2022-2023学年新疆兵团地州学校高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年新疆兵团地州学校高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．书桌上有3本不同的数学书和4本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各1本，则不同的取法有（    ）

A．6种 B．7种 C．12种 D．21种

【答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.

【详解】第一步：从数学书中任取1本，有3种不同的取法.

第二步：从语文书中任取1本，有4种不同的取法.

故从中任取数学书和语文书各1本，不同的取法有种.

故选：C

2．已知数列，则该数列的第2024项为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求得数列的通项公式，即可得出结果.

【详解】该数列的通项公式为，

所以.

故选：D.

3．某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由分步计数原理，把选择26个不同英文字母的排列数与选择2个不同数字的排列数相乘即可.

【详解】因为英文字母有26个，所以2个不同英文字母的排列有种，

因为数字有10个，所以2个不同数字的排列有种，

由分步计数原理，所以该密码可能的个数是.

故选：C

4．若数列满足，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据递推关系推出数列的周期性即可.

【详解】因为，所以，

，

，

所以是周期为的数列，故.

故选：C

5．的展开式中按的升幂排列的第4项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】因为的通项，

所以按的升幂排列的第4项为.

故选：B.

6．流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病.已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ）

A．0.65 B．0.45 C．0.35 D．0.2

【答案】C

【分析】根据条件概率与全概率公式求解.

【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”，

由题意可知，

，

则0.065，

故.

故选：C.

7．某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（    ）

A．72 B．144 C．288 D．156

【答案】B

【分析】根据排列的相邻元素捆绑、不相邻元素插空的方式计算排列数即可得答案.

【详解】将2道必须相邻的工序捆绑在一起看作一个元素，

将其与没有特别要求的2道工序排成一排，再把2道不相邻的工序插入，

加工顺序的种数为.

故选：B.

8．已知直线与函数的图象相切，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出切点坐标，求出切线方程为，从而可得，构造函数，求出其最小值即可得答案.

【详解】设切点为，，所以切线的斜率，

则切线方程为，即，故，

令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，即的最小值为.

故选：B

二、多选题

9．已知两个随机变量满足，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，由二项分布的期望与方差公式代入计算即可得到，再由期望与方差的性质即可得到.

【详解】由题意可得,，

且，则，

.

故选：ABD

10．已知为等差数列，其前项和为，则（    ）

A．的公差为

B．

C．的前50项和为

D．的前项和为

【答案】AC

【分析】对A：利用等差中项化简已知条件，从而计算得的值，即可得公差；对B：利用等差数列求和公式计算；对C：根据的正负计算出的的前50项和；对D：将数列的通项公式代入并化简，利用裂项相消法求和即可.

【详解】设的公差为，因为，

所以，，所以，故A正确；

因为，所以，

因为，当时，，时，，

所以

故的前50项和为，

故B不正确，C正确；

因为，

所以的前项和为

，故D不正确.

故选：AC

11．已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ）

A．有个极值点

B．是的极大值点

C．是的极大值点

D．在上单调递增

【答案】ABD

【分析】根据图象判断出的符号，由此确定正确答案.

【详解】根据函数的图象可知，

在区间，单调递增；

在区间，单调递减.

所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，

是的极小值点，

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

12．为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为（单位：千克），当季该种作物的亩产量为（单位：百千克）.

现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型II为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型I的决定系数和模型II的决定系数，则（    ）

A．

B．模型II的拟合效果比较好

C．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量一定增加0.17个单位

D．若7组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上

【答案】AB

【分析】A选项，计算出，代入中，求出；B选项，越大，拟合效果越好；CD选项，根据线性回归方程的意义作出判断；

【详解】A选项，由题意得，

，

模型的经验回归方程为，所以，即，故A正确；

B选项，因为越大，拟合效果越好，所以模型II的拟合效果比较好，故B正确；

C选项，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.17个单位，故C错误；

D选项，因为有可能没有数据点在经验回归直线上，所以D错误.

故选：AB

三、填空题

13．若，则          .

【答案】7

【分析】根据组合数性质得到关于的方程，解出即可.

【详解】因为，

所以，所以或（舍去）.

故答案为：7.

14．记为等差数列的前项和，公差为，若，则整数的一个值可以为          .

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用等差数列前项和的基本量计算可求得.

【详解】因为，所以.

所以，故的整数解为.

故答案为：（答案不唯一）

四、双空题

15．已知函数，则          ，曲线在处的切线方程为          .

【答案】         

【分析】求出函数的导数，将代入即可求得，根据导数的几何意义即可求得函数在处的切线方程.

【详解】因为，所以，

所以，所以.

因为，所以所求切线方程为，

即，

故答案为：1；

五、填空题

16．设等比数列的前项和为，若，则          .

【答案】156

【分析】方法一：设等比数列的公比为，然后由列方程可求出，再利用等比数列的求和公式对化简计算即可，方法二：利用等比数列前项和的性质计算即可.

【详解】法一：设等比数列的公比为，显然.

因为，所以，

所以.

法二：设，则.因为为等比数列，

所以仍成等比数列.

因为，所以，

所以，即.

故答案为：156

六、解答题

17．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表:

在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.

(1)求p，q的值;

(2)依据α=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关?

附:χ2=，n=a+b+c+d.

【答案】(1)p=180，q=120

(2)学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.

【分析】（1）根据题设条件，建立的方程组即可求出结果；

（2）通过计算出，即可判断出结果.

【详解】（1）由题可知，解得.

（2）零假设为H0：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.

根据列联表及（1）中数据，经计算得到

，

根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.

18．世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.

(1)从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过5小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可；

（2）由于三个社区的居民人数之比为，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可；

（3）由正态分布的性质结合条件求解即可.

【详解】（1）设从三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件，

则.

设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件，

则事件的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，

所以，

故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为.

（2）设三个社区的居民人数分别为，

则社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

所以，故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率.

（3）因为，所以.

因为，所以，

所以.

19．学习强国是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵向到底､横向到边的网络学习平台．学习强国APP提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习．某校团委组织全体教职工参加“学习强国”竞赛．现从全校教职工中随机抽取100人，对他们的分数（满分：100分）进行统计，按，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为，求随机变量的分布列和期望.

(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．已知该校教职工共有1200人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61分的教职工人数（结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

参考公式：若随机变量服从正态分布，则.

参考数据：.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)190

【分析】（1）由题意得到X的所有可能取值为，求得其相应概率，列出分布列，再求期望；

（2）根据题意求得到，再求得即可.

【详解】（1）由题意可知这100人中得分不低于90分的人数为，

的所有可能取值为，

.

的分布列为

故.

（2）由题可得，，

则.

故该校这次竞赛分数不低于87.6分的教职工人数为.

20．已知函数的一个极值点为1.

(1)求；

(2)若过原点作直线与曲线相切，求切线方程.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出函数的导数，由求出a值，再验证作答；

（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答.

【详解】（1）因为，所以.

因为的一个极值点为1，所以，所以.

因为，

当时，；当或时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值点为1，符合题意.

（2）设切点为，则，

所以切线方程为.

将点代入得，

整理得，所以或.

当时，切线方程为；

当时，切线方程为.

21．设数列满足的前项和为.

(1)证明：为等比数列.

(2)求数列中的最小项.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）计算得出，由此可证得结论成立；

（2）求得，然后利用分组求和法可求得，根据的单调性求得结果.

【详解】（1）因为，

所以.

因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列.

（2）由（1）可知，则，

.

因为，

所以当时，，当时，，

所以，

故数列中的最小项为.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围.（参考数据：.）

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）运用求导公式求导，对进行分类讨论.

（2）将两函数图象的交点个数问题转化为函数零点的个数问题，继而运用导数求解.

【详解】（1）因为，所以.

当时，恒成立，则在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为函数与函数的图象有三个不同的交点，

所以关于的方程有三个不同的根.

令，则有三个不同的零点.

.

当时，单调递增，则至多有一个零点，不合题意.

令，则.

当时，因为，所以，

所以单调递减，所以至多有一个零点，不合题意.

当时，令，得，且.

当，即时，，则，所以在上单调递增.

因为是连续的函数，且，

所以，所以在上只有一个零点.

当或，即或时，，

则在上单调递减.

令，

则，所以在上单调递增.

因为，所以.

因为，所以.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

设在上的零点为，且，

因为，故为奇函数，所以.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

综上可知，的取值范围为

【点睛】第二问，将交点个数转化为函数零点个数之后，对进行分类讨论，此题关键之处在于巧妙的构造函数，在找出两个零点之后，第三个零点借助奇偶性来找.属于难题.