2024-2025学年福建省福州市仓山区时代华威中学九年级（上）开学数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年福建省福州市仓山区时代华威中学九年级（上）开学数学试卷（含详解），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面的点中，在函数y=2x+3的图象上的是( )
A. (−2,1)B. (0,2)C. (1,3)D. (−1,1)
2.如图，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. ∠A=∠C，∠B=∠D
B. AB=CD，AD//BC
C. AB=CD，AD=BC
D. ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
3.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，24
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为( )
A. 5 3 B. 8
C. 6 D. 5
5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转66°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是( )
A. 53°
B. 55°
C. 57°
D. 58°
6.如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC=84°，则∠BOC为( )
A. 56°
B. 60°
C. 62°
D. 28°
7.抛物线y=−(x+2)2−3的顶点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”.则关于x的方程为( )
A. x+x(x+1)=256B. x2+x=256
C. 1+x+x(x+1)=256D. (x+1)+(x+1)2=256
9.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数y=ax2+2ax+1在−3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是( )
A. 1B. 83C. 83或−8D. 1或−8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.将抛物线y=x2+1先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为______．
12.已知一元二次方程x2−5x+m=0的一个根为x1=1，则另一个根x2的值为______．
13.若点A(1−3m,2)与点B(5,2n+4)关于原点对称，则m−n= ______．
14.设二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)，如表，列出了x与y的部分对应值：
则方程ax2+bx+c=m的解是______．
15.如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深CD=4cm，锯道AB=16cm，则这根圆柱形木材的半径是______cm．
16.如图，抛物线y=12x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且CD=3.当AD+BC的值最小时，点C的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解一元二次方程：
(1)x2+4x−2=0；
(2)(x−3)2=6−2x．
18.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+b的图象经过点(−1,1)和点(1,−5)．
(1)求一次函数的表达式．
(2)求一次函数的图象与x轴的交点坐标．
19.(本小题8分)
如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC.求证：AC=BD．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,1)，C(3,3)．
(1)画出将△ABC向下平移5个单位后得到的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1；
(2)画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，点A，B，C对应点分别为点A2，B2，C2.并直接写出C2坐标．
21.(本小题8分)
在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF=3，BF=4，AF平分∠DAB，求DF的长．
22.(本小题8分)
已知：关于x的方程x2−2(m+1)x+m2+2=0．
(1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若两实数根x1、x2满足x1+x2=x1x2，求m的值．
23.(本小题8分)
经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40)，销售量为y(件)，销售该品牌玩具获得利润为w元．
(1)销售量为y与x关系式为______；
(2)若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元；
(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
24.(本小题8分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2，AB=4，直接写出△PMN面积的最大值．
25.(本小题8分)
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4的对称轴是直线x=1，抛物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是(−2,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接CD、CP、PB.求四边形PCDB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2所示，在(2)的条件下，点M是直线BC上一点，当△POM是以OP为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
答案解析
1.D
【解析】解：A、当x=−2时，y=2×(−2)+3=−1，则(−2,1)不在函数y=2x+3的图象上，不符合题意；
B、当x=0时，y=2×0+3=3，则(0,2)不在函数y=2x+3的图象上，不符合题意；
C、当x=1时，y=2×1+3=5，则(1,3)不在函数y=2x+3的图象上，不符合题意；
D、当x=−1时，y=2×(−1)+3=1，则(−1,1)在函数y=2x+3的图象上，符合题意，
故选：D．
分别将各选项的点坐标代入，然后判断作答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
2.B
【解析】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，该选项不符合题意；
B、由平行四边形的判定定理，AB=CD，AD//BC，无法确定四边形ABCD是平行四边形，选项符合题意；
C、由平行四边形的判定定理，AB=CD，AD=BC，确定四边形ABCD是平行四边形，选项不符合题意；
D、∵∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，该选项不符合题意；
故选：B．
由题中四个选项，结合平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案．
本题考查平行四边形的判定定理，平行线的判定等知识，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
3.C
【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是23，共出现3次，因此众数是23，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，因此中位数是24，
即：众数是23，中位数是24，
故选：C．
根据众数、中位数的定义进行解答即可．
本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提．
4.D
【解析】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CD=12AB=12×10=5．
故选：D．
连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5.C
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转66°，得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=66°，
∴∠B=∠ABD=12(180°−∠BAD)=12(180°−66°)=57°．
故选：C．
根据旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=66°，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求解即可．
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
6.A
【解析】解：由圆周角定理可知：∠BAC=12∠BOC，
∵∠BAC+∠BOC=84°，
∴12∠BOC+∠BOC=32∠BOC=84°，
解得∠BOC=56°，
故选：A．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是关键．
7.C
【解析】C解：抛物线y=−(x+2)2−3的顶点是(−2,−3)，
故顶点在第三象限，
故选：C．
先确定抛物线的顶点，再确定点的位置．
本题考查了二次函数的性质，正确确定抛物线的顶点是解此题的关键．
8.C
【解析】解：∵每轮传染平均一个人传染x人，
∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x(1+x)人被感染．
根据题意得：1+x+x(1+x)=256．
故选：C．
由“每轮传染平均一个人传染x人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染后共有256人感染”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.D
【解析】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a>0，b<0，
∴−b2a>0，
∴二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在y轴右侧，
故选：D．
直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a，b的符号是解题关键．
10.D
【解析】解：∵二次函数解析式y=ax2+2ax+1，
∴二次函数对称轴为x=−1．
①当a<0时，二次函数开口向下，x=−1时，函数有最大值9．
∴a−2a+1=9，解得a=−8．
②当a>0时，二次函数开口向上，在−3≤x≤2上有最大值9，
∴当x=2时，函数最大值为9，即4a+4a+1=9，解得a=1．
综上分析，a的值为−8或1．
故选：D．
根据y=ax2+2ax+1可得出对称轴x=−1，利用最值，分a>0，a<0两种情况讨论计算．
本题考查二次函数最值问题，确定对称轴，分类讨论最值情况是作出本题的关键技巧．
11.y=(x−6)2−7
【解析】解：将抛物线y=x2+1先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为：y=(x−6)2−7；
故答案为：y=(x−6)2−7．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12.4
【解析】解：把x1=1代入一元二次方程x2−5x+m=0得：
1−5+m=0，
解得：m=4，
∴原方程为：x2−5x+4=0，
(x−4)(x−1)=0，
x−4=0或x−1=0，
x1=4，x2=1，
∴另一个根x2的值为4，
故答案为：4．
把x1=1代入一元二次方程x2−5x+m=0得关于m的方程，解方程求出m，从而得到原方程，利用十字相乘法解方程，求出方程的解即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
13.5
【解析】解：∵点A(1−3m,2)与点B(5,2n+4)关于原点对称，
∴1−3m+5=0，2n+4+2=0，
解得m=2，n=−3，
∴m−n=2+3=5．
故答案为：5．
根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求解即可．
本题考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的纵坐标互为相反数、横坐标互为相反数是正确解答的关键．
14.x1=0，x2=2
【解析】解：由表中对应值得二次函数图象经过点(−2,−1.5)和(4,−1.5)，
∴点(−2,−1.5)与点(4,−1.5)为二次函数图象上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点(0,2.5)与(2,2.5)关于直线x=1对称，
即x=2时，y=2.5，
∴m=2.5，
∴方程ax2+bx+c=m的解为x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
利用中对应值可判断点(−2,−1.5)与点(4,−1.5)为二次函数图象上的对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后利用抛物线的对称性得到m=2.5，所以方程ax2+bx+c=m的解为x1=0，x2=2．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15.10
【解析】解：连接OA、OD，如图：
由题意得：D为AB的中点，
则O、D、C三点共线，OD⊥AB，
∴AD=BD=12AB=8cm，
设圆的半径为x cm，则OD=(x−4)cm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：82+(x−4)2=x2，
解得：x=10．
∴这根圆柱形木材的半径为10cm．
故答案为：10．
连接OA、OD，由垂径定理得AD=BD=8cm，设圆的半径为x cm，再在Rt△OAD中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径．
本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16.(4,1)
【解析】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC=A″B，
在y=12x2−4x+6中，令x=0，则y=6，
∴点A(0,6)，
令y=0，则12x2−4x+6=0，
解得x=2或x=6，
∴点B(2,0)，
∵抛物线的对称轴为直线x=−−42×12=4，
∴A′(8,6)，
∴A″(8,3)，
设直线A″B的解析式为y=kx+b，
代入A″、B的坐标得8k+b=32k+b=0，
解得k=12b=−1，
∴直线A″B的解析式为y=12x−1，
当x=4时，y=1，
∴C(4,1)．
故答案为：(4,1)．
作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时，AD+BC的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得A′的坐标，进一步求得A″的坐标，利用待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得点C的坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
17.解：(1)x2+4x−2=0，
x2+4x=2，
x2+4x+4=2+4，
(x+2)2=6，
x+2=± 6，
x+2= 6或x+2=− 6，
x1= 6−2，x1=− 6−2；
(2)(x−3)2=6−2x，
(x−3)2=2(3−x)，
(x−3)2−2(3−x)=0，
(x−3)2+2(x−3)=0，
(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
x1=3，x2=1．
【解析】(1)利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.解：(1)把(−1,1)和(1,−5)代入y=kx+b得，
−k+b=1k+b=−5，
解得k=−3b=−2，
∴一次函数的表达式为y=−3x−2；
(2)当y=0时，由−3x−2=0，
解得x=−23，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为(−23,0)．
【解析】(1)把(−1,1)和(1,−5)代入y=kx+b求出k，b的值即可得出函数解析式；
(2)令y=0，求出x的值即可．
本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟知利用待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键．
19.证明：∵AB=DC，
∴AB=CD，
∴ABC=BCD，
∴AC=BD．
【解析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出AB=CD，求出ABC=BCD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
20.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，C2坐标为(−3,3)．
【解析】(1)根据平移的性质即可得到结论；
(2)根据旋转的性质即可得到结论．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
21.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∵DE⊥AB于点E，点F在CD上，
∴DF//BE，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠BED=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
(2)解：∵∠BFD=90°，CF=3，BF=4，
∴∠BFC=90°，
∴BC= CF2+BF2= 32+42=5，
∴AD=BC=5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵∠DFA=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=5，
∴DF的长为5．
【解析】(1)由平行四边形的性质得CD//AB，所以DF//BE，而DF=BE，则四边形BFDE是平行四边形，因为∠BED=90°，所以四边形BFDE是矩形；
(2)由CF=3，BF=4，∠BFC=90°，根据勾股定理求得BC=5，则AD=BC=5，再证明∠DAF=∠DFA，则DF=AD=5．
此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，证明DF//BE且DF=BE是解题的关键．
22.解：(1)∵△=[−2(m+1)]2−4×1×(m2+2)
=4m2+8m+4−4m2−8
=8m−4>0，
∴m>12；
(2)∵x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+2，
∴由x1+x2=x1x2得2(m+1)=m2+2，
解得：m1=0，m2=2，
∵m>12，
∴m=2．
【解析】(1)由△>0得8m−4>0，解之可得；
(2)由x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+2，结合x1+x2=x1x2得2(m+1)=m2+2，解之可得m的值，依据(1)中的结果取舍即可得．
本题主要考查根的判别式、根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．
23.y=1000−10x
【解析】解：(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
可知销售单价为x元时，就会少售出10(x−40)件玩具，
则销量为y=600−10(x−40)=1000−10x，
故答案为：y=1000−10x；
(2)依题意得：(x−30)(1000−10x)=10000，
化简得：x2−130x+4000=0，
∴(x−50)(x−80)=0，
∴x1=50，x2=80，
∵x>40，
∴销售价应定为50元或80元；
(3)∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，
∴1000−10x≥540x≥44，
∴解得：44≤x≤46，
而w=(x−30)(1000−10x)=−10x2+1300x−30000，
∵a=−10<0，
∴开口向下，有最大值，
∴x=−13002×(−10)=65，
∴当44≤x≤46时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w最大，
∴wmax=(46−30)(1000−460)=8640元，
答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
(1)根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出10(x−40)件玩具，进而表示出销量即可；
(2)结合(1)以及获得了10000元销售利润可得方程(x−30)(1000−10x)=10000，解方程即可；
(3)易得w=(x−30)(1000−10x)=−10x2+1300x−30000，结合二次函数的性质分析，即可解答．
本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
24.解：(1)PM=PN，PM⊥PN；
(2)△PMN是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同(1)的方法得，PM//CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同(1)的方法得，PN//BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
(3)由(2)知△PMN是等腰直角三角形，
则PN最大时，△PMN的面积最大，
当点D在BA的延长线上时，BD最大值为AB+AD=6，
∴PN=12BD=3，
∴△PMN面积的最大值为92．
【解析】解：(1)∵点P，N是DC，BC的中点，
∴PN//BD，PN=12BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM//CE，PM=12CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN//BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM//CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)根据三角形中位线定理得PN//BD，PN=12BD，PM//CE，PM=12CE，从而得出PM=PN，PM⊥PN；
(2)首先利用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠ACE，BD=CE，再由(1)同理说明结论成立；
(3)由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，可知NP最大，即BD最大时，△PMN面积的最大，由三角形三边关系可知BD最大值为2+4=6，从而解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明△PMN是等腰直角三角形是解题的关键．
25.解：(1)∵对称轴为直线x=1，点A的坐标是(−2,0)，则B的坐标是(4,0)，
则4a−2b+4=016a+4b+4=0，解得：a=−12b=1，
∴抛物线解析式为：y=−12x2+x+4；
(2)如图，作直线BC，过点P作PK/​/y轴，交BC于点K，

对称轴x=−b2a=1，
∴点D的坐标是(1,0)，
当x=0时，y=4，
∴点C(0,4)，直线BC解析式为：y=−x+4，
设P的坐标为(t,−12t2+t+4)，则点K的坐标是(t,−t+4)，
∴PK=−12t2+t+4−(−t+4)=−12t2+2t，
∴S△PCB=|xB−xc|×PK×12=−t2+4t，
则S△BCD=OC⋅BD×12=6，
则S四边形PCDB=S△PCB+S△BCD=−t2+4t+6，
∴当t=−b2a=2时，S四边BPCDB有最大值10，此时P点的坐标是(2,4)；
(3)设点M(x,−x+4)，
由点O、P、M的坐标得，OP2=20，OM2=x2+(x−4)2，PM2=(x−2)2+x2，
当OP=OM时，即20=x2+(x−4)2，
解得：x=2± 6；
即点M(2− 6,2+ 6)或(2+ 6,2− 6)；
当OP=PM时，则(x−2)2+x2=20，
解得：x=4或−2，
则点M(4,0)或(−2,6)．
综上，点M的坐标为：(2− 6,2+ 6)或(2+ 6,2− 6)或(4,0)或(−2,6)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由S四边形PCDB=S△PCB+S△BCD=−t2+4t+6，即可求解；
(3)当OP=OM时，即20=x2+(x−4)2，即可求解；当OP=PM时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大．x
…
−2
0
2
4
…
y
…
−1.5
2.5
m
−1.5
…