2022-2023学年四川省乐山市高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省乐山市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．计算：（    ）

A．－7 B．7 C．25 D．－25

【答案】C

【分析】根据复数的乘法运算即可求解.

【详解】，

故选：C

2．下列命题错误的是（    ）

A．不共线的三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点，可确定一个平面

C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点可确定一个平面

【答案】D

【分析】由平面的基本性质判断.

【详解】A.由平面的基本性质知：不共线的三点确定一个平面，故正确；

B.由平面的基本性质的推论知：一条直线和直线外一点，可确定一个平面，故正确；

C. 梯形有一组对边平行，由平面的基本性质的推论知：梯形可确定一个平面，故正确；

D. 由平面的基本性质知：当圆心和圆上两点共线时，不能确定平面，故错误；

故选：D

3．下列变量间的关系，不是相关关系的是（    ）

A．一块农田的水稻产量与施肥之间的关系

B．正方形的面积与边长之间的关系

C．商品销售收入与其广告费支出之间的关系

D．人体内的脂肪含量与年龄之间的关系

【答案】B

【分析】由相关关系概念可得答案.

【详解】A选项，水稻产量与施肥之间没有明确的等量关系，是相关关系，故A错误；

B选项，正方形的面积与边长之间有着明确的等量关系，不是相关关系，故B正确；

C选项，商品销售收入与其广告费支出之间没有明确的等量关系，故C错误；

D选项，人体内的脂肪含量与年龄之间没有明确的等量关系，故D错误.

故选：B

4．小李打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，他只记得第一位是M，N中的一个字母，第二位是1，2，3中的一个数字，则小李输入一次密码能成功开机的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列出从中取一个字母，再从1，2，3中取一个数字的所有情况，然后利用古典概型概率公式可求得结果.

【详解】从中取一个字母，再从1，2，3中取一个数字的所有情况有：

,

共6种情况，其中只有一个是密码的前两位，

所以小李输入一次密码能成功开机的概率是，

故选：C

5．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义以及切线斜率的变化可得出结论.

【详解】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，

即，，，

又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，

故.

故选：A.

6．某地为了解中学生的日均睡眠时间（单位：h），随机选择了位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图，如图所示，且从左到右的第1个，第4个，第2个，第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第四小组的频数是10，则等于（    ）

A．30 B．40 C．50 D．60

【答案】C

【分析】根据从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次相差0.1，计算出第4组的频率，根据频率和频数的关系即可求得n.

【详解】由题：从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次相差0.1，

设第一组频率为x，则解得：，

所以第四小组的频率是，

所以，解得

故选：C.

7．在一次实验中，测得的四组数值分别是，则与之间的回归直线方程可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据变量的相关性和回归系数之间的关系判断A选项，根据回归直线必过样本中心点判断选项B,C,D即可.

【详解】可知：与之间是正相关的，

故排除A选项，且：

，

B，C，D中只有B选项过点.

故选：B

8．函数在区间的最大值和最小值分别为（    ）

A．2和－2 B．2和0 C．1和0 D．0和－2

【答案】A

【分析】对函数求导，研究其在区间的单调性即可求出结果.

【详解】，

当时，，单调递增，，

当时，，单调递减，，

又

所以，，

故选：A.

9．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输人的分别为63，49，则输出的（    ）

A．2 B．3 C．5 D．7

【答案】D

【分析】按照程序框图运行程序，直到不满足时输出结果即可.

【详解】按照程序框图运行程序，输入，，

满足，且，，继续运行；

满足，不满足，，继续运行；

满足，不满足，，继续运行；

满足，不满足，，继续运行；

满足，且，，继续运行；

不满足，输出.

故选：D.

10．设函数，在区间内随机抽取两个实数分别记为，则恒成立的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式分析可得，再结合几何概型运算求解.

【详解】因为，则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，即，

如图，所求概率为.

故选：D.

11．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的导数，利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解作答.

【详解】函数的定义域为，求导得，

依题意，不等式在上有解，而，

当且仅当时取等号，则，

所以实数的取值范围是.

故选：B

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别构建，，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断.

【详解】构建，则当时恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以，即；

构建，则当时恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以，即；

综上所述：.

故选：C.

【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新的函数；

（3）利用导数研究的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．

二、填空题

13．在一次月考中，高二年级8个班的数学平均分如茎叶图所示，这组数字的中位数为           ．

【答案】91.5

【分析】由给定的茎叶图，把8个数学平均分从小到大排列，再利用中位数的定义计算作答.

【详解】由茎叶图知，8个数学平均分由小到大排列为，

所以这组数字的中位数为.

故答案为：91.5

14．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为           ．

第1行：2976 3413 2814 2641

第2行：8303 9822 5888 2410

【答案】03

【分析】由于号码是两位数字，所以从左向右依次读取两位数字，即可求得.

【详解】由于号码是两位数字，所以从左向右依次读取两位数字分别是：

则第四个被选中的红色球号码为

故答案为：

15．已知正边长为1，将绕BC旋转至，使得AD=1，则三棱锥的外接球表面积为           ．

【答案】

【分析】根据题意判断出三棱锥为正四面体，确定球心位置后，构造三角形，通过解三角形，解出半径即可.

【详解】依题可知三棱锥为棱长为的正四面体，如下图所示，

过点作平面,垂足为点则点为正的中心，连接并延长交于，则为的中点，设外接球球心为点连接

由,

设外接球半径为，又,所以，解的，

所以表面积为

故答案为：.

16．已知正实数，满足，则的最小值为           ．

【答案】

【分析】由不等式变形为，通过换元根据不等式恒成立得出和之间的关系，从而把表示为关于的函数，通过构造函数，考查函数单调性即可求得.

【详解】,

即，令

则有，

设，则，

令得

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以又

所以，当且仅当时，等号成立.

所以可得，

设

则令得

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以

故的最小值为

故答案为：

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

三、解答题

17．已知函数．

(1)求在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)增区间为和，减区间为．

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义就可求得答案；

（2）令，即可求得函数的单调递增区间，令，求得函数的单调递减区间.

【详解】（1）∵，∴，

∴时，．

∴在点处的切线方程为：，即：．

（2）令，解得或．

令，解得．

∴在和上单调递增，在单调递减，

即的单调递增区间为和，单调递减区间为.

18．为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占．

(1)求图1中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；

(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？

附：

【答案】(1)，分

(2)列联表见详解，数学成绩优秀与经常整理数学错题有关

【分析】（1）根据频率和为1运算求的值，再结合上四分位数的概念运算求解；

（2）根据题意补全列联表，结合题中数据和公式求，并与临界值对比分析.

【详解】（1）由题意可得：每组的频率依次为，

则，则，解得，

因为，

则学生期中考试数学成绩的上四分位数位于，设为，

可得，解得，

所以学生期中考试数学成绩的上四分位数为分.

（2）由题意可得：数学成绩优秀的人数为，数学成绩不优秀的人数为，

经常整理错题的人数为，不经常整理错题的人数为，

数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生的人数为，

可得列联表为

零假设：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，

因为，

则零假设不成立，且犯错的可能性不大于，

所以数学成绩优秀与经常整理数学错题有关.

19．已知函数．

(1)求的极值；

(2)求方程有两个不同的根，求的取值范围．

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求导后，判断单调性即可求解；

（2）画出图象，由图象即可求解.

【详解】（1）∵，

∴的定义域为，，

令，解得．

则当时，单调递减，当时，单调递增，

∴在单调递减，在单调递增．

∴当时，有极小值，没有极大值.

（2）∵时，，时，，

则的图象如下：

由图象可知，当时，方程有两个不同的根.

故的取值范围为．

20．某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近七个月内的市场占用有率进行了统计，结果如下表所示：

(1)用相关系数说明市场占有率与月份代码之间的关系是否可用线性回归模型拟合？（结果保留两位小数）

(2)求关于的线性回归方程，并预测该公司10月份的市场占有率．

参考依据：．

参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．

【答案】(1)0.98，市场占有率与月份代码之间的关系可用线性回归模型拟合

(2)，．

【分析】（1）由相关指数的公式代入即可求解，

（2）根据最小二乘法求解线性回归方程，即可代入求解预测值.

【详解】（1）∵，

∴，

∴两变量之间具有较强的线性相关关系，

故市场占有率与月份代码之间的关系可用线性回归模型拟合．

（2）

又

∴，

故关于的线性回归方程为，

当时，，

∴预测该公司10月份的市场占有率为

21．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，分别为的中点．

(1)求证：平面；

(2)若平面，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得∥平面，∥平面，再由面面平行的判定定理证明面面平行即可得出线面平行；

（2）先证明平面，再由棱锥体积公式求解.

【详解】（1）取的中点为，连接，

∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，

∵，，

四边形为平行四边形，

∴．

又平面平面．

∴∥平面．

∵分别为中点，

∴．

又平面平面，

∴∥平面．

∵平面，

∴平面∥平面．

又平面，

∴∥平面．

（2）∵面，面，∴．

又∵侧面为正方形，∴．

∵，平面，

∴平面．

.

22．已知函数和有相同的最大值．

(1)求；

(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）利用导数分别求出两函数的最大值，再由两函数的最大值相等列方程可求出的值；

（2）直线与和的图象有四个不同的交点，有两种情况，设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，由（1）可知且，化简结合函数的单调性可得结论.

【详解】（1）∵，∴．

∵有最大值，∴．

∴在单调递增，在单调递减．

∴．

∵，∴．

∴在单调递增，在单调递减．

∴．

∵，

∴，解得．

（2）直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：

由于两种情况证法类似，下证第一种情况：

设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，

直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．

由（1）可知：

且．

∴

∵且，在单调递增，

∴．

同理，．

又∵，即：．

∴．

∴．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数最值问题，第（2）问解题的关键是画出函数图象，利用图象求解，考查数形结合的思想和数学转化思想，属于较难题.