2022-2023学年四川省资阳市高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省资阳市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算计算求解.

【详解】，故A，B，D错误.

故选：C.

2．双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的方程以及离心率的概念计算求解.

【详解】因为双曲线，所以，，

所以，的离心率，故B，C，D错误.

故选：A.

3．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．，

【答案】A

【分析】利用导数公式对函数进行求导，再根据导数与函数单调性的关系计算求解.

【详解】因为，所以函数的定义域为，

所以，由有：，

所以函数的单调递减区间为，故B，C，D错误.

故选：A.

4．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：D

5．研究变量，得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是（    ）

A．两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它们的相关性越弱

B．两个变量与的回归模型中，分别选择了甲、乙两个模型，其回归系数分别为，，则模型甲比模拟乙的拟合效果好

C．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应观测值增加0.5个单位

D．经验回归直线经过样本中心点

【答案】D

【分析】根据相关系数、相关指数及回归方程的性质判断即可.

【详解】对于A：两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，则它们的相关性越强，故A错误；

对于B：因为，，所以，则模型乙比模拟甲的拟合效果好，故B错误；

对于C：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应观测值约增加个单位，故C错误；

对于D：经验回归直线经过样本中心点，故D正确；

故选：D

6．抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据条件求出的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果.

【详解】因为抛物线：过点，所以，故抛物线：，

所以的焦点到准线的距离为.

故选：B.

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【分析】结合双曲线的定义来解决即可.

【详解】双曲线的实半轴长，

由双曲线的定义，可得

所以，

则三角形的周长为.

故选：B

8．已知函数的导函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先化简函数，再由导数求导公式和运算法则求解即可.

【详解】，

.

故选：A.

9．曲线的参数方程为（为参数），则的普通方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用平方消元可得的普通方程.

【详解】因为，故，

而，当且仅当时等号成立，故，

故曲线的普通方程为：.

故选：D.

10．已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用双曲线的性质，求出，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.

【详解】设双曲线的半焦距为，

因为双曲线的离心率为，

所以，解得，

由，得，

所以，

所以渐近线方程为，

所以两条渐近线的倾斜角分别为和，

因为，

所以，两条渐近线所夹的锐角为；

即双曲线的两条渐近线的夹角为.

故选：C.

11．已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据和抛物线对称性，知点、关于轴对称．可知，进而根据抛物线和直线方程求得点的坐标，即可求解面积.

【详解】设，、，，

，．

又，，

，

即．

又，均为正数，．

，即．

由抛物线对称性，知点、关于轴对称．

，则．

，将其代入抛物线方程中得，解得，

等边三角形的边长为，所以面积为，

故选：A

12．过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】∵，∴，

设切点为，则，切线斜率,

切线方程为，

∵切线过原点，∴，

整理得：,

∵切线有两条，∴，解得或，

∴的取值范围是,

故选：D

二、填空题

13．函数在区间上的极大值点是            .

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点.

【详解】因为，，所以，

令，即，解得，

当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，即极大值点为.

故答案为：

14．已知直线的极坐标方程为，则的倾斜角为             .

【答案】

【分析】将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再求出直线的斜率、倾斜角.

【详解】因为，所以，

即，

又，所以，即，

所以直线的斜率为，则倾斜角为.

故答案为：

15．已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为           

【答案】/

【分析】求出切点坐标后可求的面积.

【详解】过点作的一条切线，该切线的斜率必定存在，可设为，

则切线方程为：，

由可得即，

所以，故，所以，

而，故的面积为.

故答案为：

16．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且．若的面积为，则双曲线的离心率为        ．

【答案】

【分析】不妨设点为第一象限内一点，设点，其中，由已知可得出，求出点的坐标，利用三角形面积公式可出、的等量关系式，即可求得双曲线的离心率的值.

【详解】不妨设点为第一象限内一点，双曲线的渐近线方程为，

设点，其中，易知、，

，，

因为，则，

因为，解得，即点，

所以，，所以，，

所以，，

因此，双曲线的离心率为.

故答案为：.

三、解答题

17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求的直角坐标方程；

(2)设点的直角坐标为，与的交点为，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设、所对应的参数分别为、，再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.

【详解】（1）曲线的极坐标方程为，所以，

将代入得，

所以的直角坐标方程为．

（2）设、所对应的参数分别为、，

因为直线的参数方程为（为参数），

所以在上，

把的参数方程代入可得

所以，

所以，，则、，

故.

18．中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息.某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：

(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系?

(2)根据样本数据，在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了6人.若从这6人中随机选择2人进行访谈，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率.

附表及公式

其中，.

【答案】(1)有的把握认为“经常喝茶”与性别有关系.

(2)

【分析】（1）计算出卡方，即可判断；

（2）首先求出男、女的人数，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）依题意可得，

因此有的把握认为“经常喝茶”与性别有关系.

（2）依题意男性有人，分别记作、、、，

女性有人，分别记作、，

从这人中随机抽取人可能结果有、、、、、、、

、、、、、、、共个，

其中至少有一名女性的有、、、、、、、、共个结果，

所以所求概率.

19．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若时，单调递增，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.

（2）在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解.

【详解】（1）由，得，

则，又，

所以曲线在处的切线方程为,

即．

（2）因为时，单调递增，

所以时，恒成立，

即在时恒成立，

设，则，

则时，，时，，

可知时，取极小值，该极小值也即为上的最小值，

所以，即，

所以，单调递增时，的取值范围是．

20．已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3．

(1)求的方程；

(2)经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意设，表示出分别与，连线的斜率之积，再将化简即可得出答案；

（2）联立直线PQ方程与双曲线方程，结合题意由韦达定理求出的范围，表示出的面积，将韦达定理代入化简即可得出答案.

【详解】（1）由题，不妨设点，，的方程为．

因为在上，则，即有，

则分别与，连线的斜率之积为，

所以的方程为．

（2）由题知，直线的斜率存在，设为，则的方程为，

联立方程组消去，得，

令，，则，

因为直线分别交的左、右支于M，N两点，

则，，

则，的面积，

则，

解得或（舍去），则，所以的方程为．

【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与双曲线相交问题以及双曲线中三角形面积问题，解答本题的关键在于由韦达定理表示出代入的面积，然后通过计算得到的值.

21．已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为3.

(1)求的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)直线恒过点

【分析】（1）首先得到抛物线的焦点与准线方程，根据抛物线的定义可得，即可求出，从而得解.

（2）依题意直线和的斜率均存在且不为，设直线的方程为，则直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，即可求出点坐标，同理得到点坐标，即可得到直线的方程，从而得解.

【详解】（1）抛物线：焦点为，准线为，

设到的距离为，因为位于的上方区域，

根据抛物线的定义可知（当且仅当时取等号），

又的最小值为，所以，解得，

所以抛物线：.

（2）依题意直线和的斜率均存在且不为，

设直线的方程为，则直线的方程为，，，

联立方程得，消去并整理得，

则，则，，

所以，

因为为的中点，所以，同理，

所以直线的方程为，

整理得，所以直线恒过点.

22．已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若，，求的取值范围.

【答案】(1)，无极大值.

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值；

（2）令，，则原不等式即为，求出函数的导函数，再分和两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而求出参数的取值范围.

【详解】（1）当时，则，

令，则，，

所以当时，单调递减且，当时，单调递增，

所以当时，即，当时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，即，无极大值.

（2）令，，则原不等式即为，

可得，，，

令，则，

令，，则，所以在上单调递增，则，

则时，，所以，

当时，所以，

所以在上恒成立，

所以即在上单调递增，

当，即时，所以单调递增，

所以恒成立，所以符合题意，

当，即时，，

所以存在使得，

当时，则单调递减，所以，与题意不符，

综上所述，的取值范围是.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．