2022-2023学年四川省眉山市高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省眉山市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．若复数满足，则的虚部等于（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法运算求出复数即可作答.

【详解】依题意，，

所以的虚部等于.

故选：D

2．某学校为了解高二（1）班的30名的身体素质，将这些学生编号为1，2，…30，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取5名学生进行体质测试．若20号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（    ）

A．5号学生 B．12号学生 C．14号学生 D．25号学生

【答案】C

【分析】根据题意，建立第组与所抽取编号之间的对应关系，即可对每个选项逐一分析和判断.

【详解】因为总共有名学生，需要抽取名，故需要分为组，组距为，

不妨设第组抽到的学生编号是，则由系统抽样可知，为公差的等差数列，

则可设，

又号学生在第组，即，，则；

故，当或或时，都不是整数，故不可能抽到；

当时，即，解得，

即14号学生被抽到.

故选：C.

3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.

详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

4．已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值是（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】由切点在切线上求出，根据导数的几何意义求出，代入即可得解.

【详解】将点代入切线方程，得，解得，

又函数的图像在点处的切线方程为，于是，

所以.

故选：B

5．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确的是（    ）

A．若，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差

B．若，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数

C．若，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差

D．若，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数

【答案】C

【分析】根据极差、平均数、中位数的计算方法判断ABD；由波动程度判断C.

【详解】对于A：甲地区考核得分的极差为，乙地区考核得分的极差为，

即甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差，故A错误；

对于B：甲地区考核得分的平均数为

乙地区考核得分的平均数为，

即甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数，故B错误；

对于C：甲地区考核得分从小到大排列为：75，78，81，84，85，88，92，93，94

乙地区考核得分从小到大排列为：74，77，80，83，84，87，91，95，99

由以上数据可知，乙地区考核得分的波动程度比甲地区考核得分的波动程度大，

即甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，故C正确；

对于D：由茎叶图可知，甲地区考核得分的中位数为，乙地区考核得分的中位数为，则甲地区考核得分的中位数大于乙地区考核得分的中位数，故D错误；

故选：C

6．已知函数的导函数为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的导函数求出函数，再求出函数值作答.

【详解】因为函数的导函数为，则设（实数为常数），

显然函数是偶函数，而，

所以.

故选：D

7．用秦九韶算法求多项式在时，的值为（    ）

A．136 B．45 C．27 D．14

【答案】B

【分析】根据秦九韶算法即可求解.

【详解】，

所以，

，

，

，

故选：B

8．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155内的人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A．i<6 B．i<7 C．i<8 D．i<9

【答案】C

【详解】考查算法的基本运用．现要统计的是身高在160-180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，故流程图中空白框应是i<8，当i<8时就会返回进行叠加运算，当i8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A4、A5、A6、A7叠加起来送到S中输出，故选C．

9．若在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的导数，由在上有解，求出a的范围作答.

【详解】函数，求导得，

因为函数在上存在单调递增区间，则不等式在上有解，

而，

当时，，因此，解得，

所以的取值范围是.

故选：B

10．函数的图象大致是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；

因为时，所以排除D,故选A

11．函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，则，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于，结合单调性计算可得.

【详解】令，因为，所以，

又，

所以在上单调递增，

不等式即，所以，所以，

即不等式的解集为.

故选：A

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换底公式和对数函数的性质可比较与的大小，然后构造函数，求导后可得在上递减，所以，则可得，再利用对数的性质化简变形可比较与的大小，从而可得结论.

【详解】，，

因为在上单调递增，所以，

所以，即，

所以，

令，则，

当时，，所以在上递减，

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以，所以，

所以，所以，

所以，

综上，，

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查对数函数的性质的应用，考查导数的应用，解题的关键是通过构造函数，利用导数求出其单调区间，再根据函数的单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

二、填空题

13．化为十进制数为        ．

【答案】82

【分析】按照进位制的算法计算即可；

【详解】

14．18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当很大时，（常数）．利用以上公式，可以估计的值为        ．

【答案】

【分析】根据题意得到，结合对数的运算公式，即可求解；

【详解】由题意，可得

.

故答案为：.

15．已知、都是定义在上的函数，，，，，则关于的方程没有实数根的概率为        ．

【答案】

【分析】根据给定的不等式及函数值的关系，借助单调性求出a值，再由方程无实根及几何概型求解作答.

【详解】由，得，令，求导得，

则函数在上单调递减，即有，由，得，因此，

则方程无实根，，又，解得，

所以关于的方程没有实数根的概率为.

故答案为：

16．对于函数，给出下列命题：

①该函数必有2个极值；      ②该函数的极大值必大于1；

③该函数的极小值必小于1； ④方程一定有三个不等的实数根．

其中正确的命题是                ．（写出所有正确命题的序号）

【答案】①②③

【分析】利用导数与二次函数的性质，研究的图像性质，从而作出其大致图像，由此得解.

【详解】因为，则，

显然，，故有两个不相等的零点，且一正一负，

不妨设

二次函数，开口向上，且在上为正，上为负，上为正，

则函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增．

由极值的定义可知：函数必有两个极值点，且处是极大值点，处是极小值点．

又图象必过点

由以上性质作函数的大致图象如下，

  或  

由的图像可知：①正确；②正确；③正确；④不正确．

故答案为：①②③．

三、解答题

17．成都市都江堰猕猴桃闻名中外，每年月份猕猴桃大量上市．某猕猴桃企业计划种植红心猕猴桃，绿心猕猴桃两种猕猴桃品种，通过大量考察研究得到如下统计数据．红心猕猴桃的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

绿心猕猴桃亩产量的频率分布直方图如图所示：

(1)若红心猕猴桃的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计年红心猕猴桃的单价；

(2)利用上述频率分布直方图估计绿心猕猴桃的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；

参考公式：回归直线方程，其中，．

【答案】(1)，年红心猕猴桃的单价约为元/公斤

(2)公斤

【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，可得出年红心猕猴桃的单价；

（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出绿心猕猴桃的平均亩产量.

【详解】（1）解：，．

，

，故回归直线方程为，

当时，，故年红心猕猴桃的单价预计为元/公斤.

（2）解：由频率分布直方图可知，绿心猕猴桃的平均亩产量为公斤.

18．已知函数在处有极值10．

(1)求实数，的值;

(2)若方程在区间内有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意得，解方程可得的值，最后检验即可；

（2）分析在上的单调性，结合极值即可求解的取值范围．

【详解】（1）由可得

又为极值点，所以，

又极值为10，即，

则，

可得：或，

当时，，

（不恒为0），

在上单调递增，无极值．

当时，，，

综上．

（2）由（1）知，时，为减函数，时，为增函数，

又

因为方程在区间内有解，

所以实数的取值范围为.

19．已知关于的一元二次方程

（1）若，是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．

（2）若，，求方程没有实根的概率．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意知本题是古典概型，计算基本事件的总数和“方程有两个正根”的事件数，计算所求的概率值；

（2）由题意知本题是几何概型，计算试验的全部结果构成区域和满足条件的事件组成区域，计算面积比即可．

【详解】（1）由题意知本题是一个古典概型，用表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件

依题意知，基本事件的总数有个，二次方程有两正根，

等价于

即

“方程有两个正根”的事件为，则事件包含的基本事件为：、 、 、， 共个，

∴所求的概率为.

（2）由题意知本题是一个几何概型，如图所示：

试验的全部结果构成区域，

其面积为，

满足条件的事件为：，

其面积为，

所求概率为.

【点睛】本题考查几何概型以及用列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于中档题.

20．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示:

（1）根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有名数学系的学生，其中名喜欢甜品，现在从这名学生中随机抽取人，求至多有人喜欢甜品的概率.

附：.

【答案】（1）有，理由见解析；（2）.

【分析】（1）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；

（2）记名数学系学生中喜欢甜品的名学生分别记为、，不喜欢甜品的名学生分别记为、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这名学生中随机抽取人，求至多有人喜欢甜品”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得结果.

【详解】（1）由表格中的数据可得，

所以有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）记名数学系学生中喜欢甜品的名学生分别记为、，不喜欢甜品的名学生分别记为、、，

从名数学系学生中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，

其中，事件“从这名学生中随机抽取人，求至多有人喜欢甜品”所包含的基本事件有：、、、、、、，共种，

故所求概率为.

21．已知函数.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）若对，都有恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先代入函数解析式得到切点坐标，再求导计算切线斜率，写出切线方程即可；

（2）将恒成立问题转化成最值问题，再对参数进行讨论，以确定单调性，求得最值即可.

【详解】解：（1）当时，，

∴在处的切线方程为；

（2）由题意知：，

.

①当时，在上单调递减，

∴恒成立，∴；

②当时，，∴在上单减，在上单增，

（ⅰ）当时，在上单增，，舍去；

（ⅱ）当时，在上单减，，

∴；

（ⅲ）当时，在上单减，上单增，

，∴，

综上，.

【点睛】1、解决恒成立问题的常用方法：

①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.

2、利用导数研究函数的最值的步骤：

①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.本题在此基础上讨论参数以确定单调性.

22．已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)当时，证明：;

(2)当时，求函数零点个数．

【答案】(1)证明见解析；

(2)2.

【分析】（1）把代入，利用导数探讨函数单调性，借助函数最小值0推理作答.

（2）把代入，利用导数探讨函数单调性，求出函数最小值，再借助零点存在性定理求解作答.

【详解】（1）当时，，，求导得，

显然，当时，，则，

当时，，则，因此函数在上单调递减，在上单调递增，

则当时，，

所以.

（2）当时，，，求导得，

当时，，则，当时，，则，

当时，函数都递增，即函数在上单调递增，

而，因此存在，使得，

当时，，当时，，

从而当时，，当时，，

即有函数在上单调递减，在上单调递增，，

而，于是函数在，各存在一个零点，

所以函数零点个数是2.

【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.