(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第5章 第3讲 简单的三角恒等变换 (2份打包，原卷版+教师版)

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第3讲　简单的三角恒等变换


一、知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β；
cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos__α；
cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
tan 2α＝.
3.三角函数公式的关系

常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1﹣cos 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1﹣sin 2α＝(sin α﹣cos α)2，
sin α±cos α＝sin(α±).
(4)辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
二、教材衍化
1.若cos α＝﹣.α是第三象限的角，则sin(α+)＝________.　
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝﹣＝﹣，
所以sin(α+)＝﹣×＋(﹣)×＝﹣.
答案：﹣.
2.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________.
解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(﹣cos 77°)·(﹣sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
答案：
3.化简：＝________.
解析：原式＝＝＝＝.
答案：

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角.(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角.(　　)
(3)cos 80°cos 20°﹣sin 80°sin 20°＝cos(80°﹣20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1﹣tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、易错纠偏

(1)不会用公式找不到思路；
(2)不会合理配角出错.
1.sin 15°＋sin 75°的值是________.
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
答案：
2.若tan α＝3，tan(α﹣β)＝2，则tan β＝________.
解析：tan β＝tan[α﹣(α﹣β)]＝＝＝.
答案：
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点一　和差公式的直接应用(基础型)
复习指导1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
核心素养：逻辑推理、数学运算
1.已知sin α＝，α∈(，π)，tan(π﹣β)＝，则tan(α﹣β)的值为(　　)
A.﹣ B. C. D.﹣
解析：选A.因为sin α＝，α∈(，π)，所以cos α＝﹣＝﹣，
所以tan α＝＝﹣.因为tan(π﹣β)＝＝﹣tan β，所以tan β＝﹣，
则tan(α﹣β)＝＝﹣.
2.已知α∈(0,)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选B.由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1﹣2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1﹣sin2α.因为α∈(0,)，所以cos α＝，
所以2sin α＝1﹣sin2 α，解得sin α＝，故选B.
3.已知α∈(，π)，sin α＝.
(1)求sin(＋α)的值；
(2)求cos(﹣2α)的值.
解：(1)因为α∈(，π)，sin α＝，所以cos α＝﹣＝﹣，
故sin(＋α)＝sin cos α＋cos sin α＝×(﹣)＋×＝﹣.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××(﹣)＝﹣，
cos 2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×()2＝，
所以cos(﹣2α)＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝(﹣)×＋×(﹣)＝﹣.

利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
考点二　三角函数公式的逆用与变形应用(基础型)
能运用三角函数公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
核心素养：数学运算
(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A.﹣ B. C. D.﹣
(2)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝﹣1，
即tan(A＋B)＝﹣1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②，
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝﹣.
【答案】　(1)B　(2)﹣

(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α﹣tan β)，tan(α＋β)(或tan(α﹣β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式.

1.(1﹣tan215°)cos215°的值等于(　　)
A. B.1 C. D.
解析：选C.(1﹣tan215°)cos215°＝cos215°﹣sin215°＝cos 30°＝.
2.已知sin 2α＝，则cos2(α﹣)＝(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
解析：选D.cos2(α﹣)＝＝＋sin 2α＝＋×＝.
3.(一题多解)cos 15°﹣4sin215°cos 15°＝(　　)
A. B. C.1 D.
解析：选D.法一：cos 15°﹣4sin215°cos 15°＝cos 15°﹣2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°﹣2sin 15°·sin 30°＝cos 15°﹣sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.
法二：因为cos 15°＝，sin 15°＝，所以cos 15°﹣4sin215°·cos 15°＝×﹣4×()2×＝×(﹣2＋)＝×(2﹣2)＝.故选D.
考点三　三角公式的灵活应用(综合型)
三角公式的灵活应用实质是三角恒等变换，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化.
角度一　三角函数公式中变“角”
已知α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝﹣，sin(β﹣)＝，则cos(α＋)＝________.
【解析】　由题意知，α＋β∈(，2π)，sin(α＋β)＝﹣<0，所以cos(α＋β)＝，
因为β﹣∈(,)，所以cos(β﹣)＝﹣，
cos(α＋)＝cos[(α＋β)﹣(β﹣)]＝cos(α＋β)cos(β﹣)＋sin(α＋β)sin(β﹣)＝﹣.
【答案】　﹣
角度二　三角函数公式中变“名”
求值：﹣sin 10°.
【解】　原式＝﹣sin 10°
＝﹣sin 10°·
＝﹣sin 10°·
＝﹣2cos 10°＝
＝
＝＝＝.


三角函数公式应用的解题思路
(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α﹣β)，α＝(α＋β)﹣β＝(α﹣β)＋β，40°＝60°﹣20°，(+α)＋(﹣α)＝，＝2×等.
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.
[提醒]　转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化.
　求4sin 20°＋tan 20°的值.
解：原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.

[基础题组练]
1.计算﹣sin 133°cos 197°﹣cos 47°cos 73°的结果为(　　)
A. B. C. D.
解析：选A.﹣sin 133°cos 197°﹣cos 47°cos 73°
＝﹣sin 47°(﹣cos 17°)﹣cos 47°sin 17°＝sin(47°﹣17°)＝sin 30°＝.
2.已知cos(﹣α)＝，则sin 2α＝(　　)
A. B.﹣ C. D.﹣
解析：选C.法一：因为cos(﹣α)＝，所以sin 2α＝sin[﹣2(﹣α)]＝cos 2(﹣α)＝2cos2(﹣α)﹣1＝2×()2﹣1＝.故选C.
法二：因为cos(﹣α)＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.故选C.
3.已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.
又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，
故选C.
4.已知cos(x﹣)＝，则cos x＋cos(x﹣)＝(　　)
A. B.﹣ C. D.±
解析：选A.因为coss(x﹣)＝，所以cos x＋cos(x﹣)＝cos x＋cos x＋sin x
＝＝coss(x﹣)＝×＝.
故选A.
5.已知sin(α＋β)＝，sin(α﹣β)＝，则log()2等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：选C.因为sin(α＋β)＝，sin(α﹣β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin αcos β﹣cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，
所以＝5，所以log()2＝log52＝4.故选C.
6.已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________.
解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，
所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×()2＝.
答案：
7.若tan(α＋2β)＝2，tan β＝﹣3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________.
解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝﹣3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β﹣β)＝＝＝﹣1.
tan α＝tan(α＋β﹣β)＝＝.
答案：﹣1　
8.已知sin(α﹣β)cos α﹣cos(β﹣α)sin α＝，β是第三象限角，则sin(β＋)＝________.
解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α﹣β)﹣α]＝﹣sin β＝，所以sin β＝﹣.
又β是第三象限角，因此有cos β＝﹣，
所以sin(β＋)＝﹣sin(β＋)＝﹣sin βcos ﹣cos βsin ＝.
答案：
9.已知tan α＝2.
(1)求tan(α＋)的值；
(2)求的值.
解：(1)tan(α＋)＝＝＝﹣3.
(2)＝
＝＝＝1.
10.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(﹣,﹣).
(1)求sin的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值.
解：(1)由角α的终边过点P(﹣,﹣)，得sin α＝﹣，所以sin(α＋π)＝﹣sin α＝.
(2)由角α的终边过点P(﹣,﹣)，得cos α＝﹣，
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)﹣α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝﹣或cos β＝.
[综合题组练]
1.已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan ﹣2，则sin(α＋)等于(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan ﹣2⇒＝﹣2⇒tan( α＋)＝﹣2，因为α为第二象限角，所以sin( α＋)＝，cos( α＋)＝﹣，则sin(α＋)＝﹣sin(α﹣)＝﹣sin[( α＋)﹣]＝cos( α＋)sin ﹣sin( α＋)cos ＝﹣.
2.(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)
A.8 B.4 C.2 D.1
解析：选C.因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4cos218°.
所以＝＝＝＝＝2.故选C.
3.已知0<α<，且sin α＝，则tan(α＋)＝________；＝________.
解析：因为0<α<，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，
则tan(α＋)＝tan(α＋)＝＝7.
＝＝＝.
答案：7　.
4.设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β﹣cos αsin β＝1，则sin(2α﹣β)＋sin(α﹣2β)的取值范围为________.
解析：由sin αcos β﹣cos αsin β＝1，得sin(α﹣β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α﹣β＝，
所以即≤α≤π，
所以sin(2α﹣β)＋sin(α﹣2β)＝sin(2α﹣α＋)＋sin(α﹣2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin(α＋).
因为≤α≤π，所以≤α＋≤，所以﹣1≤sin(α＋)≤1，即取值范围为[﹣1，1].
答案：[﹣1，1]
5.已知函数f(x)＝sin(x+)，x∈R.
(1)求f(﹣)的值；
(2)若cos θ＝，θ∈(0,)，求f(2θ﹣)的值.
解：(1)f(﹣)＝sin(﹣+)＝sin(﹣)＝﹣.
(2)f(2θ﹣)＝sin(2θ﹣+)＝sin(2θ﹣)＝(sin 2θ﹣cos 2θ).
因为cos θ＝，θ∈(0,)，所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝，
所以f(2θ﹣)＝(sin 2θ﹣cos 2θ)＝×(﹣)＝.
6.已知sin α＋cos α＝，α∈(0,)，sin(β﹣)＝，β∈(,).
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值.
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈(0,)，所以cos 2α＝ ＝，所以tan 2α＝＝.
(2)因为β∈(,)，所以β﹣∈(0,)，又sin(β﹣)＝，所以cos(β﹣)＝，
于是sin 2(β﹣)＝2sin(β﹣)·cos(β﹣)＝.
又sin 2(β﹣)＝﹣cos 2β，所以cos 2β＝﹣，又2β∈(,π)，所以sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈(0,)，所以cos α＝，sin α＝.
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β﹣sin αsin 2β＝×(﹣)﹣×＝﹣.

第2课时　简单的三角恒等变换

考点一　三角函数式的化简(基础型)
复习指导三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.
化简：(1)sin(α＋β)cos(γ﹣β)﹣cos(β＋α)sin(β﹣γ)＝________；
(2)计算：·＝________.
【解析】　(1)sin(α＋β)cos(γ﹣β)﹣cos(β＋α)sin(β﹣γ)
＝sin(α＋β)cos(β﹣γ)﹣cos(α＋β)sin(β﹣γ)
＝sin[(α＋β)﹣(β﹣γ)]＝sin(α＋γ).
(2)原式＝·
＝·＝·＝.
【答案】　(1)sin(α＋γ)　(2)

三角函数式的化简要遵循“三看”原则


1.化简：＝________.


解析：＝＝＝4sin α.
答案：4sin α
2.化简：.
解：原式＝＝＝＝cos 2x.
考点二　三角函数式的求值(综合型)
三角函数的求值包括给角求值、给值求值、给值求角三类.
角度一　给角求值
计算＝________.
【解析】　＝
＝＝＝＝2.
【答案】　2

给角求值问题的解题策略
在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系.
[基本思路]　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：
　
角度二　给值求值
已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝﹣.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α﹣β)的值.
【解】(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.
因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝，
因此，cos 2α＝2cos2 α﹣1＝﹣.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝﹣，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝﹣2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝﹣，
因此，tan(α﹣β)＝tan[2α﹣(α＋β)]＝＝﹣.

给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值.
解题关键：把“所求角”用“已知角”表示
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解.
角度三　给值求角
(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α﹣β的值为________.
【解析】　法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.
又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.
因此cos 2α＝2cos2α﹣1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α﹣β)＝×﹣×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以﹣＜2α﹣β＜，
又sin(2α﹣β)＝，所以2α﹣β＝.
法二：同法一得，cos β＝，sin α＝.因为α，β为锐角，所以α﹣β∈(﹣，).
所以sin(α﹣β)＝sin αcos β﹣cos αsin β＝×﹣×＝.
所以sin(α﹣β)＞0，故α﹣β∈(0，)，故cos(α﹣β)＝＝.
又α∈(0，)，所以2α﹣β＝α＋(α﹣β)∈(0，π).
所以cos(2α﹣β)＝cos[α＋(α﹣β)]＝cos αcos(α﹣β)﹣sin α·sin(α﹣β)
＝×﹣×＝.所以2α﹣β＝.
【答案】　

(1)给值求角问题的解题策略
①求相关角的某一个三角函数值.
②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解.
(2)在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，若角的范围是(0，)，选正、余弦函数皆可；
③已知正、余弦函数值，若角的范围是(0，π)，选余弦函数；
④已知正、余弦函数值，若角的范围是(﹣，)，选正弦函数.

1.已知tan(α+)＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α﹣2β)cos 2β﹣cos(α﹣2β)sin 2β＝(　　)
A.﹣ B. C.﹣ D.
解析：选D.tan(α+)＝＝，所以tan α＝﹣，又α为第二象限角，所以cos α＝﹣，所以sin(α﹣2β)·cos 2β﹣cos(α﹣2β)sin 2β＝sin(α﹣4β)＝sin(α﹣)＝﹣cos α＝，故选D.
2.计算：＝________.
解析：原式＝＝
＝＝＝﹣4.
答案：﹣4
3.若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos(α＋β)＝________，α＋β＝________.
解析：因为α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β﹣sin αsin β＝×﹣×＝.
又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝，α＋β＝.
答案：　

[基础题组练]
1.计算：＝(　　)
A. B.﹣ C. D.﹣
解析：选D.原式＝﹣·＝﹣tan＝﹣×＝﹣.
2.若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)
A.﹣ B. C. D.
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)﹣60°]＝＝＝.故选D.
3.已知cos(2α﹣)＝﹣，则sin(α＋)﹣cos α＝(　　)
A.± B.﹣ C. D.±
解析：选D.sin(α＋)﹣cos α＝sin αcos ＋cos αsin ﹣cos α＝sin(α﹣)，
而cos(2α﹣)＝1﹣2sin2(α﹣)＝﹣，则sin(α﹣)＝±，
所以sin(α＋)﹣cos α＝±，故选D.
4.若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)
A. B. C.﹣ D.﹣
解析：选C.由题意知＝sin 2θ，所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，因此sin 2θ＝﹣或sin 2θ＝2(舍).
5.已知3π≤θ≤4π，且 ＋＝，则θ＝(　　)
A.或 B.或 C.或 D.或
解析：选D.因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，
则 ＋＝＋＝cos ﹣sin ＝cos(＋)＝，
所以cos(＋)＝，所以＋＝＋2kπ或＋＝﹣＋2kπ，k∈Z，
即θ＝﹣＋4kπ或θ＝﹣＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选D.
6.已知sin α＋3cos α＝﹣，则tan 2α＝________.
解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，
所以9sin2α﹣6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α﹣1)2＝0，即tan α＝.
所以tan 2α＝＝.
答案：

7.已知sin α＝﹣(α∈[，2π])，若＝2，则tan(α＋β)＝________.
解析：因为sin α＝﹣，α∈[，2π]，
所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)﹣α]，
即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.
答案：.
8.tan 70°·cos 10°(tan 20°﹣1)等于________.
解析：tan 70°·cos 10°(tan 20°﹣1)＝·cos 10°
＝·
＝＝＝﹣1.
答案：﹣1
9.已知tan α＝﹣，cos β＝，α∈(,π)，β∈(0,)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.
解：由cos β＝，β∈(0,)，得sin β＝，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝＝1.
因为α∈(,π)，β∈(0,)，所以<α＋β<，
所以α＋β＝.
10.已知sin(α＋)＝，α∈(,π).求：
(1)cos α的值；
(2)sin(2α﹣)的值.
解：(1)sin(α＋)＝，即sin αcos＋cos αsin＝，
化简得sin α＋cos α＝，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得cos α＝﹣或cos α＝，因为α∈(,π).所以cos α＝﹣.
(2)因为α∈(,π)，cos α＝﹣，所以sin α＝，
则cos 2α＝1﹣2sin2α＝﹣，sin 2α＝2sin αcos α＝﹣，
所以sin(2α﹣)＝sin 2αcos ﹣cos 2αsin ＝﹣.
[综合题组练]
1.设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　)
A.α﹣β＝ B.α＋β＝ C.2α﹣β＝ D.2α＋β＝
解析：选A.tan α＝＝＝＝＝tan(β＋).
因为α∈(0，)，β＋∈(，)，所以α＝β＋，即α﹣β＝.
2.若sin 2α＝，sin(β﹣α)＝，且α∈[,π]，β∈[π,]，则α＋β的值是(　　)
A. B. C.或 D.或
解析：选A.因为α∈[,π]，β∈[π,]，所以2α∈[,2π].
又0 所以cos 2α＝﹣＝﹣.
又sin(β﹣α)＝，所以cos(β﹣α)＝﹣＝﹣，
所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β﹣α)]＝cos 2αcos(β﹣α)﹣sin 2αsin(β﹣α)
＝﹣×(﹣)﹣×＝.
又α∈(，)，β∈[π,]，所以α＋β∈，所以α＋β＝，故选A.
3.若θ∈(﹣,)，且2sin2θ＋sin 2θ＝﹣，则tan(2θ＋)＝________.
解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝﹣，得1﹣cos 2θ＋sin 2θ＝﹣，得cos 2θ﹣sin 2θ＝，2cos(2θ＋)＝，即cos(2θ＋)＝，又θ∈(﹣,)，所以2θ＋∈(0，)，
则tan(2θ＋)＝，所以tan(2θ＋)＝tan[(2θ＋)﹣]＝.
答案：
4.已知＝﹣，则sin(2α＋)的值是________.
解析：＝＝﹣，解得tan α＝2或tan α＝﹣，
当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝﹣，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝﹣时，sin 2α＝﹣，cos 2α＝，
此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.
答案：
5.(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？

解：连接OB，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈(0,).
因为A，D关于原点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈(0,)，
所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2).
此时AO＝DO＝10(m).
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

6.(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈[0,]，f(4α＋)＝﹣，f(4β﹣)＝，求cos(α＋β)的值.
解：(1)因为f()＝Acos(＋)＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由f(4α＋)＝2cos(α＋＋)＝2cos(α＋)＝﹣2sin α＝﹣，
得sin α＝，又α∈[0,]，所以cos α＝.
由f(4β﹣)＝2cos(β﹣＋)＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈[0,]，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β﹣sin αsin β＝×﹣×＝﹣.