2022-2023学年四川省宜宾市第六中学高二下学期5月月考数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省宜宾市第六中学高二下学期5月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由交集定义计算．

【详解】由题意．

故选：B．

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由特称命题的否定形式可直接确定结果.

【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为，.

故选：D.

3．复数的虚部是（    ）

A．3 B．-3 C． D．

【答案】A

【分析】的分子分母都乘以可得答案.

【详解】因为，所以的虚部是3，

故选：A．

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式、，利用集合的包含关系判断可得出结论．

【详解】由可得，

由可得，解得，

因此“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

5．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】A、D讨论、为负数即可判断；B、C应用基本不等式求最值，结合根式、正弦函数性质判断等号是否能成立.

【详解】A：当为负数时，不满足；

B：由，仅当时等号成立，满足；

C：由，仅当时等号成立，

显然等号无法成立，故，不满足；

D：当为负值时，不满足.

故选：B

6．如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出的值为（    ）

A．4 B．37 C．148 D．333

【答案】B

【分析】利用辗转相除法求1813和333的最大公约数.

【详解】题中程序框图为辗转相除法求1813和333的最大公约数.

因为，，，

所以1813和333的最大公约数为37.

故选：B.

7．函数在处的切线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的导数，利用导函数求出在点(0，)处的切线的斜率，写出切线点斜式方程，最后化为一般方程选出答案即可.

【详解】,

所以在点处的切线的斜率为，

又

所以切线方程为：，即

故选：B

8．在内随机取两个数，则这两个数的和小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在区间内随机取两个数，满足，得到围成的正方形的面积，再画出不等式组所表示的平面区域，利用几何概型概率公式即可求解.

【详解】由题意，在区间内随机取两个数，满足，

则不等式组所围成的正方形的面积为，

由这两个数的和小于，即，

作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

则阴影部分的面积为，

所以这两个数的和小于的概率为.

故选：C.

9．我国古代数学名著《九章算术注》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，令，类似地，等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知求的例子，类比可得，令，即，解方程即可得到的值.

【详解】令，即，即，

解得(舍)，

故

故选：A

【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.

10．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.

【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；

函数中，，当时,, 看图像知D选项错误；

解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确.

故选：A.

11．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，则转化得到在上单调递增，将题目转化为在上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.

【详解】由题意,不妨设,

因为对任意两个不等的正实数,都有,

所以,即,

构造函数,

则,

所以在上单调递增，

所以在上恒成立,

即在上恒成立,

设,则，

所以当时,单调递增，

时,单调递减，

所以，

所以.

故选：D.

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】［方法一］：（指对数函数性质）

由可得，而，所以，即，所以.

又，所以，即，

所以.综上，.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

由，可得．

根据的形式构造函数 ，则，

令，解得 ，由 知 .

在 上单调递增，所以 ，即 ，

又因为 ，所以 .

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．

二、填空题

13．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第      象限.

【答案】一

【分析】化简复数，根据共轭复数的定义得出答案.

【详解】，，复数在复平面内对应的点的坐标为

则复数在复平面内对应的点位于第一象限

故答案为：一

【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限以及共轭复数的概念及计算，属于基础题.

14．甲，乙，丙3名大学生分到A，B两个学校实习，每个学校至少分到1人，则甲，乙二人在同一个学校实习的概率是      ．

【答案】

【分析】利用捆绑法结合古典概型分析运算.

【详解】每个学校至少分到1人，共有种不同的安排方法，

甲，乙二人在同一个学校实习，共有种不同的安排方法，

所以甲，乙二人在同一个学校实习的概率是.

故答案为：.

15．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x（单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：

则表中的值为           .

【答案】88

【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.

【详解】样本平均值满足回归直线方程，x的平均值为，

则y的平均值，解得，

故答案为：88.

16．设函数，若方程至多有一个根，则的取值范围为      ．

【答案】

【分析】用分离参数法把方程变为，引入函数，利用导数确定函数的单调性与最值后可得参数范围．

【详解】方程可化为，

设，

则，

时，，，，递增，

时，，，，递减，

所以，

又时，，时，，

所以至多有一解，则，

所以的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法用分离参数法把参数与自变量分离，变成的形式，然后引入新函数，利用导数确定新函数的单调性、极值，从而根据方程根的个数得出结论．

三、解答题

17．已知函数在处有极值.

(1)求实数的值；

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，根据题意列出方程，求得的值，可得答案.

（2）求出函数的极值点，求得函数的极值以及区间端点处的函数值，比较可得答案.

【详解】（1），

，

解得，

则，

若，则；若，则或,

即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，

故：

（2）由（1）知，，

，

若，则；若，则或,

在上单调递增，在上单调递减,

又，

.

18．小张想了解微信好友走路的步数情况，随机选取了其中的200人，在微信运动中，将他们在一段时间内平均每天所走的步数统计如下（单位：万）：

（1）试估计小张的微信好友平均每天所走的步数超过2万步的概率；

（2）若一个人平均每天所走的步数超过1.5万步，则称这个人为“爱好运动者”，若平均每天所走的步数不大于1.5万步，则称这个人为“一般运动者”．根据所给数据，完成下面的列联表．

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99.5%的把握认为小张的微信好友所走的步数与性别有关？

参考公式：，其中．

临界值表

【答案】（1）0.145；（2）表格见解析；（3）有.

【分析】（1）根据频数分布表，通过计算频率来估计概率；

（2）根据频数分布表和列联表中的数据补全列联表，然后利用公式求解，再由临界值可得结论

【详解】解：（1）根据步数统计数据，平均每天所走运动步数超过2万的人数为

因此微信好友平均每天所走的步数超过2万步的概率

故微信好友平均每天所走的步数超过2万步的概率为0.145

（2）根据上表数据，可得列联表：

（3）根据（2）的列联表得．

由于，

故有99.5%的把握认为小张的微信好友所走的步数与性别有关

19．为了了解某市今年高二年级男生的身体素质情况，从该市高二年级男生中抽取一部分进行“立定跳远”项目测试．立定跳远距离（单位：cm）小于195时成绩为不合格，在上时成绩及格，在上时成绩为良好，不小于255时成绩为优秀．把获得的所有数据分成以下5组：，，，，，画出频率分布方图如图所示，已知这次测试中有2名学生的成绩为不及格．

(1)求这次测试中成绩为及格或良好的学生人数；

(2)若从这次测试成绩为优秀和不及格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生中至少1人成绩为不级格的概率．

【答案】(1)44人

(2)

【分析】（1）应用频率分布直方图计算及格或良好的学生人数；

（2）根据古典概型计算可得.

【详解】（1）由题意可知

抽取进行测试的人数为：

故测试中成绩为及格或良好的学生人数为人

（2）测试中成绩为优秀的有人，记作，，，

成绩为不及格的有人，记作甲，乙

从这6人随机抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，．，，{甲，乙}，共15个，

其中至少有一人不及格的基本事件有，，，，{甲，乙}，，，，，共9个．

故所抽取的2名学生中至少1人成绩为不及格的概率是．

20．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.

(1)求函数的解析式：

(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）根据题意由列出方程组，即可解出答案.

（2）求出函数的单调递增区间，即可求出的取值范围.

【详解】（1）∵的图象经过点，

∴，又，则，由条件，即，解得，代入解得，故

（2），，

令得或，

∴的单调递增区间为和；

由条件知或，

∴或.

21．已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)存在；最小值为3

【分析】（1）求导，然后分与讨论即可求解

（2）由题意可得恒成立，令，则由题意有，利用导数法求出的最大值即可求解

【详解】（1）∵，

当，，

∴在单调递增

当时，，

令，得，得

∴在单调递增，在单调递减

综上：时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减；

（2）∵，

∴，

∴，

∴

令，

∴

令，

∴在单调递减，

∵

∵

∴，使得，即，

当，，，单调递增，

当，，，单调递减，

∴，

∵，，

∴，

∴m的最小值为3

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）射线和射线与C的交点分别为A、B，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）用消参法得出曲线的普通方程，再由，可化直角坐标方程为极坐标方程；

（2）分别将和代入曲线C的极坐标得，由公式计算面积．

【详解】解：（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为：

即

根据，，可得：

曲线C的极坐标方程为：

（2）分别将和代入曲线C的极坐标得：

，

所以，

23．已知

(1)解不等式；

(2)若，求证：，使得成立．

【答案】(1)；

(2)证明见解析．

【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；

（2）由题知，进而问题转化为证明，再结合柯西不等式证明即可．

【详解】（1）可化为或或，

解得或或，

∴解集为

（2）

当时取“=”，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

故，使得.