项，由题意可知，与相垂直，且四边形的面积为，

故要想取得最小值，则只需四边形的面积最小，

因为四边形的面积等于面积的2倍，故只需的面积最小，

因为，

其中⊥直线时，最小，最小为，

故四边形的面积最小值为，则最小值为2，D正确.

故选：BCD

12．已知函数及其导函数的定义域均为．记，若为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用已知条件推导出、，可得出函数为周期函数，并确定该函数的周期，可判断AB选项；推导出（为常数），可判断CD选项.

【详解】若为偶函数，则，则的图象关于直线对称，

若为奇函数， 则，

所以的图象关于点对称，则，①

因为，得，

所以，所以，②

由①②可得，所以，且周期为，所以，

在等式中，令可得，所以，所以AB正确；

因为，即，

则，（为常数），

当时，可得，则，所以C错误；

不一定为零，所以D错误．

故选：ABC.

三、填空题

13．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为      cm.

【答案】

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.

【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，

设抛物线的标准方程为，则，解得.

故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

故答案为：

14．若命题“”是假命题，则实数的最大值为      ．

【答案】

【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】由题知命题的否定“”是真命题．令，则 解得，故实数的最大值为

故答案为：

15．已知，直线与曲线相切，则      .

【答案】

【分析】结合函数为偶函数，先考虑时的情况，设出切点，利用导数得出结论。

【详解】当时，，，设直线与曲线相切于点，

则得，化简得，解得，.

又是定义在上的偶函数，所以.

故答案为：

16．已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为          .

【答案】

【分析】先说明为二面角的平面角，从而科力远余弦定理求得，在证明平面，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用勾股定理即可得出答案.

【详解】由题意，可得为二面角的平面角，

即，

在中，，

由余弦定理，可得，

又由且平面，

所以平面，

设外接圆的半径为，圆心为，

则，可得，即，

设三棱锥的外接球的半径为，球心为，

可得，即，

所以三棱锥的外接球半径为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知分别为三个内角的对边，，且有

(1)求角的值；

(2)求周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由条件利用正弦定理可得，再由余弦定理可得A的值．

（2）利用正弦定理结合三角形内角和定理可得周长的表达式，利用三角函数恒等变换化简，结合B的范围，利用正弦函数的性质可求得取值范围．

【详解】（1）因为，，

所以，即，

所以，

因为，故.

（2）由正弦定理可知，

故周长

，

因为，，

则，

∴周长的取值范围是．

18．已知数列的前项和为，，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用递推关系得出，再利用递推关系得出的通项公式；

（2）根据，利用列项相消法得出的前项和.

【详解】（1）当时，由得，

又因为，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，

故，，

当时，，

所以，也符合上式，

所以.

（2），

所以.

19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M为线段BD的中点．

(1)求证：BD⊥平面AFM；

(2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】(1)证明AF⊥BD以及BD⊥AM即可求证BD⊥AM；

(2)在点A处建立空间坐标系，分别计算平面AFM与平面ACE的法向量，结合空间角与向量角的联系计算即可.

【详解】（1）因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD．

又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，平面，

所以AF⊥平面ABCD，而平面，所以AF⊥BD，因为AB＝AD，M线段BD的中点，

所以BD⊥AM，且AM∩AF＝A，平面，所以BD⊥平面AFM

（2）由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，

又AB⊥AD，所以AB，AD，AF两两垂直．

分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz（如图）．

设AB＝1，则A，B，C，D，E，

所以，，，

设平面ACE的一个法向量为，

则    即，

令y＝1，则，则．

由（1）知，为平面AFM的一个法向量．

设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为，

则．

所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为．

20．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得.

(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其经验回归方程；

(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.

附：.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）利用给定的数表求出，再利用最小二乘法公式求解作答.

（2）求出的可能值，及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【详解】（1）由数表知，

，

因此，，

所以所求经验回归方程为.

（2）由数表知，，，

因此“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个，

的可能值为，

，

，

所以的分布列为：

数学期望.

21．已知椭圆经过点，其右焦点为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆过的点和右焦点，列方程组求出，则椭圆方程可求；

（2）设，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理计算，可得的关系，利用的关系表示出，利用二次函数的性质求出最值.

【详解】（1）依题可得解得

所以椭圆的方程为；

（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，

故可设，

由可得，，

所以，即，

而，即，

化简可得，

，

化简得，

所以或，

所以直线或，

因为直线不经过点，

所以直线经过定点.

所以直线的方程为，易知，

设定点

，

因为，且，

所以，所以，

设，

所以，

当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：

（1）常规面积公式：底高；

（2）正弦面积公式：；

（3）铅锤水平面面积公式：

过轴上的定点：（为轴上定长）

过轴上的定点（为轴上定长）

22．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)设函数有两个零点，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由为的两个零点，不妨设，根据的单调性，得到，转化为证明，进而转化为证明恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】（1）解：由函数的定义域是，且，

当时，恒成立，故在上单调递增；

当时，令，解得；令，解得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：由，

因为为的两个零点，所以，不妨设，

又因为，当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

由证明等价于证明，

因为，且在上单调递增，

因此证明原不等式等价于证明，即要证明，

即要证明，

即恒成立.

令，

则，

所以在上为减函数，所以，

即在时恒成立，

因此不等式恒成立，即.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．