初中数学人教版七年级上册第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程当堂达标检测题

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专题09 一元一次方程的应用题 十二大题型
一元一次方程的应用题属于必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
注意：
（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
2 .建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。

题型1 分段计费问题
【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。
已知费用求需判定的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。
注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等
1．（2022·四川德阳·七年级期末）保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表．某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽车修理费是（       ）元．
汽车修理费x元
赔偿率
0＜x≤500
60%
500＜x≤1000
70%
1000＜x≤3000
80%
…
…
A．2687 B．2687.5 C．2688 D．2688.5
【答案】B
【分析】根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元，则赔偿率是80%，则若修理费是x元，则在保险公司得到的赔偿金额是(x-1000) ×0.8+300+350元 ，就可以列出方程，求出x的值．
【详解】解：∵500×60%＝300（元），
（1000﹣500）×70%＝500×70%＝350（元），
（3000﹣1000）×80%＝2000×80%＝1600（元），
且300＜2000，300+350＝650＜2000，300+350+1600＝2350＞2000，
∴此人的汽车修理费x的范围是：1000＜x≤3000，
可得，300+350+（x﹣1000）×80%＝2000，
解得x＝2687.5，
∴此人的汽车修理费是2687.5元，故选：B．
【点睛】解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题的关键．
2．（2022·湖北恩施·七年级期末）某城市出租车收费标准如下：3下米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元（不足一千米按一千米计算）．
(1)若乘坐出租车行驶千米（为整数），完成下列表格．
行驶里程（千米）
应付车费（元）




(2)周末小华的爷爷准备乘坐出租车到12千米外小华的姑姑家去，但他只有20元钱，爷爷能够全程乘坐出租车吗？如果能够，他要付多少元车费？如果不能，他至少还要步行几千米？
【答案】(1)见解析 (2)爷爷至少还要步行2千米
【分析】（1）根据3下米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米加收2元，分段列式计算；
（2）根据当时，，得到爷爷不能够全程乘坐出租车，根据，为整数，得到，爷爷至少还要步行2千米．
(1)
行驶里程（千米）
应付车费（元）

5

或

(2)解：当时，，
所以，爷爷不能够全程乘坐出租车．
，则，因为为整数，所以，
所以爷爷至少还要步行2千米．
【点睛】本题主要考查了分段计费，解决问题的关键是熟练掌握每段路程中车费与路程的关系列式计算，进行判断．
3．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售相同的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购买商品超出100元之后，超出部分按9折优惠．设顾客预计购买x元（）的商品．(1)请用含x的代数式分别表示顾客在甲、乙两家超市购物应付的费用；
(2)小明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；
(3)小明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？
【答案】(1)甲超市元，乙超市元 (2)甲超市，理由见解析 (3)元
【分析】（1）分别按照甲乙超市的优惠方法：甲：200+超过200元的部分×0.8，乙：100+超过100元的部分×0.9；列代数式即可；
（2）把代入（1）中的代数式进行计算，再比较即可；
（3）利用两家超市的费用相等构建方程，再解方程即可．
(1)解：顾客在甲超市购物应付的费用为元；
在乙超市购物应付的费用为元；
(2)他应该去甲超市．理由如下：
当时，甲：，
乙：．
∵，∴他应该去甲超市；
(3)根据题意，得，解这个方程，得
答：小明购买元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．
【点睛】本题考查的是分段计费的问题，列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确的列出代数式是解本题的关键．
4．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动电话A，两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累计通话时间记为（分）．

A计费方法
计费方法
月租费（元/月）
58
88
不加收通话费时限（分）
150
350
超时部分加收通话费标准（元/分）
0.25
0.20

(1)若，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明．(2)当时，按这两种计费方法，所需的话费会相等吗？若会，求的值；若不会，说明理由．(3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的话费，若改用套餐，则可多通话多少分钟？
【答案】(1)选择A套餐 (2)会，当时，所需的话费相等
(3)改用套餐，则可多通话115分钟
【分析】（1）直接将代入两种套餐计算出费用即可比较；
（2）根据话费相等，列出方程，解出t的值即可；
（3）根据题意列出方程即可求解．
(1)A套餐收费：；
套餐收费：．所以选择A套餐．
(2)当时，，
解得．∴当时，所需的话费相等．
(3)根据题意得方程，
解得，．
答：改用套餐，则可多通话115分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键在于找到题目中的等量关系列方程．
5．（2022·聊城市茌平区实验中学七年级期末）为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：
档次
每户每月用电数度
执行电价元度
第一档
小于等于200部分

第二档
大于200且小于等于400部分

第三档
大于400部分

（1）若一户居民七月份用电420度，则需缴电费多少元？
（2）若一户居民某月用电x度大于200且小于，则需缴电费多少元？用含x的代数式表示
（3）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费262元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度，问该户居民五、六月份各用电多少度？
【答案】（1）需缴电费236元；（2）(0.6x-20)元；（3）该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．
【分析】（1）根据阶梯电价收费制，用电420度在第三档，则需缴电费，计算即可；（2）根据阶梯电价收费制，用电度大于200小于，需交电费，化简即可；（3）设五月份用电度，则六月份用电度，分两种情况进行讨论：①；②．
【详解】解：（1）元．答：需缴电费236元；
（2） （元）；
（3）设五月份用电x度，则六月份用电度．
分两种情况：第一种情况:当时，
，解得，；
第二种情况:当时，250≤500-x≤400，
，，无解，
所以，该户居民五月份用电180度，六月份用电320度．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
6．（2022·浙江绍兴市·七年级期中）鼓励市民节约用水，自来水公司采用阶梯收费，下表为用水收费标准．
用水量（立方米）
水费到户价格（元/立方米）
不超过14的部分

超过14到30的部分

……
……
（1）小王家6月用水，付水费25元，求的值．
（2）小王家7月用水，，用的代数式表示水费，求用水时的水费．
【答案】（1）；（2）7月的水费为元，用水时的水费为83元
【分析】（1）根据题意可知用水时的水费单价为元/立方米，再根据付水费25元即可列出方程，解方程即可；（2）由（1）可得，再根据题意可知用水时的水费单价为4元/立方米，由此可得7月的水费，再将代入即可求得用水时的水费．
【详解】解：（1）根据题意可得：，解得：，∴的值为2；
（2）根据题意可得：7月的水费为，
当时，，
答：7月的水费为元，用水时的水费为83元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的理解题意，找到正确的等量关系是解题的关键．

题型2.方案优化问题
解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
1．（2022·山东烟台·七年级期末）22年冬奥会开幕式上，烟台莱州武校的健儿们参演的立春节目让全世界人民惊艳和动容，小明想知道这震撼人心的队伍的总人数．张老师说你可以自己算算：若调配55座大巴若干辆接送他们，则有8人没有座位；若调配44座大巴接送，则用车数量将增加两辆，并空出3个座位，你能帮小明算出一共去了_______名健儿参演节目吗？

【答案】393
【分析】设有55座大巴辆，则44座大巴，据人数相等列出一元一次方程，解方程，进而即可求解．
【详解】解：设有55座大巴辆，则44座大巴，根据题意得，
，解得，
则总人数为（人），故答案为：393．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2022·海南·海口中学七年级期末）某学校组织七年级同学参加社会实践活动，计划前往博物馆参观；若博物馆的门票只能当日有效，且价格规定如表：
购票张数
1～49张
50～99张
100张以上
每张门票的价格
15元
12元
9元
现有七年级三个班共129人参观，其中每个班都不足50人；
(1)若学校为七年级集体购票，共需购票款多少元？(2)因七年一班需要在校参加另外一项活动，参观时间另外安排，这样学校两次购票共花费1674元，求七年一班有多少学生？
(3)当七年一班去博物馆参观时，班长同学采取了新的购票方案，结果比（2）中方案省钱，你知道班长是如何购票的吗？请计算班长同学节约了多少钱．
【答案】(1)1161元 (2)42人 (3)30元
【分析】（1）根据题意得出七年级集体购票每张单价为9元，然后用人数乘以单价即可；
（2）根据题意得出其余两班的人数大于129-50=79（人），两班的人数少于100人，设七一班有x人，则其余两班的人数是(129-x)人，列出方程求解即可；
（3）根据表格数据知购买50张票的总价小于42人的购票总价，然后计算差即为节约的钱数．
（1）解：七年级集体购票每张单价为9元，
则共需购票款为129×9=1161（元）；
（2）因为每个班不足50人，则其余两班的人数大于129-50=79（人），两班的人数少于100人，
设七一班有x人，则其余两班的人数是(129-x)人，
则有15x+12×(129-x)=1674，
解得x=42 则七一班人数有42人；
（3）42×15=630(元)，50×12=600(元)，
班长按每人12元的票价购买了50张花了600元，
这样班长节约了630-600=30（元）．
【点睛】题目主要考查有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，列出相应式子及方程是解题关键．
3．（2022·新疆塔城·七年级期末）北京某景区，门票价格规定如下表：
购票张数
1～50张（包含50张）
50～100张（不包含50张）
100张以上
每张票的价格
60元
50元
40元
某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．
(1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？
(2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？
【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人
(2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱
【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人数多于（2）班人数，所以51 （1）解：设去该景区游玩的七年级（1）班有x人，（2）班有人．根据题意，得
解得．
则（2）班人数为：（人）．
答：七年级（1）班有62人，（2）班有40人．
（2）解：方案一：各自购买门票需（元）；
方案二：联合购买门票需（元）；
方案三：联合购买101张门票需（元）；
综上所述：因为．
答：七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用：方案选择问题，解题的关键是读懂题意，利用隐含条件找出等量关系列方程．
4．（2022·绵阳市·七年级课时练习）某种圆珠笔的售价是每支2元，甲、乙两家文具店均有促销活动：甲文具店全部九折，乙文具店20支及以下不打折，超过20支的部分打八折．设小明需要购买的圆珠笔的数量为x，根据题意回答下列问题：
(1)若购买超过20支的圆珠笔，则在甲文具店需要花费 元，在乙文具店需要花费 元．（用含x的代数式表示）
(2)当x＝25时，选择哪家文具店更优惠？当x＝50呢？
(3)随着x的变化，试说明选择哪家文具店更优惠．
【答案】(1)1.8x；1.6x+8；
(2)x=25时，选则甲文具店；x=50时，选项乙文具店；(3)当x=40时，甲乙两家文具店都一样；当x>40时，选择乙文具店更优惠；当0 【分析】（1）分别根据甲乙的优惠方案列式计算即可；
（2）把分别代入（1）中的代数式，再比较各自费用的高低，从而可得结论.
（3）根据题意得出当甲乙两个店优惠一样时得圆珠笔数量，然后结合（2）中即可得出结论.
（1）解：设小明需要购买的圆珠笔的数量为x，
甲文具店全部九折；购买的花费为：元，
乙文具店20支及以内不打折，比20支多的部分打八折，
购买的花费为：元，
故答案为：；．
（2）当时，甲文具店：（元）；
乙文具店：（元）．
因为，所以选择甲文具店更优惠．
当时，甲文具店：（元）；
乙文具店：（元）．
因为，所以选择乙文具店更优惠．
（3）根据题意得：1.8x=1.6x+8，解得：x=40，
∴当x=40时，甲乙两家文具店都一样；
由（2）得当x>40时，选则乙文具店更优惠；
当0 【点睛】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，最优化选择问题，掌握“利用代数式的值作出最优化选择”是解题的关键.
5．（2022·广西贵港·七年级期末）某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．
(1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物每满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
【答案】(1)随身听和书包的单价分别为360元，92元 (2)在B超市购买省钱
【分析】（1）设随身听和书包的单价分别为x元，y元，根据随身听和书包单价之和是452元，列方程组求解即可；
（2）根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱．
（1）解：设随身听和书包的单价分别为x元，y元．由题意可得，解得，答：随身听和书包的单价分别为360元，92元；
（2）解：A超市需要：452×0.85=384.2（元）；B超市需要：先购买随身听花费360元，返券90元，还需要92﹣90=2（元），共花费360+2=362（元）．因为384.2＞362，所以在B超市购买省钱．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
6．（2022·吉林长春外国语学校八年级开学考试）为拓宽学生视野，某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带19个学生，还剩11个学生没人带；若每位老师带20个学生，就有一位老师少带7个学生，为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
50
租金/（元辆）
300
400
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）这次活动全部租甲种客车行吗？如果行，怎样安排；如果不行，请说明理由．
（3）学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过4100元，租用乙种客车不少于7辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】（1）老师有18人，学生有353人；（2）不行，理由见解析；（3）见解析
【分析】（1）设有x个老师，根据学生数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（19x+11）中即可求出学生人数；
（2）利用租车数量=师生人数÷每辆车的载客量，可求出租用甲种客车的数量，结合每辆客车上至少要有2名老师及共有18名老师，即可得出这次活动不能全部租甲种客车；
（3）先求出7辆乙种客车的载客人数，结合师生总数可求出剩余人数，根据甲、乙两种客车的载客量可找出各租车方案，分别求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设有x个老师，依题意，得：19x+11=20x-7，解得：x=18，∴19x+11=353．
答：参加此次研学旅行活动的老师有18人，学生有353人．
（2）（18+353）÷30=12（辆）……11（人），12+1=13（辆），13×2=26（人），
∵18＜26，∴老师数不足以每辆车分2人，∴这次活动不能全部租甲种客车．
（3）18+353-50×7=21（人），21＜30＜50，
∴有两种租车方案，方案1：租用1辆甲种客车，7辆乙种客车；方案2：租用8辆乙种客车．
方案1所需费用为300+400×7=3100（元）；
方案2所需费用为400×8=3200（元）．
∵3100＜3200，∴方案1最省钱，即：租用1辆甲种客车，7辆乙种客车．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）求出全部租甲种客车需要的教师数；（3）找出乘坐7辆乙种客车外剩余的人数．


题型3 行程问题
解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
①相遇问题（或相向问题）：

速度和×时间=总路程
②追及问题：
同时不同地：

速度差×时间=起点间的距离
同地不同时：

速度差×时间=先行路程
不同时不同地：

速度差×时间=起点间的距离+先行路程
③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。
④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。
1．（2022·仁寿县七年级期中）甲在乙后12千米处，甲的速度为7千米/小时，乙的速度为5千米/小时，现两人同向同时出发，那么甲从出发到刚好追上乙所需要时间是(     )
A．5小时 B．1小时 C．6小时 D．2.4小时
【答案】C
【分析】设甲从出发到刚好追上乙所需要时间x小时，可得7x-5x=12，即可解得答案．
【详解】解：设甲从出发到刚好追上乙所需要时间x小时，
根据题意得：7x-5x=12，解得x=6，
答：甲从出发到刚好追上乙所需要时间是6小时．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，掌握追击问题的等量关系列方程．
2．（2022·陕西·西安七年级期末）古代名菩《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：两匹马从同一地点出发，跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ）
A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150
C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×150
【答案】A
【分析】设快马天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马天可以追上慢马，据题题意：，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
3．（2022·四川内江·）2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以的速度行进后，爸爸骑自行车以的速度按原路追赶小明．设爸爸出发后与小明会合，那么所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，利用路程=速度×时间，结合会合时两人行走（或骑行）的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，即可．
【详解】解：设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，
依据题意得：，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
4．（2022·哈尔滨德强学校七年级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是_____千米．
【答案】60
【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根据求出的船在静水中的速度，再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，进行计算即可．
【详解】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得：
（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，解得：x＝27，
即：船在静水中的速度是27千米/小时，
（27+3）×2＝60（千米）；故答案是：60．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解．
5．（2022·山西浑源·初一期末）综合与实践：
甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；
（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）
②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．
【答案】（1）4小时 （2）360千米或720千米 （3）①0≤x＜4时，840﹣210x；4≤x＜7时，210x﹣840；7≤x≤10时，90x ②小时
【分析】（1）设慢车行驶的时间为x小时，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900，依此列出方程，求解即可；
（2）当两车之间的距离为315千米时，分三种情况：①两车相遇前相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900-315；②两车相遇后相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900+315；③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90=630＞315，此种情况不存在；
（3）①分三种情况：慢车与快车相遇前；慢车与快车相遇后；快车到达乙地时；
②在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4+=小时，快车慢车行驶的时间为4++=5小时．设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900，求出y的值，进而求解即可．
【解析】解：（1）设慢车行驶的时间为x小时，由题意得120（x＋）＋90x＝900，解得x＝4．
答：当快车与慢车相遇时，慢车行驶了4小时．
（2）当两车之间的距离为315千米时，有两种情况：
①两车相遇前相距315千米，此时120（x＋）＋90x＝900﹣315，解得x＝2.5．
120（x＋）＝360（千米）；
②两车相遇后相距315千米，此时120（x＋）＋90x＝900＋315，解得x＝5.5．
120（x＋）＝720（千米）；
③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，
7×90＝630＞315，此种情况不存在．
答：当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米；
（3）①当慢车与快车相遇前，即0≤x＜4时，
两车的距离为900﹣120（x＋）﹣90x＝840﹣210x；
当慢车与快车相遇后，快车到达乙地前，即4≤x＜7时，
两车的距离为120（x＋）＋90x﹣900＝210x﹣840；
当快车到达乙地时，即7≤x≤10时，两车的距离为90x；
②第二列快车比第一列快车晚出发小时．
在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4＋＝小时，
快车行驶的时间为4＋＋＝5小时．
设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，由题意，得120y＋×90＝900，解得y＝4．
5﹣4＝（小时）．答：第二列快车比第一列快车晚出发小时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
6．（2022·广东郁南·初一期末）某中学学生步行到郊外旅行，七年级班学生组成前队，步行速度为4千米小时，七班的学生组成后队，速度为6千米小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米小时．
后队追上前队需要多长时间？后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？七年级班出发多少小时后两队相距2千米？
【答案】（1）后队追上前队需要2小时；（2）联络员走的路程是20千米；（3）七年级班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米
【分析】(1) 设后队追上前队需要x小时，由后队走的路程=前队先走的路程+前队后来走的路程，列出方程，求解即可；(2)由路程=速度×时间可求联络员走的路程；(3)分三种情况讨论，列出方程求解即可．
【解析】设后队追上前队需要x小时，根据题意得：，
答：后队追上前队需要2小时；
千米，答：联络员走的路程是20千米；
设七年级班出发t小时后，两队相距2千米，
当七年级班没有出发时，，
当七年级班出发，但没有追上七年级班时，，，
当七年级班追上七年级班后，，，
答：七年级班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论的思想，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

题型4工程问题
【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
1．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时(     )
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
【答案】D
【分析】设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据总工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，
根据题意得：1，解得：x＝4．
即完成这项工程共耗时4天．故选：D
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·仁寿县七年级期中）一项工程，甲单独做需20天完成 ，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？
【答案】甲做了4天．
【分析】设甲做了x天，利用甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲做了x天，
依题意得：，
解得：x=4．
答：甲做了4天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·七年级期中）某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用、两台大型设备进行加工，如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
(1)填空：型设备的工作效率是_________，型设备的工作效率是_________；
(2)若两台设备同时加工10天后，型设备出了故障，暂时不能工作，如果由型设备单独完成剩下的任务，则还需要多少天？
【答案】(1)， (2)20天
【分析】（1）利用工作效率工作总量工作时间，可得出，两台设备的工作效率；
（2）先设还需要天完成，利用型设备完成的工作量型设备完成的工作量总工作量，即可得出关于的一元一次方程，求解即可．
（1）解：如果单独用型设备，需要45天做完；如果单独用型设备，需要30天做完，
型设备的工作效率是这批冬季校服数量的，型设备的工作效率是这批冬季校服数量的．
故答案为：；．
（2）解：设还需要天完成，
依题意得：，解得：．
答：还需要20天完成．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程求解．
4．（2022·河南信阳·七年级期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．
(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元?
(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按整周计算）
【答案】(1)甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元
(2)选择先由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周最节省资金
【分析】（1）设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成，根据“甲工程队单独施工需要3周”、“由乙工程队单独施工需要6周”可列方程求解；
（2）设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成，根据“甲的工作量+乙的工作量=1”列出方程并解答；然后根据甲、乙两队的每周耗资作出方案的选择．
（1）解：设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成．根据题意，得(+)x=1．解得x=2．所以（8+3）×2=22（万元）．答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元；
（2）解：设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成．根据题意，得，解得y=1，所以4-1=3，所以（8+3）×1+3×3=20（万元）．所以选择先由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周最节省资金．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据工作量=工作时间×工作效率列方程求解．
5．（2022·广东初一课时练习）松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元．
（1）这批校服共有多少件？
（2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按第（2）问方式完成并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．
【答案】（1）960件（2）28天（3）方案三
【分析】（1）由题意设这批校服共有x件，并根据题意建立一元一次方程进行求解即可；
（2）根据题意设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工天，并根据题意建立一元一次方程进行求解即可；（3）根据题意分别计算三种方案所需的时间与费用，并进行比较即可得出答案．
【解析】解：（1）设这批校服共有x件．由题意，得．解得．
答：这批校服共有960件．
（2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工天．依题意得
．解得．．
答：乙工厂共加工28天．
（3）①方案一：需要耗时（天），费用为（元）；
②方案二：需要耗时（天），费用为（元）；
③方案三：甲工厂耗时12天，乙工厂耗时28天，故需要耗时28天，
费用为（元）．综上，方案三既省时又省钱．
【点睛】本题考查一元一次方程实际应用，读懂题干并依据题干条件建立一元一次方程求解是解题的关键．
6．（2022·四川汶川·初一期末）某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两修理组，甲修理组单独完成任务需要天，乙修理组单独完成任务需要天．若由甲、乙两修理组同时修理，需多少天可以修好这些套桌椅?若甲、乙两修理组合作天后，甲修理组因新任务离开，乙修理组继续工作．甲完成新任务后，回库与乙又合作天，恰好完成任务．问:甲修理组离开几天?
【答案】（1）8天；（2）6天．
【分析】（1）根据题意得出甲、乙两修理组的工作效率，列出方程即可；
（2）设甲修理组离开y天，根据题意列方程即可得到结论；
【解析】（1）解：设两组同时修理需要x天可以修好这些桌椅，
由题意得：（+ ）x = 1解这个方程得：x = 8
答：两组同时修理需要8天可以修好这些桌椅．
（2）解：设甲中途离开了y天，由题意得：（+ ） = 1
解这个方程得：x =6 答：甲修理组离开了6天．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键．

题型5 商品销售问题
【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
1．（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（　　）
A．赢利16.8元 B．亏本3元 C．赢利3元 D．不赢不亏
【答案】C
【分析】先根据题意设出赚钱的和亏本的衣服的本钱x，y，列出关于x，y的方程，求得两件衣服的本钱，再根据售价即可得出盈利3元．
【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，
则x+40%x＝84，解得x＝60，
y﹣20%y＝84，解得y＝105，
∴84×2﹣（60+105）＝3元．
答：两件商品卖后赢利3元，故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解答这类题目的时候，同学们一定要读懂题意，列出正确的方程．
2．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）一件夹克衫先按成本价提高70%标价，再将标价打7折出售，结果获利38元．设这件夹克衫的成本价是x元，那么依题意所列方程正确的是(     )
A．70%（1+70%）x＝x+38 B．70%（1+70%）x＝x﹣38
C．70%（1+70%x）＝x﹣38 D．70%（1+70%x）＝x+38
【答案】A
【分析】设这件夹克衫的成本价是x元，根据售价＝成本＋利润，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设这件夹克衫的成本价是x元，
依题意，得：70%（1＋70%）x＝x＋38，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·重庆江津·七年级期末）在六一儿童节期间，某商家推出零食大礼包，包含薯片、辣条、果冻三种零食．礼包的成本是三种零食成本之和．每个礼包中薯片、辣条、果冻成本之比为：：，其中薯片的利润率为，果冻的利润率为，且每个礼包的总利润率为，则辣条的利润率为______．
【答案】
【分析】设辣条的利润率为x，每个礼包中薯片成本为7m、辣条成本为5m、果冻成本为3m，则每个礼包的成本是15m，根据每个礼包的总利润率为34%，列方程即可解得答案．
【详解】解：设辣条的利润率为，每个礼包中薯片成本为、辣条成本为、果冻成本为，则每个礼包的成本是，
根据题意得：，
解得，
答：辣条的利润率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
4．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）文峰文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．
(1)文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少利润？
(2)在实际销售中，该文具店老板在以（1）中标价销售完m盒后，决定搞一场促销活动，尽快清理库存．老板先将标价提高到每盒40元，再推出活动：购买两盒，第一盒七折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒该老板共获利600元，求m的值．
【答案】(1)320元 (2)30
【分析】（1）设第一次购买了盒，则第二次购买了盒，根据题意列方程，得出每一次购买得数量，再分别算出每一批的利润，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出销售m盒的销售额、七折的销售额、半价的销售额，再根据总销售额－成本=利润，列出方程，即可求解．
（1）设第一次购买了盒，则第二次购买了盒，
依题意得：，
解得：（盒），
∴ 第一次购买了40盒，第二次购买了30盒，
则第一批盈利：（元），
则第二批盈利：（元），
∴总共盈利：（元）．
（2）销售m盒销售额为：20m，
七折的销售额为：，
半价的销售额为：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系．
5．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示：
(1)超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？
(2)该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？

甲
乙
进价（元/件）
22
30
售价（元/件）
29
40
【答案】(1)甲种商品150件，乙种商品90件；(2)9折．
【分析】（1）设第一次购进乙种商品m件，则购进甲种商品（2m﹣30）件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解方程后计算，可得两种商品第一次购进数量；
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设第一次购进乙种商品m件，则购进甲种商品（2m﹣30）件，
依题意，得：30m+22×（2m﹣30）＝6000，
解得：m＝90，∴2m﹣30＝150，
答：超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件．
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，
由（1）可知，第一次两种商品全部卖完可获得利润为：
（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．
依题意得：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9．
答：第二次乙种商品是按原价打9折销售．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2022·重庆九龙坡·）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．
【答案】（1）4元；（2）6.5元
【分析】（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，根据题意列一元一次方程即可求解；（2）设售价为元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解．
【详解】解：（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，
由题意可得：，即解得
答：第一次购进的西瓜进价每千克4元；
（2）设每千克西瓜的售价为元，则第一次的销售额为元，第二次的销售额为元，总成本为4400元，
则，即解得
答：每千克西瓜的售价为6.5元
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键．

题型6 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
1．（2022·陕西咸阳·七年级开学考试）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，设甲队胜了x场，则列方程为（       ）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22
C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
【答案】D
【分析】根据题意可知，甲队的胜场积分平场积分总积分，然后即可列出相应的方程．
【详解】解：设甲队胜了场，则平了场，
由题意可得：，故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
2．（2022·湖南邵阳·七年级期末）在一次读报知识竞赛中，其有30道题，答对每题得4分，答错或不答每题扣2分，最后小明得分为90分，则小明答对了______道题．
【答案】25
【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（30-x）道题，根据“答对每题得4分，答错或不答每题扣2分，最后小明得分为90分，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设小明答对了x道题，则答错或不答（30-x）道题，根据题意得：
，
解得：，
答：小明答对了25道题．
故答案为：25
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2022·黑龙江省二九一农场中学七年级期末）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所胜场数是所负场数的2倍，结果共得14分，求国安队共胜了__________场．
【答案】6
【分析】设国安队所胜场数为x场，则负场数为x场，平场数为（11-x-x）场，由题意：胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，结果共得14分，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设国安队所胜场数为x场，则负场数为x场，平场数为（11-x-x）场，
依题意得：2x+x×0+（11-x-x）×1=14，解得：x=6，
答：国安队共胜了6场．故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，列出一元一次方程．
4．（2022·云南玉溪·七年级期末）为庆祝“建党100周年”，某学校组织“学党史”知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分，参赛者小红得88分，则她答对几道题？
【答案】18
【分析】设她答对x道题，则答错（20-x）道题，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设她答对x道题，则答错（20-x）道题．
根据题意得： 解得：    
答：她答对18道题
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2022·山东滨州·七年级期末）某年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、悦达（南京军区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分情况如下：
球队名称
比赛场次
胜场
负场
积分
悦达
12
11
1
23
香港
12
9
3


济源
12
8
4


圣奥
12
6
6
18
丰绅
12
5
7
17
广西
12
3
9
15
三沟
12
0
12
12
(1)观察上面表格，请直接写出篮球联赛胜一场积多少分，负一场积多少分；
(2)若设负场数为m，请用含m的式子表示某一个队的总积分；
(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的4倍吗？说明理由．
【答案】(1)胜一场2分，负一场1分(2)24－m(3)能，理由见解析
【分析】（1）由三勾队可求得负一场积分为1分，再由悦达队可求胜一场的积分为2分；
（2）根据总积分＝胜场的积分＋负场的积分即可求解；
（3）可设这个队胜了x场，根据题意列出相应的方程求解即可．
(1)解：由三勾队的积分为12分，负了12场，则负一场的积分为：12÷12＝1（分），
再由悦达队积分为23分，负了1场，胜了11场，则其胜场的总积分为：23−1−22（分），则胜一场的积分为：22÷11＝2（分）；
答：胜一场积2分，负一场积1分．
(2)解：若设负场数为m，则胜场数为（12−m），负场积分为m，胜场积分为2（12−m），因此总积分为：m＋2（12−m）＝24−m．
(3)解：设这个队胜了x场，则负了（12−x）场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分的4倍，则得方程为：2x＝4（12−x），解得：x＝8，
12−x＝4，
∴这个队的胜场总积分能等于负场总积分的4倍，此时，胜场数为8，负场数为4．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系．
6．（2022·湖北武汉市·七年级期末）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
球队
比赛场次
胜场
负场
积分






















···
···

（1）观察积分榜，请直接写出球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分；
（2）根据积分规则，请求出队已经进行了的场比赛中胜、负各多少场？
（3）若此次篮球比赛共轮（每个球队各有场比赛），队希望最终积分达到分，你认为有可能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）2,1；（2）E队胜2场，负9场；（3）不可能实现，理由见解析．
【分析】（1）设球队胜一场积x分，负一场积y分．观察积分榜由C球队和D球队即可列出方程组，求出x、y即可．（2）设E队胜a场，则负（11﹣a）场，根据等量关系：E队积分是13分列出方程求解即可；
（3）设后7场胜m场，根据等量关系：D队积分是32分列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设球队胜一场积x分，负一场积y分．
根据球队C和球队D的数据，可列方程组：，解得：．
故球队胜一场积2分，负一场积1分．
（2）设E队胜a场，则负（11-a）场，可得2a+(11-a)＝13，解得a＝2．故E队胜2场，负9场．
（3）∵D队前11场得17分，∴设后18-11=7场胜m场，
∴2m+(7-m)＝32-17，∴m＝8>7．∴不可能实现．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与负场的和．

题型7 配套问题
【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等得到一元一次方程。
1．（2022·宁夏·七年级期末）新冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则（50−x）人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则（50−x）人生产耳绳，由题意得
1000（50−x）＝2×800x．故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
2．（2022·四川·岳池县七年级阶段练习）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排________名工人生产螺钉．
【答案】10
【分析】设安排生产螺母的工人有x名，则安排生产螺钉的工人有（22−x）名，由1个螺钉需要配2个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可．
【详解】解：设安排生产螺母的工人有x名，则安排生产螺钉的工人有（22−x）名，
由题意得：2000x＝2×1200（22−x），解得：x＝12，则22−x＝10，
即安排生产螺钉的工人有10名．故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．
3．（2022·新疆塔城·七年级期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现在有30立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【答案】用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿
【分析】设用x立方米制作桌面，则立方米制作桌腿，根据桌腿数量是桌面数量的4倍，列方程为，求解即可．
【详解】20．解：设用x立方米制作桌面，则立方米制作桌腿，根据题意，得
，
解得：，
则，
答：用25立方米制作桌面，用5立方米制作桌腿．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，设恰当未知数，找等量关系是解题的关键．
4．（2022·四川广安·七年级期末）某车间有94个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个．已知每1个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？每天能生产成多少套？（列一元一次方程求解）
【答案】46人生产甲种零件，48人生产乙种零件，每天生产552套
【分析】设应分配x人生产甲种零件，（94﹣x）人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个，可列方程求解．
【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，（94﹣x）人生产乙种零件，
12x×2＝23（94﹣x）×1，
解得x＝46，
94﹣46＝48（人），
每天生产（套）．
故应分配46人生产甲种零件，48人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，每天能生产成552套．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．
5．（2022·西安市七年级期末）2020年为了应对武汉新冠肺炎疫情，需要快速建立医院，某车间连夜加班生产医用设备，现共有60个工人可以生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和每3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好都配套？
【答案】应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件
【分析】设应分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个，可列方程求解．
【详解】解：设分配人生产甲种零件，则共生产甲零件个和乙零件，
依题意得方程：，解得，（人．
答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．
6．（2022·河北）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
（1）现库内存有布料，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？
（2）如果恰好有这种布料，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）
【答案】（1）做上衣用布料，则做裤子用布料；72套；（2）最多可以生产80套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子．
【分析】（1）设做上衣用布料，从而可得做裤子用布料，再根据“长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套”建立关于的一元一次方程，解方程即可得；
（2）先求得生产一套需要布料m，可生产80套衣服，还余布料2 m，再进行分析求解即可得．
【详解】解：（1）设做上衣用布料，则做裤子用布料，
由题意得：，解得，则，可以生产套衣服；
答：做上衣用布料，做裤子用布料；可以生产72套衣服；
（2）由（1）知：做一件上衣需要布料(m)，做一条裤子需要布料(m)，
则生产一套需要布料(m)，(套)，还余布料2 m，
2 m布料可做上衣(件)，还余布料0.5 m，2 m布料可做裤子(条)，
答：最多可以生产80套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．

题型8 调配问题
【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量
1．（2022·杭州市公益中学七年级期末）A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹果15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如表：

A果园
B果园
到C地
每吨15元
每吨10元
到D地
每吨12元
每吨9吨
（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为　 　吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为　 　吨，从B果园将苹果运往D地的苹果为　 　吨．
（2）若从A果园运到C地的苹果为x吨，用含x的代数式表示从A果园到C、D两地的总运费是　 　元；用含x的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是　 　元．
（3）若从A果园运到C地的苹果为x吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D两地的总运费之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？
【答案】（1）（20-x），（15-x），（x+15）；（2）（3x+240），（285-x）；（3）10吨
【分析】（1）由A果园的苹果吨数结合从A果园运到C地的苹果吨数即可得出从A果园运到D地的苹果重量，再根据C、D两地需要的苹果重量即可得出从B果园运到C、D两地苹果的重量；
（2）根据运费=重量×每吨运费即可得出从A果园到C、D两地的总运费，再根据运费=重量×单吨运费即可得出从B果园到C、D两地的总运费；
（3）根据（2）的结论结合总运费即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A果园有苹果20吨，从A果园运到C地的苹果为x吨，
∴从A果园运到D地的苹果为（20-x）吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为（15-x）吨，
∴从B果园将苹果运往D地的苹果为35-（20-x）=（x+15）吨．
故答案为：（20-x），（15-x），（x+15）；
（2）从A果园到C、D两地的总运费是15x+12（20-x）=（3x+240）元；
从B果园到C、D两地的总运费是10（15-x）+9（x+15）=（285-x）元．
故答案为：（3x+240），（285-x）；
（3）根据题意得：3x+240+285-x=545，解得：x=10．
答：从A果园运到C地的苹果为10吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数，解题的关键是：（1）根据数量关系：A果园苹果总重量=A果园运往C地苹果重量+A果园运往D地苹果重量，B果园苹果总重量=B果园运往C地苹果重量+B果园运往D地苹果重量列出代数式；（2）根据运费=重量×每吨运费列出代数式；（3）结合（2）结论以及总运费列出关于x的一元一次方程．
2．（2022·山东师范大学第二附属中学）在我市某新区的建设中，现要把188吨物资从仓库运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为12吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车型
甲地（元辆）
乙地（元辆）
大货车
640
680
小货车
500
560
（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，运往甲、乙两地的总运费为w元，请用含a的代数式表示w；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资为100吨，请求出安排前往甲地的大货车多少辆，并求出总运费．
【答案】（1）大货车11辆，小货车7量；（2）10800；（3）5辆，10900元
【分析】(1) 首先设大货车用x辆，则小货车用(18-x)辆，利用所运物资为188吨得出等式方程求出即可；
(2)根据安排10辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为a辆，得出小货车的辆数，进而得出w与a的函数关系；(3)根据运往甲地的物资为100吨，列出方程即可得出a的取值，进而解答．
【详解】(1) 设大货车用x辆，则小货车用(18-x)辆，
12x+8（18-x）=188解得x=11，∴18-x=7，
答：大货车11辆，小货车7量；
(2)∵安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，
∴w=640a+680（11-a）+500（10-a）+560（a-3）=20a+10800；
(3)12a+8（10-a）=100，解得a=5，∴w=10900．
答：排前往甲地的大货车5辆，总运费为10900元．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，列代数式，代数式求值计算，正确理解题意，根据问题设出对应的未知数，依据等量关系列得方程解决问题是解题的关键．
3．（2022·陕西咸阳七年级月考）甲仓库有水泥吨，乙仓库有水泥吨，要全部运到、两工地，已知工地需要吨，工地需要吨，甲仓库运到、两工地的运费分别是元/吨、元/吨，乙仓库运到、两工地的运费分别是元/吨、元/吨，本次运动水泥总运费需要元．（运费：元/吨，表示运送每吨水泥所需的人民币）
（1）设甲仓库运到工地水泥为吨，请在下面表格中用表示出其它未知量．

甲仓库
乙仓库
A工地


B工地


（2）用含的代数式表示运送甲仓库吨水泥的运费为________元．（写出化简后的结果）
（3）求甲仓库运到工地水泥的吨数．
【答案】（1）； （2） （3）30吨
【分析】（1）根据题意填写表格即可；（2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可；
（3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可．
【详解】（1）设甲仓库运到A工地水泥的吨数为x吨，则运到B地水泥的吨数为（100﹣x）吨，乙仓库运
到A工地水泥的吨数为（70﹣x）吨，则运到B地水泥的吨数为（x+10）吨，补全表格如下：

（2）运送甲仓库100吨水泥的运费为:140x+150（100﹣x）=﹣10x+15000，故答案为：﹣10x+15000；
（3），整理得：．解得．
答：甲仓库运到工地水泥的吨数是吨．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到相等关系是解本题的关键．
4．（2022·山东七年级期中）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，给南昌6台，每台机器的运费（单位：元台）如下表．设杭州厂运往南昌的机器为台．
终点
起点
南昌
武汉
温州厂
400
800
杭州厂
300
500
（1）用含的代数式来表示总运费；（2）若总运费为8400元，求杭州厂运往南昌的机器应为多少台？
（3）试问有无可能使总运费是7800元？若有可能，请写出相应的调动方案；若无可能，请说明理由．
【答案】（1）元，；（2）杭州厂运往南昌的机器应为4台；（3）方案为从杭州向南昌调动1台，向武汉调动3台；从温州向南昌调动5台，向武汉调动5台．
【分析】（1）总运费四条路线运费之和（每一条运费台数运费）；
（2）利用（1）的表达式，令其等于8400，解方程即可；
（3）让（1）的表达式等于7800，解方程求解．如果解有意义就说明有可能，否则就没可能．
【详解】解：（1）设杭州运往南昌的机器为台，则杭州运往武汉的机器为台，温州运往南昌的机器为台，温州运往武汉的机器为台，
则总运费（元；
（2）当总运费为8400元时，得，解得：.
故杭州厂运往南昌的机器应为4台；
（3）可能，依题意有，解得，符合实际意义，
方案为从杭州向南昌调动1台，向武汉调动3台；从温州向南昌调动5台，向武汉调动5台．
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键明确：总费用四条路线的运费之和（每一条路线的运费台数运费）．
5．（2022·乐平七年级月考）现从两个蔬菜市场A，B向甲、乙两地运送蔬菜，已知A，B各有蔬菜14t，甲地需要蔬菜15t，乙方地需要蔬菜13t，从A到甲地运费50元/t，到乙地30/t；从B到甲地运费60元/t，到乙地45元/t．
（1）设A市场运送到甲地的蔬菜为t，请完成下表：

运往甲地（t）
运往乙地（t）
A


B


（2）若总运费为1280元，则A市场运送到甲地的蔬菜为多少吨？
【答案】（1）见解析；（2）1吨．
【分析】（1）根据A地到甲地运送蔬菜x吨，则B地到甲地（15-x）吨，再由A、B两地的蔬菜量，可得A、B运往乙地的数量．（2）根据题意，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）13-（14-x）=x-1，完成填表：

运往甲地（t）
运往乙地（t）
A

14-x
B
15-x
x-1
（2）50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）=1280，
整理得：5x+1275=1280，解得：x=1．
∴若总运费为1280元，则A地到甲地运送蔬菜1吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是正确求解第一问，注意方程思想的运用．
6．（2022·杭州七年级期中）甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往两工地，调运任务承包给某运输公司．已知工地需水泥100吨，工地需水泥80吨，从甲仓库运往两工地的路程和每吨每千米的运费如表：

路程（千米）
运费（元/吨·千米）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
地
25
20
1
0.8
地
20
15
1.2
1.2
（1）设甲仓库运往地水泥吨，则甲仓库运往地水泥_______吨，乙仓库运往地水泥_______吨，乙仓库运往地水泥________吨（用含的代数式表示）；
（2）用含的代数式表示总运费，并化简；
（3）若某种运输方案的总运费是3820元，请问具体的调运方案是怎样的？
【答案】（1），，；（2）总运费为元；（3）从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）及表格可直接进行列式求解；
（3）由（2）及题意可得，然后解方程即可．
【详解】解：（1）设甲仓库运往地水泥吨，由题意得：
甲仓库运往B地水泥为：吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；故答案为，，；
（2）由（1）及表格可得：总运费为：
==；∴总运费为元；
（3）由（2）及题意可得：，解得：，
∴从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为：吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；
答：具体调运方案为从甲仓库运往地水泥吨，甲仓库运往B地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨；乙仓库运往地水泥为吨．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．

题型9 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖邻相邻两数相差7，即可设日历中某数为（在日历中该数上下左右都有相应数字），横行相邻数为，；竖邻两数为，；
注：求出的数必须是整数且符合画框要求。
1．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（     ）

A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
【答案】A
【分析】根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案．
【详解】由题意得：-3+y+2=-3+3+x，即y-1=x，则y﹣x＝1．故选：A．
【点睛】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．
2．（2022·河北承德·七年级期末）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（       ）

A．106 B．98 C．84 D．78
【答案】C
【分析】设7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，进而可得出7个数之和为7x+63，然后再验证每一个选项即可．
【详解】解：设7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，由题意得，
当时，解得，故选项A不合题意；
当时，解得，故选项B不符合题意；
当时，解得，故选项C符合题意；
当时，解得，故选项D不合题意；故选：C
【点睛】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，用含最小数的代数式表示出7个数之和是解题的关键．
3．（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______．

【答案】6
【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．
【详解】解：根据题意可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k 解得k=6故答案为：6．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键．
4．（2022·山东青岛·七年级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意，可列方程为：______．
【答案】或
【分析】列代数式写出原数和新数，通过新数比原数大9列方程即可．
【详解】解：①∵十位上的数字比个位上的数字大1，∴，
②∵对调前个位上的数字为x，十位上的数字为y，∴原数为： ，
∵对调后个位上的数字为y，十位上的数字为x，∴新数为：，
∵新数比原数大9，∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查列方程，正确写出原数和新数的代数式是解题的关键．
5．（2022·山东临沂·七年级期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如1，7，8，9，15）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最小数为_________．

【答案】16
【析】设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，根据最大数与最小数的和为115列出x的一元一次方程，求出x的值，进而求得最小的数．
【详解】解：设第二行中间数为x，则其他四个数分别为x-7，x-1，x+1，x+7，
根据题意：则x-7+ x-1+x+x+1+x+7=115，解得x=23，
即圈出5个数分别为16，22，23，24，30，
所以最小数是16．故答案是：16．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设第二行中间数为x，用x表示出其他四个数，此题难度不大．
6．（2022·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：

(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1 (2)－x+2 (3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行数的规律，然后问题可求解；
（2）由题意易得另五个数分别为－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后问题可求解；（3）设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，进而问题可求解．
（1）解：第①行的有理数分别是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n个数为（－2）n（n是正整数），第9个数为（－2）9，
第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（－2）n+2（n是正整数），第9个数为(-2)9+2，
第③行的数等于第①行相应的数的相反数减去1，即第n个数是－（－2）n－1（n是正整数），第9个数为-(-2)9－1，
（2）解：∵左上角数记为x，
∴另五个数分别为：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）解：设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，
由题意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，∴这三个数分别为127，－257，511．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及数字规律问题，解题的关键是得到每行数字的规律．

题型10．和、差、倍、分（比例）问题
（1）和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几，“是”、“比”相当于“=”；
即：当较大量是/比较小量的几倍多几时：较大量=较小量×倍数+多余量；
当较大量是/比较小量的几倍少几时：较大量=较小量×倍数-所少量。
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
1．（2022·山东东营·中考真题）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是（       ）
A．36 B．60 C．100 D．180
【答案】C
【分析】设这批树苗一共有x棵，据七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，列出方程求解即可．
【详解】解：设这批树苗一共有x棵，
由题意得：，解得，
∴七年级2班植树的棵数是棵，故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
2．（2022·福建·泉州市城东中学七年级期中）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1916元，求其他两个年级的捐款数若设七年级捐款数为x元，则可列方程为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据七年级的捐款为x元，可以求得三个年级的总的捐款数，然后即可得到八年级的捐款数，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
七年级捐款数为元，则三个年级的总的捐款数为：，
故八年级的捐款为：，则，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
3．（2022·南昌市心远中学七年级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原有酒多少升．
【答案】壶中原有升酒．
【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】设壶中原有x升酒，根据题意得，解得．
答：壶中原有升酒．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.
4．（2022·云南红河·七年级期末）我国古代数学家著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长多少尺？
【答案】绳索长为20尺
【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可．
【详解】解:设绳索长尺，则竿长为尺．
根据题意可得，解得
答：绳索长为20尺．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题关键．
5．（2022·福建泉州·七年级阶段练习） 为了进一步落实“双减”政策，学校积极开展社团活动，原国际象棋社团有学生64人，羽毛球社团有学生56人．在家乡著名羽毛球运动员黄东萍获得奥运冠军后学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半．问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
【答案】有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团
【分析】设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据“现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半”列出一元一次方程，解方程求解即可．
【详解】解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据题意得：
2(64-x)=56+x， 解得x=24；
答：有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确利用数量关系列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2022·重庆七年级课时练习）某中学的社团活动深受学生和家长的欢迎，社团种类多达十几种，极大地丰富了学生的业余文化生活．其中初一书法社团中女生占全社团人数的，又有10名女生申请加入，那么女生就占全社团人数的，求现在初一书法社团的人数．
【答案】100人
【分析】设原有女生x人, 原来初一书法社团人数为3x人，利用10名女生申请加入后，女生就占全社团人数的的等量关系列出方程运算即可．
【详解】解：设原有女生x人，则原来初一书法社团人数为3x人，
根据题意得：，解得，则．
答：现在初一书法社团的人数有100人．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，仔细审题从中获取相关等量关系列出方程是解题的关键．

题型11 几何问题（等积问题）
解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
1．（2022·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（       ）

甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对
【答案】A
【分析】根据小长方形的长作为相等关系，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设，根据小长方形的长作为相等关系，得出，
根据大长方形的宽做相等关系可得，
∴甲对乙不完全对，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）若将一个底面半径为6cm，高为40cm的“瘦长”圆柱体钢材锻压成底面半径为12cm的“矮胖”圆柱体零件毛坯，则毛坯的高是________cm．
【答案】10
【分析】设毛坯的高为，根据圆柱形钢材的体积相等得出方程解答即可．
【详解】解：设毛坯的高为，根据题意，得
．解得．故答案为：．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据圆柱形钢材的体积相等得出方程解答．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图，一个长方形征好分成A、B、C、D、E、F这6个正方形，其中最小的正方形A边长为1，则这个长方形的面积是_____________．

【答案】143
【分析】设正方形E的边长为x，则原长方形的长为(3x+1)，宽为(2x+3)，然后根据长方形的对边相等列方程求解即可．
【详解】解：设正方形E的边长为x，则D正方形的边长是x+1,C正方形的边长是x+2,B正方形的边长是2x-1,∴原长方形的长为(3x+1)，宽为(2x+3)，
根据题意，得2x-1+x=x+2+x+1，解得：x=4．
当x=4时，3x+1=13，2x+3=11，
∴长方形的面积=13×11=143．故答案为：143．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题意，找到各正方形的边长之间的关系．
4．（2022·成都市·七年级课时练习）用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm，则围成长方形的面积为______．
【答案】375
【分析】设长方形的长为xcm，则宽为（x-10）cm，然后运用长方形的周长求得x，进而求得长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：设长方形的长为x，则宽为x-10
由题意得：2（x+x-10）=80，解得x=25
则长方形的宽为25-10=15
所以围成长方形的面积为15×25=375．
故答案为：375．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程、求得长方形的长和宽是解答本题的关键．
5．（2022·河南驻马店·七年级期末）一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时水箱中水面高12cm，放入一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则此时铁块在水箱中露出水面部分的体积为 _____cm3．
【答案】2000
【分析】设铁块沉入水底后水面高hcm，根据铁块放入水中前后的体积不变列出方程求解．
【详解】设铁块沉入水底后水面高为hcm，由题意得：
50×40×12+20×20×h＝50×40×h，
解得h＝15．
则水箱中露在水面外的铁块的高度为：20﹣15＝5（cm）．
∴水箱中露在水面外的铁块的体积为：20×20×5＝2000（cm3）．
故答案为：2000．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
6．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？

【答案】每一个长条的面积为．
【分析】设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是；再根据第一次剪下的长条的面积第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．
【详解】解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，
由题意得：，解得：，则．
答：每一个长条的面积为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程．

题型12 一元一次方程之动点问题
1．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．

【答案】DC
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在DC边的中点处；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在CB边的中点处；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在BA边的中点处；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
∴，
∴第2022次相遇在边DC上，故答案为：DC．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
2．（2022·河南南阳·七年级期中）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是和． 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为秒，当时，若原点O恰好是线段PQ的中点，则的值是_______．

【答案】1或7
【分析】分两种情况讨论：当0 【详解】当0 ∵原点O恰好是线段PQ的中点，
∴点P、Q表示的数互为相反数，∴-5+t+6-2t=0，∴t=1；
当5.5 ∴-5+t+2t-16=0，∴t=7．故答案为：1或7．
【点睛】本题主要考查了数轴与动点，一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的动点表示的数与起始点表示的数和动点移动距离的关系，中点为原点的线段两端点表示的数的关系，互为相反数的两个数的和的特征，解一元一次方程的一般方法．
3．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了8秒后，点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t秒，当△APQ的面积为4cm2时，t的值为________

【答案】或
【分析】分两种情况，①点P在AB上时，点Q在D处；②点P在BC上时；由三角形面积分别求出t的值即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD=90°，AD=BC=6cm，
分两种情况：①点P在AB上时，点Q在D处，如图1所示：

∵△APQ的面积为4cm2，∴，即，解得：t=；
②点P在BC上时，如图2所示：

∵△APQ的面积为4cm2，∴即，解得：AQ=1cm，
∴DQ=AD-AQ=6-1=5cm，∴，解得：t=；
综上所述，当△APQ的面积为4cm2时，t的值为或；故答案为：或．
【点睛】本题考查了用一元一次方程解决问题；根据题意正确的列出方程是解题的关键．
4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知多项式的次数为a，常数项为b，a，b分别对应着数轴上的A、B两点．

(1)______，______；并在数轴上画出A、B两点；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达终点C停止．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4．
【答案】(1)4，16，图见解析
(2)或秒
(3)或或或秒
【分析】（1）根据多项式2x3y﹣xy+16的次数为a，常数项为b，直接可得a＝4，b＝16，再在数轴上表示4和16即可；
（2）设运动t秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，可得3t＝2×|4+3t﹣16|，即可解得t＝ 或t＝8；
（3）设运动x秒，P，Q两点之间的距离为4，分四种情况：①点P追上Q之前，②点P追上Q，P还未到达C时，③P到达C后返回，还未与Q相遇时，④P到达C后返回，与Q相遇后时，分别列出方程，解可解得答案．
（1）
∵多项式2x3y﹣xy+16的次数为a，常数项为b，
∴a＝4，b＝16，
在数轴上画出A、B两点如下：

（2）
设运动t秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，根据题意得：
3t＝2×|4+3t﹣16|，
解得t＝ 或t＝8，
答：运动 秒或8秒，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
（3）
设运动x秒，P，Q两点之间的距离为4，
①点P追上Q之前，16+x﹣（4+3x）＝4，解得x＝4，
②点P追上Q，P还未到达C时，4+3x﹣（16+x）＝4，解得x＝8，
③P到达C后返回，还未与Q相遇时，，解得x＝9，
④P到达C后返回，与Q相遇后时，，解得x＝11，
综上所述，点P和点Q运动4秒或8秒或9秒或11秒时，P，Q两点之间的距离为4．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是分类讨论，分别找等量列方程．
5．（2022·四川·安岳县七年级期中）如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间；

(1)当t 为何值时，线段AQ的长度等于线段AP的长度？
(2)当t 为何值时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的？
(3)如图2，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动．当t 为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半？
【答案】(1)当t=2时，线段AQ的长度等于线段AP的长度
(2)当t=3时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的
(3)当时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半
【分析】（1）由长方形的特征可知AD=BC=6cm，由题意易得DQ=tcm，AP=2tcm，则有AQ=（6-t）cm，进而问题可求解；
（2）由（1）可知6-t+2t=9，然后问题可求解；
（3）由题意易得AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，进而问题可求解．
（1）
解：∵AB=12cm，BC=6cm，
∴在长方形ABCD中，AD=BC=6cm，
由题意得：DQ=tcm，AP=2tcm，则有AQ=（6-t）cm，
∴，
解得：，
∴当t=2时，线段AQ的长度等于线段AP的长度；
（2）
解：由（1）可得：
，
解得：，
∴当t=3时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的；
（3）
解：由题意得：AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，
∴，
解得：；
∴当时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
6．（2022·河南三门峡·七年级期末）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上水平移动，如图（1）．他发现当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数6（单位：单位长度）．
 图（1）
(1)由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．
(2)如果火车AB正前方10个单位处有一个“隧道”MN，火车AB从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车AB的速度为0.5个单位/秒，则可知“隧道”MN的长为 个单位．（自己在草纸上画图分析，用含t的代数式表示即可）
(3)他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：在（1）条件下的数轴上放置与AB大小相同的玩具火车CD，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知CD火车速度为2个单位/秒，AB火车速度为1个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？


【答案】(1)12，6(2)(3)10秒或14秒
【分析】（1）由数轴观察知三个玩具火车长是，则一个玩具火车长为6个单位长度，再求出点处的数字即可；
（2）设“隧道”的长为，根据点的位置也通过“隧道”列出关于的方程，据此求解即可得；
（3）设秒后两火车的处与处相距2个单位，则点移动后对应的点为，点所对应的点为，分在的左侧和在的右侧两种情况，分别利用数轴的性质建立方程，解方程即可得．
（1）解：由题意可知，三个玩具火车长是，∴一个玩具火车长为6个单位长度，∴点处的数字是，故答案为：12，6．
（2）解：设“隧道”的长为，当点的位置也通过“隧道”时，则，整理得：，故答案为：．


（3）解：设秒后两火车的处与处相距2个单位，则点移动后对应的点为，点所对应的点为，当在的右侧时，由题意得：，解得，当在的左侧时，由题意得：，解得，故10秒或14秒后两火车的处与处相距2个单位．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意找到题目中的等量关系．