2022-2023学年新疆皮山县高级中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年新疆皮山县高级中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（    ）

A．双曲线 B．射线

C．线段 D．双曲线的一支或射线

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义讨论的取值范围即可判断.

【详解】两个定点的距离为，

当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；

当，即时，点的轨迹为射线；

不存在的情况．

综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线．

故选：D．

2．若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为

A．4 B．194 C．94 D．14

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义，求得到另一焦点的距离.

【详解】依题意，且.

故选：D

【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.

3．下列问题是排列问题的是（    ）

A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？

C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？

【答案】B

【分析】排列问题是与顺序问题有关的问题，只有B选项涉及顺序，由此可得结果.

【详解】对于A，名同学中选取名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；

对于B，个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确；

对于C，个点中任取点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；

对于D，个数字中任取个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误.

故选：B.

4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义结合函数的图象在点处的切线方程即可求得答案.

【详解】由于函数的图象在点处的切线方程是，

故，，

故，

故选：A.

5．已知，则x等于（       ）

A．6 B．13 C．6或13 D．12

【答案】A

【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案.

【详解】由题意得，

化简可得，解得或6，

因为，所以且，故.

故选：A.

6．若、、…、的方差为，则、、…、的方差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据、、…、的平均数为，方差为的计算公式，可直接代入求解方差.

【详解】、、…、平均数为，方差为，

因为、、…、的平均数为，方差不变为，

、、…、的平均数为，方差为，

综上、、…、的平均数为，方差为，

所以、、…、的平均数为，方差为.

故选：D.

7．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则＝

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．

【详解】抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x，

准线方程与双曲线y2﹣x2＝1联立可得：y2﹣（）2＝1，

解得y＝±，

因为△ABF为等边三角形，所以 2|y|，即p2＝3y2，

即p2＝3（1），解得p＝2．

故选B．

【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．

8．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，

且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，

而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．

故选B.

二、多选题

9．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（    ）

A．若，则C为椭圆

B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则

C．曲线C可能是圆

D．若C为双曲线，则

【答案】AD

【解析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，曲线为C表示圆，故不正确；

对于B选项，当曲线C为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故正确；

对于C选项，当时，曲线为C表示圆的方程，故正确；

对于D选项，当曲线C为双曲线时，则，解得或，故错误；

综上，错误的是AD.

故选：AD.

【点睛】本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.

10．下列求导错误的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据导数的计算公式分别计算.

【详解】，A错误；

，B错误；

，C正确；

，D正确．

故选：AB．

11．已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．展开式中各项系数的和为

C．展开式中只有第4项的二项式系数最大

D．展开式中含项的系数为84

【答案】ABD

【分析】根据展开式的二项式系数和的性质求出，可判断A正确；令，求出展开式中各项系数的和，可判断B正确；根据展开式中二项式系数的单调性，可判断C错误；利用展开式的通项公式计算，可判断D正确．

【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；

对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为，故B正确；

对于C，因为第4项的二项式系数为，第5项的二项式系数，

所以，又，

所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误；

对于D，因为的展开通项为，

令，得，则，所以含项的系数为84，故D正确．

故选：ABD．

12．已知函数，.下列结论正确的是（    ）

A．函数不存在最大值，也不存在最小值 B．函数存在极大值和极小值

C．函数有且只有1个零点 D．函数的极小值就是的最小值

【答案】BCD

【分析】利用导数研究函数的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念依次判断选项即可.

【详解】，则，

令，令或，

所以函数在上单调递减，在和上单调递增，

且，，如图，

所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，

极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0.

故选：BCD.

三、填空题

13．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是          ．

【答案】10

【详解】依题意有种.

14． 曲线在点处的切线方程为          .

【答案】

【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．

【详解】，

当时其值为，

故所求的切线方程为，即．

【点睛】曲线切线方程的求法：

(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数f(x)的导数f′(x)；

②求切线的斜率f′(x0)；

③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．

四、概念填空

15．从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出不再放回，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率为          ．

【答案】

【详解】由题可知：第2次摸到红球的概率为

故答案为：

五、填空题

16．设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为         ．

【答案】

【分析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.

【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，

因为其一条渐近线为，

所以，.

故答案为：

【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.

六、解答题

17．求满足下列条件的椭圆的标准方程，焦点在y轴上，焦距是4，且经过点

【答案】

【分析】通过焦距可得到，继而得到焦点坐标，通过椭圆的定义可算出，再结合算出，即可得到答案；

【详解】由焦距是4可得，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，

由椭圆的定义可知，

所以，所以，

所以椭圆的标准方程为.

18．已知函数，求函数的极值.

【答案】的极小值，无极大值，

【分析】求导，根据极值的定义即可求解.

【详解】的定义域为，

，

令，则，此时在单调递增，

令，则，此时在单调递减，

故当时，取极小值，无极大值，

19．习近平可志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战，确保到2020年在我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困市全部摘帽.某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种核项目.该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购.为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品.

经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为类；其它情况均定为类.已知每箱红枣重量为10千克，类、类、类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元.现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.

（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为类的概率；

（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由.

【答案】（1）；（2）方案二，理由见解析.

【分析】（1）根据频率分布直方图可知，每颗红枣为优质品的概率为，根据类红枣的定义，利用独立重复事件的概率类型求解概率；（2）若采用方案一，分布计算，，，再计算红枣收入的数学期望，若采用方案二，由条件可知，一箱红枣被定为类和类的概率都是，再计算收入的期望，两种方案，比较大小，即可做出判断.

【详解】（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，

记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为类”为事件，则

；

（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为类”为事件，

“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为类”为事件，则

，

，

所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：

元；

由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，

则一箱红枣被定为类的概率为，被定为类的概率也为，

所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为：

元；

所以该农户采用方案二装箱更合适.

【点睛】关键点点睛：本题考查独立重复类型的概率计算，频率分布直方图，属于中档题型，本题的关键是理解每个红枣是类的概率是，并且能理解等级的定义，转化为独立重复概率类型求解.

20．两位老师甲、乙和四位学生站成一排.（适当说明过程，列出式子并计算结果，结果用数字表示）

(1)两位老师不能相邻，共有多少种排法？

(2)甲在乙左边，共有多少种排法？

(3)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少种排法？

(4)两位老师在中间，两端各两位学生，假如学生身高不等，要求学生由中间到两端从高到矮排，共有多少种排法？

【答案】(1)480

(2)360

(3)216

(4)12

【分析】（1）先将4位学生全排列，再将两位老师插入到把四位学生排列后所成的空中，由分步计数原理计算可得答案；

（2）将6人全排列，而甲在乙左边与甲在乙右边的情况数目相同，即可求得答案；

（3）分2种情况讨论：①最左端排甲，其余任意排，②最左端排乙，最右端从不包含甲的剩余4人选一个，其余任意排，由加法原理计算可得答案；

（4）先排列两位老师有两种方法，再将四位学生分成两组即可，最后按照分步计数原理计算可得答案.

【详解】（1）根据题意，先将4位学生全排列，再将两位老师插入到把四位学生排列后所成的空中，

故有种排法；

（2）根据题意，将6人排成一排，有种排法，甲在乙左边与甲在乙右边的情况数目相同，则甲在乙左边的排法有种；

（3）根据题意，分2种情况讨论：最左端排甲，其余任意排，有种，最左端排乙，最右端从不包含甲的剩余4人选一个，

其余任意排，有种，故有种排法；

（4）两位老师排列有两种方法，由于两端学生按身高排列，相当于顺序固定，故四位学生分两组共有种，所以共有种.

21．已知直线过抛物线的焦点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当的面积是时，求点A的坐标．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出焦点坐标为，从而得到，求出抛物线方程；

（2）设出，过点A的抛物线的切线方程设为，与抛物线方程联立，根据得到，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为，求出，表达出，，列出方程，求出，得到点A的坐标.

【详解】（1）中令得：，

故焦点坐标为，故，解得：，故抛物线方程为；

（2）抛物线准线方程为：，

设，过点A的抛物线的切线方程设为，

联立得：，

由，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为，

故，

令中，令得：，

不妨设，故，

则，

解得：，故点A的坐标为或.

【点睛】已知抛物线方程，点为抛物线上一点，则过点的抛物线切线方程为，

若点在抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点弦方程为.

22．已知函数．

（1）求函数的极值点；

（2）若在上单调递减，求实数的取值范围．

【答案】（1）极小值点是，无极大值点；（2）．

【分析】（1）对函数进行求导，列表，根据函数极值的定义进行求解即可；

（2）对函数进行求导，根据函数的单调性，结合导数的性质，利用常变量分离法进行求解即可.

【详解】解析：（1）定义域，

令，得，

列表如下：

所以，的极小值点是，无极大值点；

（2），

在上单调递减

在上恒成立

在恒成立

，

令，

在上恒成立

在上单调递减

实数的取值范围是．

【点睛】关键点睛：运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解是解题的关键.