数学：四川省宜宾市2022-2023学年高二下学期期末试题（解析版）

这是一份数学：四川省宜宾市2022-2023学年高二下学期期末试题（解析版），共16页。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上的无效.
3．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】由复数满足，可得，所以.
故选：B.
2. 已知命题，，则命题为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题：“，”
则命题为“，”.
故选：A.
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
4. 下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是（ ）

A. 2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加
B. 2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41
C. 2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少
D. 2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年
【答案】D
【解析】根据出口金额柱状图及同比增速折线图，
可看出我国眼镜及其零件出口金额在2016年出现减少，选项A错误；
2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为
，选项B错误；
2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速先减少，再增加，
后又减少，选项C错误；
从图中可知，2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年，
为，选项D正确.
故选：D
5. 已知为函数图象上一点，则曲线在点处切线斜率的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 4
【答案】C
【解析】函数定义域为，
，当且仅当，即时取等号，
所以曲线在点处切线斜率的最小值为.
故选：C
6. 数据与有较强的线性相关关系，通过计算得到关于的线性回归方程为，经过分析、计算得，则样本点的残差为（ ）
A. B. C. D. 64.5
【答案】A
【解析】由题意可得，解得，
所以，
当时，，
所以样本点的残差为.
故选：A.
7. 设随机变量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为随机变量，则，
又因为，则.
故选：D.
8. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ）（附：若，则，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，则，，
则
，
因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为个.
故选：A.
9. 函数的部分图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
因为，所以为偶函数，
所以的图象关于轴对称，所以排除BC，因为，所以排除D，故选：A
10. 设，是椭圆上的两个点，且为坐标原点)，则的最大值和最小值的积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为，
设，
则
，
当时，最大值为，则的最大值为；
当时，的小值为，则的最小值为；
所以的最大值和最小值的乘积为.故选：D
11. 某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，
然后要求在的左边，在的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.
故选：C.
12. 已知，，，则，，的大关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由条件知，，
设，，
则，所以函数在上单调递增，
于是，即，
所以，
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，当时取等号，
所以，得到，所以．
故选：C
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 在的展开式中，的系数为__________．
【答案】10
【解析】展开式的第项为，
令，则.
故答案为：10
14. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名志愿者将分别安排到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每个场地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一个场地服务，则甲、乙两名志愿者在同一个场地服务的概率为__________．
【答案】
【解析】根据题意，先将4人分为三组，共有种分法，
在将三组分段三个不同的场地，共有种分法，
由分步计数原理得，共有种不同的情况，
又由甲乙两名志愿者在同一场地服务，共有种情况，
则甲乙两面志愿者在同一场地服务的概率为.
故答案为：
15. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2023年为癸卯年，则3023年为________年．
【答案】癸未
【解析】将天干按顺序依次排列，十个一组；将地支也一样排列十二个一组，由此可知天干地支纪年法以为周期.
不妨给十天干与十二地支依次标号：
将甲子年记为，乙丑年记为
则2023年可以记为，而，
可知对应天干还是第10号；
可知对应地支为第8号，
则3023年为癸未年.
故答案为：癸未.
16. 已知，且对都有成立，则实数的范围为__________．
【答案】
【解析】由题意，函数，
要使得，即，即对恒成立，
即对恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递增，
所以函数在单增，在单减，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
令，因为在单增，
且，故使得，即，
即，
即，所以，
即实数的取值范围是.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知函数
（1）求的极值；
（2）过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标.
解：（1）因为，
所以
则的单调增区间为，的单调减区间为，
所以，；
（2）设切点坐标为则①，
由得：则
由，，得：则.②，
由①②得，即，
即，若，此时，则该方程无实数根，若，解得，综上，代入得，所以切点坐标为
18. 如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形.

（1）求证：；
（2）若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值.
解：（1）取的中点，连接、、.

底面是一个边长为的菱形，且，则，是正三角形，为的中点，，
是正三角形，为的中点，，
，、平面，
平面，平面，.
（2）由（1）知，，当平面平面时，
平面平面，平面，
平面，又，
以为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系.

则、、、、、，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，可得，
所以，，
则，
平面与平面所成角的正弦值为.
19. 四川2022年启动新高考，2025年实行首届新高考，新高考采用“3+1+2”模式.“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科；“1”为在物理、历史2门选考科目中自主选择1门；“2”为从思想政治、地理、化学、生物4门选考科目中自主选择2门.
某校2022级高一学生选科情况如下表：
（1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”？
（2）在新高考中，数学学科有如下变化：数学增加了多选题，选择题部分的结构为：第1至第8题为单选题，单选每题选对得5分，选错或不选得0分；第9至第12题为多选题，每道多选题共有4个选项，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.
若在某次数学考试中，第11题正确选项为ABD，第12题正确选项为CD.某考生因找不到第11题、12题的解题思路和方法，只能对这2道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.此考生针对11、12题两道有难度的多选题，为避免得零分，采取了保守的方案，即每题均随机选取一项，求该考生11题和12题得分之和的数学期望.
附表及公式：
解：（1）依题意可得的列联表
可得，
所以不能有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”
（2）根据题意，可得得分的随机变量的可能取值为0，2，4，
则，，
，
所以随机变量的的分布列为：
则随机变量的期望为.
20. 已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）依题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，
显然直线不垂直于y轴，设其方程为，，
由消去x并整理得，则，，
因为直线的斜率，直线的斜率，而，
因此，
即直线和的斜率之比为定值，于是，，
所以存在，使得.

21. 已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）记，若与的图像有两个交点，记交点的横坐标分别为求证：.
解：（1）由题得，
因为，令，
①当，即时，
当时；当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，，
所以函数在上单调递减；
③当，即时，
当时，；当时，；
函数在单调递减，在单调递增；
综上：当时，函数在上单调递减，
在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题得，
因为由是函数若与图像的两个交点的横坐标，
所以是函数的两个零点，
故
因为
要证，即证
只需证
因为令则证明
令对是恒成立，
所以在单调递减，，即恒成立，
故成立.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，曲线与曲线交于，两点，求的值．
解：（1）由题可知：，，
所以的普通方程为
又，
即直角坐标方程为：
（2）由（1）可知，的参数方程为：，代入中有：，
即，即，
所以
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：.
解：（1）当时，，解得；
当时，则有，解得；
当时，，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，
所以，
又因为，，均为正数，
所以，
当且仅当时，等号成立，故.
选科组合
物化生
物化政
物化地
史政地
史政生
史化政
总计
男
180
80
40
90
30
20
440
女
150
70
60
120
40
20
460
总计
330
150
100
210
70
40
900
选择物理
不选物理
总计
男
女
总计
0.15
0.1
0.05
0.01
2.072
2.706
3.841
6.635
选择物理
不选择物理
合计
男
300
140
440
女
280
180
合计
580
320
900
0
2
4