(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第5章 第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 (2份打包，原卷版+教师版)

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第5讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用


一、知识梳理
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
﹣
﹣

﹣

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
﹣A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)

常用结论
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.

二、教材衍化
1.函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，， C.2，，﹣ D.2，4π，﹣
解析：选C.由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为﹣.
2.函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________.　
解析：根据函数图象变换法则可得.
答案：y＝sinx
3.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________.
解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin(x＋φ)＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin(＋φ)＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝﹣，所以y＝sin(x﹣)＋6＝6﹣cos x.
答案：y＝6﹣cos x

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin(2x﹣)的图象.(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为﹣A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z).(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、易错纠偏

(1)搞不清ω的值对图象变换的影响；
(2)确定不了函数解析式中φ的值.
1.若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝________.
解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin[2(x＋)]＝2sin(2x＋).
答案：2sin(2x＋).
2.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,|φ|＜)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.

解析：设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，＝，所以T＝π，故ω＝2，
根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝﹣.所以f(x)＝2sin(2x﹣).
答案：2sin(2x﹣).

考点一　五点法作图及图象变换(基础型)
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.
核心素养：直观想象


已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象.
【解】　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a的最大值为2，
所以a＝﹣1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋)，列表：
x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin(2x＋)
1
2
0
﹣2
0
1
画图如下：

【迁移探究1】　
(变结论)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x)的图象.
解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝2sin(2x＋)的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到.
答案：
【迁移探究2】　
(变问法)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值.
解：由已知得y＝g(x)＝f(x﹣m)＝2sin[2(x﹣m)＋]＝2sin[2x﹣(2m﹣)]是偶函数，
所以2m﹣＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为.

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[注意]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值.

1.由y＝2sin(6x﹣)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为(　　)
A.y＝2sin(3x﹣)　 B.y＝2sin(3x＋) C.y＝2sin(3x﹣) D.y＝2sin(12x﹣)
解析：选A.由y＝2sin(6x﹣)的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin[6(x＋)﹣]＝2sin(6x＋2π﹣)＝2sin(6x﹣)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin(3x﹣)的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin(3x﹣)，选A.
2.已知函数f(x)＝sin 2x﹣cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，g(﹣)的值为________.
解析：由题知函数f(x)＝sin 2x﹣cos 2x＝2sin(2x﹣)，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin(2x＋﹣)＝2sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，则T＝＝π，g(﹣)＝2sin(﹣)＋1＝3.
答案：π　3
考点二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(基础型)
了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，观察参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.
核心素养：直观想象
若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(　　)

A.g(x)＝sin(2x＋) B.g(x)＝sin(2x＋) C.g(x)＝sin 2x D.g(x)＝sin(2x＋)
【解析】根据题图有A＝1，T＝﹣＝⇒T＝π＝⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f()＝1⇒sin(＋φ)＝1⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin(2x＋)，将f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f(x﹣)＝＝sin 2x.故选C.
【答案】　C

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z).　

1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝________.
解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，因为﹣<φ<，
所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋).
答案：2sin(2x＋).
2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.

解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos(x＋)，所以f(1)＝﹣.
答案：﹣
考点三　三角函数模型的简单应用(应用型)
会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
核心素养：数学建模
如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0(cos，sin)开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.

(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈(0,]时，y的取值范围.
【解】(1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22﹣2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1＝sin(2t＋)，y2＝﹣2sin 2t，
所以y＝sin(2t＋)﹣2sin 2t＝cos 2t﹣sin 2t＝cos(2t＋)，
即函数关系式为y＝cos(2t＋)(t＞0)，
当t∈(0,]时，2t＋∈(,]，所以cos(2t＋)∈[﹣1,)，
故当t∈(0,]时，y∈[﹣,).

三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；
(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识.
　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10﹣cost﹣sin t，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.
解析：因为f(t)＝10﹣2＝10﹣2sin(t＋)，又0≤t<24，
所以≤t＋<，所以﹣1≤sin(t＋)≤1.
当t＝2时，sin(t＋)＝1；当t＝14时，sin(t＋)＝﹣1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
答案：4
[基础题组练]
1.函数y＝sin(2x﹣)在区间[﹣,π]上的简图是(　　)

解析：选A.令x＝0，得y＝sin(﹣)＝﹣，排除B，D.令x＝，得y＝0，排除C.
2.函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f()的值是(　　)
A.﹣　 B. C.1 D.
解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，
所以f()＝tan＝.
3.已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)

A.A＝1 B.A＝3 C.ω＝ D.ω＝
解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.
4.为得到函数y＝cos(2x＋)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
解析：选B.因为y＝sin 2x＝cos(﹣2x)＝cos(2x﹣)，
y＝cos(2x＋)＝cos[2(x＋)﹣]，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos(2x＋)的图象.故选B.
5.(多选)已知函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B.函数f(x)在区间(0，π)上单调递增
C.函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
D.函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为﹣
解析：选CD.由题意知＝4π，则ω＝，所以f(x)＝cos(x＋).
因为f()＝cos≠±1，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴，A错误；
因为x∈(0，π)，所以x＋∈(，)，当x＋∈(，π)时，f(x)单调递减；当x＋∈(π，)时，f(x)单调递增，所以f(x)在[0，π]上的最大值为cos＝﹣，B错误，D正确；f(x)的图象向右平移个单位长度后得到图象的函数解析式为g(x)＝cos[(x﹣)＋]＝cos(x＋)＝﹣sinx，是奇函数，图象关于原点对称，C正确.
6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________.
解析：y＝sin xy＝siny＝sin(x﹣).
答案：y＝sin(x﹣)
7.函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin(2x﹣)的图象重合，则φ＝________.
解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x﹣π＋φ)的图象，与函数y＝sin(2x﹣)的图象重合，则cos (2x﹣π＋φ)＝sin(2x﹣)，
即sin(2x﹣＋φ)＝sin(2x﹣)，所以﹣＋φ＝﹣，则φ＝，
答案：
8.已知函数f(x)＝2sin(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________.

解析：由图象知＝﹣(﹣)＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ).由五点对应法得2×(﹣)＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋).令2kπ﹣≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得﹣＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为[﹣＋kπ，kπ＋]，k∈Z.
答案：2　[﹣＋kπ，kπ＋](k∈Z)
9.如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离.

解：连接MP(图略).依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.当x＝4时，y＝2sin＝3，
所以M(4，3).又P(8，0)，所以|MP|＝＝5.
即M，P两点相距5 km.


10.将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)﹣g(x).
(1)求函数h(x)的单调递增区间；
(2)若g(α＋)＝，求h(α)的值.
解：(1)由已知可得g(x)＝sin(2x＋)，则h(x)＝sin 2x﹣sin(2x＋)＝sin(2x﹣).
令﹣＋2kπ≤2x﹣≤＋2kπ，k∈Z，得﹣＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数h(x)的单调递增区间为[﹣＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)由g(α＋)＝得sin[2(α＋)＋]＝sin(2α＋)＝，
所以sin(2α﹣)＝﹣，即h(α)＝﹣.
[综合题组练]
1.(综合型)(2020·长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点.设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)
A.(0，0) B.(1，0) C.(,0) D.(,0)
解析：选D.如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1﹣＝﹣，xF＝1＋＝，所以E(﹣,0)，F(,0)，所以函数f(x)图象的对称中心可以是(,0)，故选D.




2.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象.已知函数g(x)的部分图象如图所示，则(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为π，最大值为2
B.函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点(,0)中心对称
C.函数f(x)的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称
D.函数f(x)的最小正周期为π，在区间[,]上单调递减
解析：选D.对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝，所以ω＝＝3，则g(x)＝2sin，又由g()＝2可得φ＝﹣＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝﹣.所以g(x)＝2sin(3x﹣)，所以f(x)＝2sin(2x＋).所以f(x)的最小正周期为π，选项A，C错误.
对于选项B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝﹣，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(﹣,0)(k∈Z)，所以选项B是错误的；当x∈[，]时，2x＋∈[,]，所以f(x)在[，]上是减函数，所以选项D正确.故选D.
3.已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，f()＝f()，且f(x)在区间(,)上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值，所以sin(ω＋)＝﹣1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z).所以ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间(,)上有最小值，无最大值，所以﹣≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.
答案：
4.(创新型)如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(﹣1)＝________.

解析：由题设并结合图形可知，
AB＝＝＝＝，得＝4，则ω＝，
所以f(﹣1)＝sin(﹣＋)＝sin ＝.
答案：
5.设函数f(x)＝sin(ωx﹣)＋sin(ωx﹣)，其中0<ω<3.已知f()＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.
解：(1)因为f(x)＝sin(ωx﹣)＋sin(ωx﹣)，
所以f(x)＝sin ωx﹣cos ωx﹣cos ωx＝sin ωx﹣cos ωx＝sin(ωx﹣).
由题设知f()＝0，所以﹣＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x﹣)，所以g(x)＝sin(x﹣).
因为x∈[﹣，]，所以x﹣∈[﹣,]，当x﹣＝﹣，
即x＝﹣时，g(x)取得最小值﹣.



6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cos(4x＋)＝a有实数解，求a的取值范围.
解：(1)由图可得A＝2，＝﹣＝，所以T＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，可得2sin(2×+φ)＝2，
因为|φ|<，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x+).
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝﹣，
所以函数f(x)图象的对称中心为(﹣，0)(k∈Z).
(2)设g(x)＝f(x)＋2cos(4x＋)，
则g(x)＝2sin(2x+)＋2cos(4x＋)＝2sin(2x+)＋2[1﹣2sin2(2x+)]，
令t＝sin(2x+)，t∈[﹣1，1]，记h(t)＝﹣4t2＋2t＋2＝﹣4(t﹣)2＋，
因为t∈[﹣1，1]，所以h(t)∈[﹣4,]，
即g(x)∈[﹣4,]，故a∈[﹣4,].故a的取值范围为[﹣4,].