初中数学人教版七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数一课一练

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《第一章 有理数》培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·河北·原竞秀学校七年级期中）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则-50元表示（   ）
A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元
【答案】A
【分析】根据正负数的相反意义即可得出答案．
【详解】解：收入100元记作+100元，则−50元表示支出50元，
故选：A．
【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解正负数的意义是解题的关键．
2．（2021·湖北省麻城市华英学校七年级阶段练习）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年9月13日，太原市累计接种新冠疫苗828.5万剂次．将828.5万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用科学记数法表示较大数字时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位少1，据此判断即可求解．
【详解】整数828.5万共计7位，采用表达，则有，，
即：828.5万用科学记数法表示为，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，准确确定a、n的值是解答本题的关键．
3．（2022·山东滨州·七年级期末）下列各组数中，互为倒数的是（    ）
A．－3与3 B．－3与 C．－3与－ D．－3与|－3|
【答案】C
【分析】根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【详解】A. -3与3互为相反数，不是互为倒数关系，故A错误；
B. -3与-互为倒数，故B错误；
C. -3与互为倒数，故C正确；
D. ，与-3互为相反数，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握乘积为1的两数互为倒数，是解题的关键．
4．（2021·江西·宜春九中七年级阶段练习）下列计算结果错误的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数运算法则逐项判定即可．
【详解】解：A.     ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；    
C. ，正确，不符合题意；    
D. ，错误，符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了有理数的相关运算，熟练运用相关运算法则是解答本题的关键．
5．（2022·河南·郑州市第五十七中学七年级期末）按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为－4，则最后输出的结果可能是（    ）

A．－8 B．－23 C．－68 D．－32
【答案】D
【分析】根据程序可知，输入x计算，若所得的值大于或等于﹣20，则将所得的值代入计算，直到所得的值小于﹣20即可输出．
【详解】解：当x=﹣4时，＝﹣11，
∵﹣11＞﹣20，
∴当x=﹣11时，＝﹣32，
∴当x=﹣11时，＝﹣32＜﹣20，则最后输出的结果为﹣32，
故选：D．
【点睛】此题考查了程序计算，有理数混合运算，正确理解程序图计算是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级专题练习）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ）

A．a＋b＜0 B．a＋b＞0 C．|a|＞|b| D．ab＞0
【答案】A
【分析】根据点在数轴上的位置得到a＞0，b＜0，|a|＜|b|，由此判断即可．
【详解】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，ab＜0，
所以B，C，D不正确，A正确；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用数轴确定式子的符号，正确理解点在数轴上的位置得到a＞0，b＜0，|a|＜|b|是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·辽宁大连·七年级期末）有理数5的相反数为__________．
【答案】-5
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：5的相反数是﹣5．
故答案为：﹣5．
【点睛】本题主要考查了相反数．正确掌握相反数的定义是解题的关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
8．（2022·福建泉州·七年级期末）比较大小：_______-3．（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【分析】比较的方法是：两个负数，绝对值大的，其值反而小．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是牢记：两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
9．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知与互为相反数，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是解题的关键．
10．（2021·辽宁抚顺·七年级阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的________（填序号）．
【答案】①③⑥
【分析】根据相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算化简各数即可求解．
【详解】解：①是正数；
②，是负数；
③，是正数；
④，是负数；
⑤，是负数；
⑥，是正数，
故答案为：①③⑥．
【点睛】本题考查了相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算，正确的化简各数是解题的关键．
11．（2021·吉林·长春市第一O三中学校七年级阶段练习）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)放入其中时，会得到一个新的数：．将数对(﹣3，2)放入其中得到数m＝_____．
【答案】12
【分析】根据题中的新定义列出算式，计算即可求出值．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
故答案为：12．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过__秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．

【答案】14或
【分析】已知运动时间为t秒，根据题意建立含有t的一元一次方程，解出t的值即可．
【详解】解：已知运动时间为t秒，根据题意M、N两点间的距离为8个单位长度，分析N点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得：
当N向左运动，则有，解得t=，
当N向右运动，则有，解得t=14．
故答案为14或．
【点睛】本题主要考查线段的动点和数轴问题，根据题意分情况列出含有t的一元一次方程是解决本题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)-5
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）先计算有理数的乘方和括号内的减法计算，再去绝对值，最后根据有理数四则混合运算法则计算即可．
（1）
解：


（2）





【点睛】本题主要考查有理数的混合运算．掌握运算法则是解题关键．
14．（2021·新疆生产建设兵团第一中学七年级期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接．
，，，0，，
【答案】数轴见解析，
【分析】先计算绝对值、有理数的乘方、去多重符号，再在数轴上表示出来，最后比较大小即可．
【详解】解：，，，
因此，，，0，，在数轴上表示为：

观察数轴可得：．
【点睛】本题考查用数轴表示有理数，去绝对值，有理数的乘方，去多重符号等知识点，能够利用数轴判断有理数的大小是解题的关键．
15．（2021·河北·唐山市古冶区龚庄中学七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号里
+5， 0.23，，，0，
正数集合：{                      … }；
整数集合：{                      … }；
负分数集合：{                      … }；
【答案】①+5， 0.23，；②+5，，0，；③．
【分析】根据正数的意义填上即可；根据整数包括正整数、0、负整数选出即可；先找出负数，再找出负分数（注意包括小数）即可．
【详解】解：正数集合：{+5， 0.23，，…}；
整数集合：{+5，，0，…}
负分数集合：{，…}；
故答案为：①+5， 0.23，；②+5，，0，；③．
【点睛】本题考查了正数、负数、整数、有理数等知识点，主要考查学生的辨别能力，注意：整数包括正整数、0、负整数．
16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十七中学校阶段练习）用简便方法计算
(1)(-)÷9
(2)
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）将写出的形式，然后进行计算；
（2）利用乘法分配律进行计算．
（1）
解：原式


；
（2）
解：原式

．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
17．（2021·湖南·李达中学七年级期中） 某检修小组乘一辆汽车 沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下(单位： km)， +10， -3， +2， -1，+12， -5， +6，-3， +7， +3
(1)收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远?
(2)若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有160 升汽油，问收工前是否需要中途加油?若加，应加多少升?若不加，还剩多少升汽油?
【答案】(1)检修小组在A地的东边，距A地28km；
(2)收工前不需要中途加油，还剩4升汽油．
【分析】（1）根据有理数的加法进行计算，结合正负数的意义可得答案；
（2）用单位耗油量乘以总的行驶路程，可得答案．
（1）
解：10−3＋2−1＋12−5＋6−3＋7＋3＝28（km），
答：收工时，检修小组在A地的东边，距A地28km；
（2）
解：10＋3＋2＋1＋12＋5＋6＋3＋7＋3＝52（km），
52×3＝156（升），
160－156＝4（升），
答：收工前不需要中途加油，还剩4升汽油．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数加减的实际应用，解决本题的关键是理解正负数的意义，掌握有理数加减的运算法则．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·江苏·七年级专题练习）请根据图示的对话解答下列问题．

(1)a＝　　，b＝　　．
(2)已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的绝对值．
【答案】(1)﹣2；﹣3；
(2)mn的绝对值为6．
【分析】根据相反数和倒数的概念求解即可．
根据绝对值的非负性求出m、n的值，再带入mn中计算即可．
(1)
2的相反数为﹣2，故a＝﹣2；
的倒数是﹣3，故b＝﹣3；
故答案为：﹣2；﹣3；
(2)
由题意，得，而 ，  ，
所以 ，
所以m＝﹣2，n＝3，
所以m n＝﹣2×3＝﹣6．
因为|﹣6|＝6，
所以m n的绝对值为6．
【点睛】此题考查了相反数、倒数、绝对值的概念以及绝对值的非负性．几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，掌握这一性质是集体的关键．
19．（2021·陕西·岚皋县城关九年制学校七年级期中）认真阅读材料后，解决问题：
计算：．
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数是
＝
＝
＝20﹣3+5﹣12＝10，
故原式＝．
仿照阅读材料计算：．
【答案】
【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可．
【详解】解：原式的倒数是



，
故原式．
【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解题意是解题的关键．
20．（2022·全国·七年级课时练习）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得(a－2)×2＋b，即a※b＝(a－2)×2＋b，例如：3※5＝(3－2)×2＋5＝2＋5＝7．
    根据上面规定解答下题：
（1）求6※(－4)的值；
（2）6※(－4)与(－4)※6的值相等吗？请说明理由．
【答案】（1）4；（2）不相等，理由见解析
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）分别求出各自的值，比较即可．
【详解】解：（1）6※(－4)
           ＝(6－2)×2+(－4)＝8－4＝4．
   （2）不相等．
        理由：∵6※(－4)＝4，
       (－4)※6＝(－4-2)×2+6＝－6，
      ∴6※(－4)与(－4)※6的值不相等．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义，注意运算顺序．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·浙江温州·七年级期中）番薯枣是永嘉的特产，每年秋冬季是其盛产期．小徐同学打算从永嘉寄10箱番薯枣到杭州，以每箱2.5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
与标准质量的差值（单位：千克）

0.15

0.2
箱数
2
2
1
5
小徐同学选择了圆通快递，收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计．
(1)求这10箱番薯枣的总重量．
(2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：分10箱，每箱一个包裹．方案二：10箱打包进一个大箱子，大箱子重2千克，10元一个．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少钱？
【答案】(1)10箱番薯枣的总重量是25.9千克
(2)方案二更省钱，省了48元
【分析】（1）求出记录数字之和，确定出总重即可．
（2）根据两种寄件方式及快递收费标准分别求出两种方案的费用，再比较即可．
（1）
（千克）
答：10箱番薯枣的总重量是25.9千克．
（2）
方案一：（元），
方案二：（元），
方案二比方案一节省了：（元），
答：方案二更省钱，省了48元．
【点睛】本题考查了正负数的定义及有理数的加减运算，正确理解题意并灵活运用相关知识解决问题是关键．
22．（2022·广西南宁·七年级期末）材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．问题：
(1)计算以下各对数的值：______，______，______；
(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为______；、、之间又满足怎样的关系式：______；
(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？______（且，，）．
【答案】(1)2、4、6
(2)，
(3)
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（1）
∵，，，
∴，，，
故答案为：2、4、6；
（2）
4×16=64，
由题意可得：，，，
∴，
故答案为：4×16=64，；
（3）
由（2）易知，
故答案为：．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
六、（本大题共12分）
23．（2021·山东烟台·期中）已知A，B在数轴上分别表示数a，b．
(1)对照数轴填写下表；
a
6





b
4
0
5

2

A，B两点间的距离
2
6



0
(2)若A，B两点间的距离记为d，试问d与a，b有何数量关系？
(3)在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到4和的距离之和为9，并求出所有这些整数的和．
(4)数轴上表示x和的两点之间的距离可以表示为______．
(5)若数轴上点C表示的数为x，当点C在什么位置时，
①的值最小？最小值是______．
②的值最小？最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)是，，，，，0，1，2，3，4，共10个点，和为
(4)
(5)①点C在−2时，0；②点C在−2与4之间（包括−2和4）时，6
【分析】（1）根据表中的数据及数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）明确两点间的距离，即为两数差的绝对值（d=|a-b|）；
（3）先求出4和−5之间的距离，即可得出点P为4和−5之间的整数点（包括临界点），然后求解即可；
（4）直接利用（2）中结论即可求解；
（5）①依据（2）中结论可得出表示数轴上的点到-2点的距离，即可得出结果；
②与（3）中结论类似得出表示数轴上的点到-2点的距离与到4点的距离之和，据此即可得出结果．
（1）
解：填表如下：
a
6





b
4
0
5

2

A，B两点间的距离
2
6
11
2
13
0
（2）

（3）
整数点P，使它到4和−5的距离之和为9，
4和−5的距离为，点P为4和−5之间的整数点（包括临界点），
即，，，，，0，1，2，3，4，共10个点，
和为：+()+()+()+()+0+1+2+3+4=
（4）
数轴上表示x和−12的两点之间的距离可以表示为，
故答案为：；
（5）
①表示数轴上的点到-2点的距离，
当x=-2时，值最小，为0，
故答案为：0；
②表示数轴上的点到-2点的距离与到4点的距离之和，
数轴上-2点与4点的距离为6，
当点C在与4之间（包括和4）时，的值最小，最小为6，
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，理解题意，得出相应结论并运用是解题关键．