四川省乐山市2020-2021学年高二下学期期末考试 数学（文）试卷

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乐山市高中2022届期末教学质量检测

文科数学

（本试卷共4页，满分：150分 考试时间：120分钟）

本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第一部分1至2页，第二部分3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题  共60分）

注意事项：

1．选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．

2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列对随机事件的频率与概率的叙述中，正确的是（    ）．

A．频率就是概率

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．概率是随机的，在试验前不能确定

D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

2．复数的虚部是（    ）．

A．    B．    C．    D．

3．现有4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，则取出的书恰好有1本语文1本数学的概率是（    ）．

A．    B．    C．    D．

4．已知的导函数是，且满足（为自然对数的底数），则（    ）．

A．    B．    C．    D．

5．执行下列程序后输出的结果是（    ）．

A．    B．0    C．1    D．2

6．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为（    ）．

A．45    B．52    C．47    D．54

7．如图是函数及在点处的切线的图象，则（    ）．

A．    B．    C．    D．

8．如图，在矩形中，点为边上的一个动点．若在矩形内部随机取一个点，则点取自阴影部分的概率为（    ）．

A．    B．    C．    D．

9．如图，正方体的棱长为2，点在上，点在上，且，面，则的长为（    ）．

A．    B．    C．2    D．

10．已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（    ）．

A．    B．    C．    D．

11．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（    ）．

A．    B．

C．    D．

12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）．

A．   B．   C．   D．

第二部分（非选择题  90分）

注意事项：

1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答案区域作答，作图可用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．

2．本部分共10小题，共计90分．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某班有学生45人，其中男生有25人，现按男、女分层抽样一个样本，若已知样本中有5名男生，则样本的容量为______．

14．已知复数满足：，则______．

15．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则______．

16．已知函数在区间有最小值，则实数的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17．（10分）

已知函数在处取得极值．

（1）求，的值；

（2）求函数的单调区间．

18．（12分）

某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费．超出立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．

（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80％以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？

（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代．当时，估计该市居民该月的人均水费为多少？

19．（12分）

设函数．

（1）若在上存在单调递减区间，求的取值范围；

（2）当时，在区间上的最大值为，求在该区间上的最小值．

20．（12分）

在一次数学知识竞赛后，数学老师设计了本班学生对、两题选做的情况，得到如下表数据（单位：人）：

（1）请完成题中的列联表，并根据表中的数据判断，是否有超过％的把握认为选做“题”或“题”与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“题”所用的时间为区间内的一个随机值（单位：分钟），解答一道“题”所用的时间区间为内的一个随机值（单位：分钟），试求甲同学在考试中选做“题”比选做“题”所用时间更长的概率．

参考公式：，其中．

21．（12分）

如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，为的中点，平面，，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

22．（12分）

已知函数，．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若对任意，，都有恒成立，求的取值范围．

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文科数学参考答案及评分意见

2021.7   

一、选择题：每小题5分，12小题，共60分．

1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 9．A 10．D

11．B 12．A

二、填空题：每小题5分，4小题，共计20分．

13．9  14．   15．10   16．

三、解答题：6小题，共70分．

17．（10分）

解：（1）由题知，

∴，即．

∴．

又∵，即．

（2）由（1）知．

∴．

令，∴，．

易知在，上单调递减，

在上单调递增．

18．（12分）

解：（1）由用水量的频率直方图可知：

该市居民该月用水量在区间，，，，内的频率依次是

，，，，，

∴该月用水量不超过3立方米的居民占：

％．

而用水量不超过2立方米的居民占：

％．

∵是正数，

∴为使80％以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，就定为3．

（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

根据题意，该市居民该月的人均水费估价为：

（元）

答：该市居民该月的人均水费为元．

19．（12分）

解：（1）．

若在上有单调递减区间，

则在上有解．

即在上有解．

令，

易知，

∴，∴．

（2）令得两根，，

∴在，上单调递增，在上单调递减．

当时，，

∴在上的最小值为，

又∵．

即．

∴在上的最大值为．

则，∴．

则．

∴在上最小值为．

20．（12分）

解：（1）列联表如下：

由表中的数据得，

查表可得，有超过％得把握认为选做“题”或“题”与性别有关．

（2）设甲同学解答一道“题”需要分钟，解答一道“题”需要分钟．

记“甲同学在考试中选做题比选做题所用时间更长”为事件．

则总的基本事件构成区域为，

而满足事件的基本事件构成的区域为，

即图中的阴影部分，由几何概型知，

所以甲同学在考试中选做题比选做题所用时间更长的概率为．

21．（12分）

解：（1）证明：取的中点，连接，，

易得，且，

又且，

可得且，

所以四边形为平行四边形，所以．

因为面，而面，

故平面．

（2）如图，连接，取的中点，连接，，

则．

因为平面，则，

又因为，，得面，

所以，

所以，分别为，的高，

由题意可求得，，

令点到平面的距离为，

因为，

即，

解得，

即点到平面的距离为．

22．（12分）

解：（1）函数的定义域为，

，

当时，，函数在上单调递增；

当时，若，则，函数单调递增；

若，则，函数单调递减；

所以，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）因为，

所以当时，，在上递增，

当时，，在上递减，

而，

所以在上的最大值为1．

依题意，知当时，恒成立，

即恒成立，即恒成立．

令，

则，，

当时，，，，

所以在上递增．

当时，，，，

所以在上递减．

所以当时，函数取得最大值，

故，即实数的取值范围为．