(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第5章 第4讲 三角函数的图象与性质(2份打包，原卷版+教师版)

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第4讲　三角函数的图象与性质


一、知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，﹣1)，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，﹣1)，(，0)，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
函数的最值
最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z；最小值﹣1，当且仅当x＝2kπ﹣，k∈Z
最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；　　　
最小值﹣1，当且仅当x＝2kπ﹣π，k∈Z
无最大值和最小值
单调性
增区间[k·2π﹣，k·2π＋](k∈Z)；
减区间[k·2π＋，k·2π＋](k∈Z)
增区间[k·2π﹣π，k·2π](k∈Z)；
减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)
增区间(k·π﹣，k·π＋)(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
(kπ＋，0)，k∈Z
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
零点
kπ，k∈Z
kπ＋，k∈Z
kπ，k∈Z
3.周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.
常用结论
1.函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z).
2.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ﹣，kπ＋)(k∈Z)内为增函数.
二、教材衍化
1.若函数y＝2sin 2x﹣1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1
C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2

2.函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A. B.
C. D.

3.函数y＝3﹣2cos(x＋)的最大值为________，此时x＝________.





一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数.(　　)
(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.(　　)
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.(　　)
(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z).(　　)
(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数.(　　)

二、易错纠偏
常见误区(1)忽视y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；
(2)忽视正、余弦函数的有界性；
(3)不注意正切函数的定义域.
1.函数y＝1﹣2cos x的单调递减区间是________.

2.函数f(x)＝sin2x＋cos x﹣(x∈[0，])的最大值是________.

3.函数y＝cos xtan x的值域是________.

















第1课时　三角函数的图象与性质(一)

考点一　三角函数的定义域(基础型)
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
1.函数f(x)＝﹣2tan(2x＋)的定义域是(　　)
A.{x|x≠}　　B.{x|x≠﹣}　C.{x|x≠kπ＋(k∈Z)} D.{x|x≠＋(k∈Z)}

2.函数y＝lg sin x＋的定义域为________.

3.函数y＝的定义域为________.


三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域.
(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域.
考点二　三角函数的单调性(基础型)

借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在(﹣，)上的单调性及最值.
核心素养：数学抽象、数学运算
角度一　确定三角函数的单调性(单调区间)
(1)下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是(　　)
A.f(x)＝|cos 2x| B.f(x)＝|sin 2x| C.f(x)＝cos|x| D.f(x)＝sin|x|
(2)函数f(x)＝sin(﹣2x)的单调递减区间为________.
【迁移探究1】　
(变条件)若本例(2)f(x)变为：f(x)＝﹣cos(﹣2x＋)，求f(x)的单调递增区间.

【迁移探究2】
(变条件)本例(2)f(x)变为：f(x)＝sin(2x﹣)，试讨论f(x)在区间[﹣，]上的单调性.





求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解.
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
[提醒]　要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数.同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.
角度二　利用三角函数的单调性比较大小
已知函数f(x)＝2sin(x＋)，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a

利用函数的单调性比较大小
(1)比较同名三角函数的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小；
(2)比较不同名三角函数的大小，应先化成同名三角函数，再进行比较.
角度三　已知三角函数的单调区间求参数
(一题多解)若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间[﹣，]上单调递增，则正数ω的最大值为(　　)
A. B. C. D.






已知函数单调性求参数——
明确一个不同，掌握两种方法
(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集.
(2)抓住两种方法.已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解.
角度四　利用三角函数的单调性求值域(最值)
(1)函数f(x)＝3sin(2x﹣)在区间[0，]上的值域为(　　)
A. B. C. D.
(2)函数y＝sin x﹣cos x＋sin xcos x的值域为__________________________________.


三角函数值域的求法
(1)利用y＝sin x和y＝cos x的值域直接求.
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域.
(3)把sin x或cos x看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域.
(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域.

1.函数f(x)＝tan(﹣)的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z B.，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
2.已知函数f(x)＝﹣10sin2x﹣10sin x﹣，x∈[﹣，m]的值域为[﹣，2]，则实数m的取值范围是(　　)
A. B. C. D.

3.若函数f(x)＝3sin(x＋)﹣2在区间[，a]上单调，则实数a的最大值是________.


[基础题组练]
1.函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)
A.[﹣，]　　 B.[0，π] C.[π，] D.[，2π]

2.当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　)
A.　　　 B. C. D.

3.函数f(x)＝cos 2x＋sin xcos x.则下列表述正确的是(　　)
A.f(x)在上单调递减 B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在上单调递增

4.已知函数f(x)＝cos2x＋sin2(x＋)，则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最小正周期为2π
C.f(x)的最大值为 D.f(x)的最小值为﹣

5.已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x﹣1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是(　　)
A. B. C. D.π

6.比较大小：sin(﹣)________sin(﹣).

7.已知函数f(x)＝4sin(2x﹣)，x∈[﹣π，0]，则f(x)的单调递增区间是________.

8.函数f(x)＝sin(2x＋)﹣3cos x的最小值为________.




9.已知f(x)＝sin(2x＋).
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[，]时，求函数f(x)的最大值和最小值.








10.已知函数f(x)＝sin(2x﹣).讨论函数f(x)在区间[﹣，]上的单调性并求出其值域.










[综合题组练]
1.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)在区间(0，)上单调递增，则ω的最大值为(　　)
A. B.1 C.2 D.4

2.(多选)已知函数f(x)＝(x﹣a)k，角A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，则下列判断正确的是(　　)
A.当k＝1，a＝2时，f(sin A)>f(cos B)
B.当k＝1，a＝2时，f(cos A)＞f(sin B)
C.当k＝2，a＝1时，f(sin A)＞f(cos B)
D.当k＝2，a＝1时，f(cos A)＞f(sin B)
3.设函数f(x)＝cos(ωx﹣)(ω>0).若f(x)≤f()对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.

4.(创新型)如果圆x2＋(y﹣1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2﹣ cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________.

5.已知函数f(x)＝cos(2x﹣)﹣2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈[﹣，]时，f(x)≥﹣.








6.已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[﹣π，π]的x的取值集合.









第2课时　三角函数的图象与性质(二)

考点一　三角函数的周期性与奇偶性(基础型)
借助正弦、余弦、正切的图象，了解三角函数的奇偶性及周期性.
核心素养：逻辑推理、数学运算
(1)函数f(x)＝2cos2(x﹣)﹣1是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
(2)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2﹣x1|的最小值为π，则(　　)
A.ω＝2，θ＝　 B.ω＝，θ＝ C.ω＝，θ＝ D.ω＝2，θ＝

(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解.

1.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)
A.y＝sin(2x＋)　　 B.y＝cos(2x＋)
C.y＝sin 2x＋cos 2x D.y＝sin x＋cos x

2.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ﹣)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(﹣x)＝f(x)，则(　　)
A.f(x)在(0，)上单调递增 B.f(x)在(﹣，)上单调递减
C.f(x)在(0，)上单调递减 D.f(x)在(﹣，)上单调递增




考点二　三角函数的对称性(基础型)
正弦、余弦函数图象的对称轴与x轴交点的横坐标均在三角函数取最值的地方(即波峰和波谷)取得，对称中心的横坐标均在三角函数值为0的地方(即平衡位置)取得.
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A.(，1) B.(，0) C.(，0) D.(﹣，0)


三角函数图象的对称轴和
对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解.
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴).

1.若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A.2 B. C.1 D.

2.已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x＝对称 B.f(x)的周期为
C.(π，0)是f(x)的一个对称中心 D.f(x)在区间[，]上单调递减
考点三　三角函数的图象与性质的综合问题(综合型)
此类问题常与三角恒等变换综合考查，其思路为：先将三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等.

已知函数f(x)＝sin(2π﹣x)·sin(﹣x)﹣cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最小值和最大值.







解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
　已知函数f(x)＝2sin(2x﹣).
(1)求函数的最大值及相应的x值的集合；
(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心.









[基础题组练]
1.函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π

2.f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(﹣b)＝(　　)
A.0 B.3 C.﹣1 D.﹣2

3.若(，0)是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8

4.设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是(　　)
A.f(x)的一个周期为﹣2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝ D.f(x)在(，π)上单调递减

5.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A.关于点(，0)对称 B.关于点(，0)对称
C.关于直线x＝对称 D.关于直线x＝对称

6.若函数y＝cos(ωx＋)(ω∈N*)图象的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为________.

7.在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos(2x＋)；④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为________.

8.已知函数f(x)＝2sin(ωx﹣)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________.

9.已知函数f(x)＝2cos2(x﹣)＋2sin(x﹣)·sin(x＋).求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心.







10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<φ<)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点(，)，求f(x)的单调递增区间.








[综合题组练]
1.(多选)已知函数f(x)＝|tan(x﹣)|，则下列说法错误的是(　　)
A.f(x)的周期是
B.f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C.直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D.f(x)的单调递减区间是(2kπ﹣，2kπ＋]，k∈Z

2.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0＜ω＜1，|φ|＜)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在[，]上是减函数
B.若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C.f(x)≥1的解集是[2kπ，2kπ＋]，k∈Z
D.f(x)图象的一个对称中心是(﹣，0)

3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)﹣cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为，则f(﹣)的值为________.
4.已知函数f(x)＝sin(ωx﹣)＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝﹣，f(β)＝.若|α﹣β|的最小值为，则f()＝________，函数f(x)的单调递增区间为________.

5.已知函数f(x)＝sin ωx﹣cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在[0，]上的单调性.







6.已知函数f(x)＝sin(﹣x)sin x﹣cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1﹣x2)的值.