2022-2023学年四川省宜宾市高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省宜宾市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则（    ）

A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．3

【答案】C

【分析】由题意可得或，求出的值，检验是否满足元素的互异性即可求解.

【详解】因为，所以或.

若，则，满足；

若，则或，

当时，，满足；

当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；

综上所述：或，

故选：C.

2．已知是虚数单位，复数满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】由复数满足，可得，所以.

故选：B.

3．已知命题，，则命题为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题：“，”

则命题为“，”.

故选：A.

4．下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是（    ）

A．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加

B．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41

C．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少

D．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年

【答案】D

【分析】根据出口金额柱状图及同比增速折线图逐项判断.

【详解】根据出口金额柱状图及同比增速折线图，

可看出我国眼镜及其零件出口金额在2016年出现减少，选项A错误；

2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为

，选项B错误；

2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速先减少，再增加，

后又减少，选项C错误；

从图中可知，2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年，

为，选项D正确.

故选：D

5．已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．4

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.

【详解】函数定义域为，

，当且仅当，即时取等号，

所以曲线在点处切线斜率的最小值为.

故选：C

6．已知定义在上的函数是奇函数，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】先由是奇函数可求的值，进而可求.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，

所以，即，得，

则，，

所以时为奇函数，所以满足题意，

则.

故选：B

7．已知命题，命题，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】当时，可得，所以充分性成立；

反之：若，可得，所以必要性不成立，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

8．在圆心角为，半径为4的扇形（为圆心）内任取一点，则的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由几何概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】  

由题意可知，圆心角为，半径为4的扇形的面积为，

且圆心角为，半径为2的扇形面积为，

当点在以为圆心，的半径的扇形内时，满足，则.

故选：A

9．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.

【详解】第一次循环：；第二次循环：；

第三次循环：；第四次循环：；

此时满足输出结果，故.

故选：C.

10．函数的部分图像大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再取特殊值分析判断即可

【详解】函数的定义域为，

因为，所以为偶函数，

所以的图象关于轴对称，所以排除BC，

因为，所以排除D，

故选：A

11．已知函数的定义域为，的图像关于点对称，，且对任意的，，满足．则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用单调性的定义判断出函数的单调性，分类讨论解不等式即可.

【详解】由的图像关于点对称，可知图像关于点 对称，

即函数是定义在上的奇函数，

由可知在上单调递减，，

所以在上也单调递减，且，

所以当时，

当时，

所以由，

可得或者或者

解得 或者

即不等式的解集为.

故选：

12．已知，，，则，，的大关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，求导得出函数的单调区间，即可比较；构造函数，求导得出函数的单调区间，即可比较，即可得解．

【详解】由条件知，，

设，，

则，所以函数在上单调递增，

于是，即，

所以，

设，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，当时取等号，

所以，得到，所以．    

故选：C

二、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则            

【答案】3

【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算．

【详解】设，则，，即，

∴．

故答案为：3.

14．在平面直角坐标系中，以原点为极点，为极轴建立极坐标系，曲线上两点，对应的极角分别为，，则的面积为        ．

【答案】

【分析】结合极坐标极角求得边长，然后计算三角形的面积即可；

【详解】    

因为，对应的极角分别为，，所以，

所以，

故答案为：.

15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2023年为癸卯年，则3023年为        年．

【答案】癸未

【分析】分析天干与地支的相配原则可知天干地支纪年法以为周期，依次将十天干、十二地支标序号，2023年可记为，而由天干地支的循环可算出对应第40年的天干与地支.

【详解】将天干按顺序依次排列，十个一组；将地支也一样排列十二个一组，由此可知天干地支纪年法以为周期.

不妨给十天干与十二地支依次标号：

将甲子年记为，乙丑年记为

则2023年可以记为，而，

可知对应天干还是第10号；

可知对应地支为第8号，

则3023年为癸未年.

故答案为：癸未.

16．已知，，且对恒成立，则的范围为        ．

【答案】

【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，然后利用导数求出其最大值即可.

【详解】由，得，得对恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上递减，

因为，所以，使，

所以，，

所以当时，，即，当时，，即，

所以在上递增，在上递减，

所以，

所以，

即的范围为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立的问题，解题的关键是将问题转化为对恒成立，然后通过构造两次函数求出函数的最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

三、解答题

17．某地区为助力农民增收，采取直播带货，利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量，助力打通农产品产销链条．下表是2023年1月至5月该地区驻村干部直播带货农副产品收入情况，已知月份（）与收入（）可用线性回归模型拟合．

(1)求出关于的回归直线方程；

(2)试判断该地区9月农副产品收入能否突破2万元，并说明理由．

参考公式：，．

【答案】(1)

(2)预测9月份的收入不能突破2万元，理由见解析

【分析】（1）算出均值后利用公式可求回归方程；

（2）利用（1）的回归方程可求判断9月农副产品收入能否突破2万元。

【详解】（1），，，

于是得，，

所以回归直线方程为：，

（2）当，，所以预测9月份的收入不能突破2万元

18．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标．

【答案】(1)单调增区间为，，的单调减区间为．

(2)

【分析】（1）求导后，令导数大于0可得增区间，令导数小于0可得减区间；

（2）设切点坐标为，由题意可得，，求解即可.

【详解】（1），，，

所以，；，；

所以的单调增区间为，，的单调减区间为．

（2）设切点坐标为，则①

由得：则．

由切线的斜率得：则，②

由①②得，，

解得，则，

所以切点坐标为．

19．四川2022年启动新高考，2025年实行首届新高考，新高考采用“3+1+2"模式．“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科；“1”为在物理、历史2门选考科目中自主选择1门；“2”为从思想政治、地理、化学、生物4门选考科目中自主选择2门．某校2022级高一学生选科情况如下表：

(1)完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“选择物理与学生的性别有关”？

(2)从选择史政生和史化政这两个组合的女生中按照分层抽样的方法选取6人参加历史知识竞赛，求选出的2名女生来自同一组合的概率．

附表及公式：

【答案】(1)表格见解析，没有的把握认为“选择物理与学生的性别有关”

(2)

【分析】（1）根据的计算公式，代入计算，即可判断；

（2）根据题意，分别列举所以的情况，即可得到结果.

【详解】（1）依题意可得列联表

将列联表中的数据代入公式计算得

所以没有的把握认为“选择物理与学生的性别有关”.

（2）由题可知史政生女生抽分人数为人，

由题可知史化政女生抽分人数为人，

记抽到的史政生女生为，，，，记抽到的史化政女生为，

任取2人有：，，，，，，，，，，，，，，共有15种

来自同一组合的有，，，，，，共7种．

所以选出的2名女生来自同一组合的概率为

20．已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，，左右顶点分别为，，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为4．

(1)求的方程；

(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为．求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意得，，再结合可求出，从而可求出椭圆方程；

（2）设直线，，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再表示出，，然后化简即可.

【详解】（1）解：依题意可得，解得，

所以椭圆的方程为

（2）由（1）可知，，

由题意，直线l的斜率不为0，设直线，，，

由

可得，则，，

因为直线的斜率，直线的斜率，

由，，得，

所以，

所以直线和的斜率之比为，即

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，然后结合斜率公式求解，考查计算能力，属于较难题.

21．已知函数，．

(1)当时，求函数的极大值；

(2)记，，，若有两个零点记为，，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，求导得，然后令即可得到极值点，从而得到结果；

（2）根据题意，由有两个零点可得，然后将转化为，，然后求导，由其单调性即可证明.

【详解】（1）由题得，

，，，

当，，，，，

所以函数在单调递增，在，单调递减；

当时函数有极大值为

（2）由题得，

，

所以，，的两个零点，

故，，

因为，

要证，

即证，，

只需证，，

因为，令，，则证明，，

令，，对是恒成立，

所以在单调递减，，

即，恒成立，故成立

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数求解函数极值以及利用导数证明不等式，难度较难，解答本题的关键在于将转化为，，即可得到结果.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知点，曲线与曲线交于，两点，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可.

（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.

【详解】（1）由题可知：，，

所以的普通方程为

又，即的直角坐标方程为：

（2）由（1）可知，的参数方程为：，

代入中有：，

即，即，

所以

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论去掉绝对值解不等式即可；

（2）根据绝对值的三角不等式求出，再由“1”的技巧及均值不等式证明.

【详解】（1）当时，，解得；

当时，则有，解得；

当时，，解得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）证明：由绝对值三角不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，故，

所以，

又因为，，均为正数，

所以，

当且仅当时，等号成立，故.