2022-2023学年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】由集合，，

根据集合交集的运算，可得.

故选：A.

2．“”是“为第三象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出时的范围后，再根据充分必要条件的概念判断．

【详解】时，是第三或第四象限角或终边在轴负半轴，

“”不能推出“为第三象限角”，充分性不成立；

“为第三象限角”能推出“”，必要性成立，

故“”是“为第三象限角”的必要不充分条件．

故选：B．

3．已知（为虚数单位），则（    ）

A． B．10 C． D．5

【答案】A

【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】由复数，可得，

所以.

故选：A.

4．下列函数中，既是偶函数又在上是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据奇偶性排除AB，根据单调性排除C，而D满足单调性和奇偶性，得到答案．

【详解】对选项A：的定义域为，，函数为奇函数，错误；

对选项B：既不是奇函数又不是偶函数，错误；

对选项C：当时，为增函数，错误；

对选项D：的定义域为，，函数为偶函数，在上为减函数，正确.

故选：D.

5．的二项展开式中含项的系数为（    ）

A．240 B．16 C．160 D．60

【答案】C

【分析】写出展开式的通项，令的指数为3，然后可求得结果.

【详解】展开式的通项为，

令，所以含项的系数为，

故选：C.

6．材料：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式．根据材料解答：已知中，，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【分析】计算，代入海伦－秦九韶公式，利用基本不等式可求得面积的最大值．

【详解】记，由题意，，

则，且，

故三角形的面积为，

当且仅当，即时等号成立，

故面积的最大值为.

故选：D.

7．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数定义即可求得：，，再利用正弦的二倍角公式得解.

【详解】因为角的终边过点，点到原点的距离

所以，

所以

故选：D.

8．已知长方体的体积为2，，与相交于点E，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知线面关系，判断三棱锥的外接球球心的位置并求出半径，从而可求得外接球的表面积.

【详解】设，则，得，

所以，所以可知四边形为正方形，

所以，所以外接圆的圆心为的中点，记为，

因为为直角三角形，所以外接圆的圆心为的中点，记为，

则，

连接，则∥，

因为平面，所以平面，

所以，所以，

所以三棱锥的外接球球心是的中点，

因为，所以外接球半径，

所以外接球的表面积为，

故选：A

二、多选题

9．在第一次全市高二年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图．已知该班级学生的数学成绩全部介于65到145之间（满分150分），将数学成绩按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．第七组的频率为0.008

B．该班级数学成绩在的学生人数为8人

C．该班级数学成绩的众数的估计值为100

D．该班级数学成绩的第82百分位数的估计值为115

【答案】BCD

【分析】由频率直方图中的数据，根据频率之和为1直接求第七组的频率，

由频数与频率的关系判断B选项，由众数、第百分位数求法，判断其余各项的正误.

【详解】A：设第七组的频率为，则，得，错误；

B：由班级数学成绩在的频率为，

可知：班级数学成绩在的学生人数为，，正确；

C：该班级数学成绩的众数的估计值在组，为100，正确；

D：由频率分布直方图可知在组的频率为

，

该班级数学成绩的第82百分位数的估计值为115，正确；

故选：BCD.

10．已知圆锥的底面半径为1，其母线长是2，则下列说法正确的是（    ）

A．圆锥的高是 B．圆锥侧面展开图的圆心角为

C．圆锥的表面积是 D．圆锥的体积是

【答案】AC

【分析】根据圆锥及侧面展开图的性质，表面积公式，体积公式求解判断即可.

【详解】圆锥的底面半径为，其母线长是，

则圆锥的高，故A正确；

设圆锥侧面展开图的圆心角为，则，解得，故B错误；

圆锥的表面积是，故C正确；

圆锥的体积是，故D错误.

故选：AC.

11．某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有10张奖券，其中有2张写有“中奖字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记A表示甲中奖，B表示乙中奖，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据条件概率和古典概型的概率公式逐个分析判断.

【详解】由题意可知

对于A，，所以A正确，

对于B，，所以B正确，

对于C，，所以C正确，

对于D，，所以D错误，

故选：ABC

12．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的最大值为

C．关于点对称

D．若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为

【答案】ACD

【分析】先利用辅助角公式化简，再通过图象平移求得新的函数，从而利用图象关于y轴对称求得，由此得到的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.

【详解】由题意可得：，

对A：函数的图象向左平移个单位长度，得到，

∵关于轴对称，即为偶函数，

则，则，

注意到，则，故A正确；

对B：，则的最大值为2，故B错误；

对C：由，则是的对称中心，故C正确；

对D：∵，则，

若在区间上存在最大值，则，解得，

即实数的取值范围为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．函数的定义域为      ．

【答案】

【分析】由根式、分式的性质列不等式组求定义域.

【详解】要使函数有意义，则需满足，解得或，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

14．一只口袋内装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是      ．

【答案】

【分析】利用列举法求解，列出6只球中一次摸出两只球的所有情况，再找出摸出的两只球颜色不同即一黑一白的情况，然后利用古典概型的概率公式计算可得答案.

【详解】记4只白球分别为,D两只黑球分别为，

则从6只球中一次摸出两只球的所有情况有：

，共15种情况，

其中摸出的两只球颜色不同的有：，共8种情况，

所以摸出的两只球颜色不同的概率为：.

故答案为：.

15．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成的角为          ．

【答案】#

【分析】取的中点，连接，得到，把异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，在直角中，求得，即可求解.

【详解】在中，因为，，可得，

取的中点，连接，，可得，

又由直三棱柱中，可得，

因为，所以平面，所以，

又由为的中点，所以，

所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设为，

设，可得，

在直角中，由，

因为，所以.

故答案为：

16．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】根据对数函数的性质，得到为函数的一个零点，根据题意转化为有两个小于的实根，设，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】函数，若函数有3个零点，

当时，令，即，解得，符合题意；

当时，令，即，即，

要使得函数有3个零点，在方程有两个小于的实根，

设，即函数在上与轴有两个交点，

则满足，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量，．

(1)若，求

(2)若，向量，求与夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求出，进而求得答案；

（2）根据向量平行的坐标表示求出，利用向量的夹角公式求得结果.

【详解】（1）因为，所以，

即，解得，

所以，

故．

（2）因为，所以，解得，则．

因为，，，

∴，

即与夹角的余弦值为．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B的大小；

(2)若，且，求a和c．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，再由余弦定理得，从而可得角的大小；

（2）由正弦定理结合面积公式可得关系，解方程即可得a和c的值．

【详解】（1）中，∵

由正弦定理得：，

∴，即，

由余弦定理得，，

在三角形中，∵，∴．

（2）∵，由正弦定理得：，

又，∴，

∴，．

19．根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：

(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的回归直线方程；

(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，试根据小概率值的独立性检验，分析不戴头盔行为是否增加事故伤亡风险．

参考数据和公式：，，，，

【答案】(1)

(2)认为不带头盔行为与事故伤亡有关，此推断犯错误的概率不超过0.05

【分析】（1）先求出样本中心点的坐标，利用公式求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；

（2）求得的值并与进行大小比较，进而得到不带头盔行为是否与事故伤亡有关.

【详解】（1）由题意知，，，

，

所以回归直线方程为．

（2）零假设不带头盔行为与事故伤亡无关

．

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为不带头盔行为与事故伤亡有关，此推断犯错误的概率不超过0.05．

20．已知（实数b为常数）．

(1)当时，求函数的定义域D；

(2)若不等式当时恒成立，求实数b的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的解析式列出不等式求解；

（2）由，令，分离参变量得，令，利用函数的单调性求解.

【详解】（1）当时，，

则或，解之得或，

即．

（2）当时，，为单调递增函数，

故，

令，则，

故．

令，且，

，

当且时，，则，

可得在上单调递减，则，

所以，解得，即b的取值范围为．

21．如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为AD延长线上一点，平面，，，F是PB中点．

(1)证明：；

(2)若，三棱锥的体积为，求锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）依题意可得平面，即可得到，取的中点，连接，，即可得到，再由得到，从而得到，即可得到平面，从而得证；

（2）首先证明平面，根据锥体的体积求出，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）∵平面，平面，∴，

∵，，∴，

又，，平面，∴平面，

∵平面，∴，

取的中点，连接，，∵为的中点，

∴，∴，

∵，∴，∴，

∴为的中点，∴，∴，

又，，平面∴平面，

∵平面，∴．

（2）∵，∴．

∴，且，∵，∴四边形为矩形，

，平面，平面，∴，

又，平面，∴平面，

∴，解得，

以为原点，分别以，，方向为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系．

则，，，∴，，

易知是平面的一个法向量．

设平面的一个法向量为，

∴，即，不妨取，得

∴．

∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．

22．某商场举行有奖促销活动，凡7月7日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有3个，白球有3个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．

方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折

方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减80元．

(1)若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中恰有一人享受6折优惠的概率；

(2)若小勇消费恰好满500元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．

【答案】(1)

(2)选择方案一更划算

【分析】（1）由题意，根据独立事件概率求法，求享受到6折优惠的概率，结合二项分布求小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率；

（2）由题设知：方案一，付款金额可能取值为300，400，500，进而求各种可能取值的概率，并写出分布列，进而求期望；根据二项分布求方案二的期望，比较期望的大小，进而选择方案.

【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A，则．

∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为

．

（2）若小勇选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为300，400，500．

则，，．

故X的分布列为

∴（元）．

若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则．

由已知，可得Y～，故，

∴（元）.

由上知：，故小勇选择方案一更划算．