2021-2022学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列函数中，是一次函数的是

A.  B.  C.  D.

2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是

A. 对角互补 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 四边相等

3. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为

A.  B.  C.  D.

4. 函数中自变量的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

6. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为

A.
B.
C.
D.

7. 已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是

A.  B.  C.  D. 以上都不对

8. 菱形的边长为，有一个内角为，则较长的对角线的长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点、分别在两条直线和上，点、是轴上两点，若四边形是正方形，则的值为

A.
B.
C.
D.

10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数与为整数的图象的交点是整点，则的不同取值的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 将函数的图象沿轴向下平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是______．
12. 若一个菱形的两条对角线长为和，则菱形的面积为______．
13. 一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围为______．
14. 点在函数的图象上，则代数式的值等于______．
15. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长是______．
     

16. 在平面直角坐标系中，，，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 下表是某个一次函数的自变量与的三组对应值，求出该函数解析式及的值．

18. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，．
    求证：．

19. 如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象．
    求、、三点的坐标；
    求的面积．
    
    
    
     

20. 如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作，交的延长线于点，连接试判断四边形的形状，并给予证明．
    
    
     

21. 如图，在、两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶．图是客车、货车离站的路程，千米与行驶时间小时之间的函数关系图象．
    填空：，两地相距______千米；货车的速度为______千米时；
    求小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式；
    试求客车与货车何时相距千米？

22. 抗疫期间，某公司决定购买两种不同品牌的消毒湿巾供员工使用，经调查购买包品牌消毒湿巾比购买包品牌消毒湿巾多花元，购买包品牌消毒湿巾与购买包品牌消毒湿巾所需款数相同．
    求，两种品牌消毒湿巾的单价；
    公司现计划购买两种品牌的消毒湿巾共包，要求品牌消毒湿巾的数量不少于品牌消毒湿巾数量的倍，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案并计算此时的花费．
23. 如图，▱中，点在上，且，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．保留作图痕迹
    在图中，画出的平分线；
    在图中，画出的平分线，并说明理由．

24. 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌．
    应用图的数学模型解决下列问题：
    如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线；求直线的函数表达式；
    如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点、，两直线交于轴上同一点，点的坐标为，点是的中点，连接交于点．
    
     

求点的坐标；
若，求的值；
在的条件下，过点作轴的垂线，点是直线上的动点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，使得以，，、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，是二次函数，故A不符合题意；
B.，是一次函数，故B符合题意；
C.，是反比例函数，故C不符合题意；
D.为常数，，此时才是一次函数，故D不符合题意；
故选：．
根据一次函数的定义判断即可．
本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、菱形对角不互补，故本选项错误；
B、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
D、三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．
故选：．
中菱形对角不互补，则错误，中矩形对角线不互相垂直，则错误，中平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，三个图形中，矩形四边不相等，错误．
本题考查了正方形的性质，主要从对角线着手考查的，正方形是平行四边形得最典型的图形．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
点是的中点，，
．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据分母不为，被开方数大于等于，进行计算即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握函数关系式的意义是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

6.【答案】

【解析】解：当时，，
所以不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到，当时，直线都在直线，的上方，于是可得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

7.【答案】

【解析】解：，
随的增大而减小，
又点，在一次函数的图象上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：在菱形中，，
又在中，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
利用菱形的每条对角线平分一组对角，则，即是等边三角形，由此可求得，再根据勾股定理即可求出的长，则也可求出．
本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
 

9.【答案】

【解析】解：设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故选：．
设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据正方形的性质，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，找出关于的方程是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由题意得：，
，
即，
，
，
，均为整数，能被整除的整数有，，
可取的数为，，共个，
故选：．
交点为整数，那么让这两个函数组成方程组，把看成已知数，求得，的解，进而判断出可能的整数解的个数即可．
本题考查两直线的相交问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．解决问题的关键是把当成已知数，把方程组的解整理为合适的形式．
 

11.【答案】

【解析】解：由上加下减”的原则可知，将函数的图象沿轴向下平移个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是：．
故答案是：．
直接根据“上加下减”的原则进行解答．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：菱形的面积，
故答案为．
由菱形的面积等于对角线积的一半，可求解．
本题考查菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
根据题意，得，求解即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：点在函数的图象上，
，
，
．
故答案为．
将点坐标代入一次函数解析式中，得到，的关系，整体代入所求的式子中即可．
本题考查一次函数图像上点的坐标特征、待定系数法，解题的关键是求出和的关系，属于中考必考题型．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是矩形的对角线的中点，是的中点，
，是的中位线，
，
四边形的周长；
故答案为：．
由矩形的性质得出，，，由勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，四边形的周长，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：
点在直线的图象上
点关于直线的对称点为
的最小值为
故答案为
由题意可得点在直线的图象上，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为的长度．
本题考查了最短路径问题，两点间的距离公式，勾股定理，找到点所在直线是本题关键．
 

17.【答案】解：设一次函数的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，．

【解析】把两点坐标代入抛物线解析式求出，的值确定出解析式，进而求出的值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，，
．
，
，
四边形是平行四边形，
．

【解析】根据平行四边形的性质可得，，再判断四边形是平行四边形，即可得结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
 

19.【答案】证明：在中，令，解得：，
则点的坐标为，
同理，点的坐标为，

解得．
点的坐标为；

，
．

【解析】在两个一次函数解析式中，令，求得的值，即可得到和的坐标，求两个一次函数的解析式组成的方程组求得的坐标；
求出的长，利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．
 

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，是线段的中点，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．

【解析】根据，可得，利用可证明≌，根据等腰三角形三线合一可得，，然后证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定．
 

21.【答案】 

【解析】解：由函数图象可得，，两地相距：，
货车的速度是：．
故答案为：；；

；

分两种情况：
相遇前：，
解得；
相遇后：，
解得不合题意，舍去；
客车到达站时，，
解得，
综上所述：当行驶时间为小时或小时，两车相距千米．
根据图象中的数据即可得到，两地的距离；根据货车小时到达站，求得货车的速度；
根据函数图象中的数据即可得到三小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式；
根据题意可以分相遇前和相遇后两种情况进行解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
 

22.【答案】解：设品牌消毒湿巾的单价为元，品牌消毒湿巾的单价为元，
依题意，得，
解得，
答：品牌消毒湿巾的单价为元，品牌消毒湿巾的单价为元；
设购买包品牌消毒湿巾，则购买包品牌消毒湿巾，
品牌消毒湿巾的数量不少于品牌消毒湿巾数量的倍，
，
解得，
设购买消毒湿巾需要的费用为元．
由题意可得：．
，
随的增大而增大．
当时，有最小值，此时，，
答：当公司购买包品牌消毒湿巾，包品牌消毒湿巾时最省钱，此时花费为元．

【解析】根据购买包品牌消毒湿巾比购买包品牌消毒湿巾多花元，购买包品牌消毒湿巾与购买包品牌消毒湿巾所需款数相同，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据品牌消毒湿巾的数量不少于品牌消毒湿巾数量的倍，可以求得购买品牌消毒湿巾数量的取值范围，再根据题意，可以写出花费与品牌消毒湿巾数量的函数解析式，再根据一次函数的性质，即可得到最省钱的购买方案及此时的花费．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程组和函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

23.【答案】解：如图所示，连接，则平分；

如图所示，连接，，交于点，连接，则平分．

理由：四边形是平行四边形，且，交于点，
，
又，
平分．

【解析】依据等腰三角形的性质以及平行线的性质，即可得到平分；
依据平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到平分．
本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

24.【答案】证明：，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：过作交直线于，过作轴于，如图：

在中，令得，令得，
，，
，，
将直线绕点逆时针旋转至直线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的函数表达式为，将，代入得：
，
解得，
直线的函数表达式为；
解：点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内，为等腰直角三角形分三种情况：
设，，
以为直角顶点，过作轴于，交延长线于，如图：

，
，
，，
≌，
，，
，
解得，
，
以为直角顶点，过作轴于，过作轴于，如图：

同理可得≌，
，，
，
解得，
，
以为直角顶点，如图：

同理可得≌，
，，
，
解得，
；
综上所述，的坐标为：或或

【解析】由，得，又，，即可得≌；
过作交直线于，过作轴于，在中得，，，，证明≌即得，，从而，用待定系数法即得直线的函数表达式为；
设，，以为直角顶点，过作轴于，交延长线于，证明≌，有，，，可得，以为直角顶点，过作轴于，过作轴于，≌，有，，，可得以为直角顶点，同理可得
本题考查一次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，旋转变换等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

25.【答案】解：如图，

直线交轴于，交轴于，
，，
，
，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
由，解得，
；

如图，过点作交于点，过点作轴于点，

，故，
，
，
故为等腰直角三角形，则，
，，
，
，，
≌，
，．
则，
，
把代入，
解得：；

如图，

当四边形是菱形时，连接交于，作于．
，，，
，
，，
≌，
，设，
，
，
在中，，
，
，
直线的解析式为，
当时，，

当四边形是菱形时，可得直线的解析式为，
当时，，

当四边形是菱形时，在直线时，
，
与关于轴对称，
，
当点在的右侧，为菱形时，此时．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．

【解析】求出直线，直线的解析式，构建方程组即可解决问题；
证明≌，则，，求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
分三种情形：当四边形是菱形时，当四边形是菱形时，当四边形是菱形时，分别求解即可解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．