2022-2023学年四川省宜宾市第六中学高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省宜宾市第六中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．在区间上任取一个数，则取到的数大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】在区间随机取个数，若取到的数大于，则，

由几何概型的概率公式可知，所求概率.

故选：D.

2．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（    ）

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(0，1)(2，3)

【答案】B

【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．

【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．

故选：B．

3．某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（    ）

A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件

C．A和C为对立事件 D．B与D为互斥事件

【答案】C

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解.

【详解】由题意可知：设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；

事件B：“击中环数大于8” 与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；

事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；

事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误.

故选：C.

4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%，则乙不输的概率为（    ）

A．80% B．60% C．40% D．20%

【答案】B

【分析】乙不输即是和棋或者获胜两种情况可求得结果.

【详解】甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%，

则乙获胜的概率为，

故乙不输的概率有.

故选：B.

5．已知复数满足，则复数的共轭复数（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法，结合共轭复数的概念求解即可

【详解】由已知可得，

所以.

故选：D.

6．函数的单调增区间（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】的定义域为，

，

令，解得，

故的单调递增区间为.

故选：A

7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调性，求出的范围即可．

【详解】解：，

若在递减，则在恒成立，

时，，满足题意，

时，令，解得，令，解得，

故在递增，在递减，不合题意，

综上，，

故选：．

【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．

8．设函数，曲线在点处的切线方程为．则（    ）

A．0 B．2 C．1 D．

【答案】C

【分析】对函数求导，再利用导数的几何意义求解作答.

【详解】函数，求导得，显然，

因此，解得，

所以.

故选：C

9．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可判断；

【详解】解：因为，所以，

当时，当或时，

即在上单调递增，在、上单调递减，结合图象可知只有B符合题意.

故选：B

10．若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】B

【分析】分离参数得,求导数得出函数的图象变化趋势，结合最值可得答案.

【详解】方程化为 ,令

则问题转化为的图象与直线有 2 个交点,

因为

当 时,单调递减,

当 时,,单调递增, 易知

且当正向无限趋近于时, 的取值无限趋近于正无穷大； 当无限趋近于正无穷大时, 的取值无限趋近于正无穷大；

故方程有两个不等的实数根时,.

故选：B.

11．已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式得到（为常数），再根据求出，即可得解.

【详解】依题意设，则，

因为对任意，都有，即，

所以（为常数），

所以，则，又，

所以，解得，

所以.

故选：D

12．已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解.

【详解】，则，

令，解得或；令， 解得，

，

故在单调递减，在单调递增，在单调递减，

且，

故，

任意的，都有成立，则，

因为，则，

当时，在单调递增，

所以，

故，即(舍去)；

当时，

令，解得；令， 解得，

故在上单调递减， 在上单调递增，

所以，

所以，即， 解得，

综上所述，实数的取值范围为.

故选：A

【点睛】不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图象在 上方即可)；

③分类讨论参数.

二、填空题

13．已知复数（是虚数单位），则它的模     

【答案】

【分析】根据复数模的计算公式计算可得.

【详解】因为，所以.

故答案为：

14．如图，给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值．若，则     

【答案】或

【分析】根据程序功能分类解方程可得.

【详解】由题意若，则，解得（正数舍去），

若，则，．

故答案为：或．

15．已知数列的前项和，当且时，观察下列不等式，，，，…，按此规律，则      .

【答案】

【分析】观察不等式，可得分子分母与n之间的关系，可得结论.

【详解】观察不等式，，，，…，

分母与项数n相同，分子为2n-1 ,

所以，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用问题，考查了合情推理中的归纳推理，属于容易题.

16．已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为     

【答案】

【分析】构造函数，利用导数求得的单调区间、极值，画出其大致图象，由此求得的取值范围.

【详解】令，有三个零点即与的图象有三个交点，，

当，或时，，当时，，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

的极大值为，极小值为，

当时，，

当时，，

结合图象与有三个交点，即.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：本题思路是令，转化为与的图象有三个交点，再利用导数判断出的单调性结合图象可得答案，本题考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了函数的零点个数求参数的取值范围的问题.

三、解答题

17．已知复数.

(1)当实数为何值时，复数为纯虚数；

(2)当实数为何值时，复数表示的点位于第四象限.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知结合复数为纯虚数的条件可建立关于m的方程及不等式，求出m的值；

（2）结合复数的几何意义可建立关于m的不等式组，再求出m的取值范围．

【详解】（1）复数

复数为纯虚数, ，解得

∴时，为纯虚数．

（2）复数表示的点位于第四象限，可得，解得，

当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，

∴m的取值范围为

18．已知函数在处取得极值3.

(1)求a，b的值；

(2)求函数在区间上的最值.

【答案】(1)，

(2)的最小值为0，最大值为12

【分析】（1）求出函数的导函数，利用极值的性质列方程组，即可求解，的值；

（2）由（1）可得函数及其导函数，利用导数求出的单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，从而可得最值．

【详解】（1）依题意，，因为在处取得极值3，

所以，解得，．

此时，显然当和时，，

当时，，故在单调递增，在单调递减，

所以在处取得极大值，

所以，．

（2）由（1）知，，，

当或时，，当时，，

所以在，，，上单调递增，在上单调递减，

，，，，

所以的最小值为0，最大值为12．

19．越来越多的人喜欢运动健身，其中徒步也是一项备受喜欢的运动.某单位为了鼓励更多的职工参与徒步运动，对一个月内每天达到10000步及以上的职工授予“运动达人”称号，其余的职工称为“运动参与者”.为了解职工的运动情况，选取了该单位120名职工某月的运动数据进行分析，结果如下：

(1)根据上表，判断是否有99%的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关？

(2)从具有“运动达人”称号的职工中按年龄段采用分层抽样的方法抽取6人参加某地区“万步有约”徒步大赛.若从选取的6人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，求“选取的2人中，中年职工最多有1人”的概率.

附表及公式：

其中，.

【答案】(1)有99%的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系

(2)

【分析】（1）将表中数据带入计算出答案，再与比较即可得出结论.

（2）分层抽样的方法抽取的6人中，中年职工有4人,青年职工有2人，利用列举法即可计算出答案.

【详解】（1）由题，

所以，有99%的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系.

（2）由已知，按照年龄段采用分层抽样的方法抽取的6人中，中年职工有4人，记为，，，；青年职工有2人，记为，.

从这6人中选取2人包含的所有基本事件分别为：

，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件.

“选取的2人中，中年职工最多有1人”包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.

设C表示事件“选取的2人中，中年职工最多有1人”，则.

20．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.

(1)求函数的解析式：

(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）根据题意由列出方程组，即可解出答案.

（2）求出函数的单调递增区间，即可求出的取值范围.

【详解】（1）∵的图象经过点，

∴，又，则，由条件，即，解得，代入解得，故

（2），，

令得或，

∴的单调递增区间为和；

由条件知或，

∴或.

21．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数r=，≈1.414.

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析

【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；

（2）利用公式计算即可；

（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.

【详解】（1）样区野生动物平均数为，

地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为

（2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为

（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，

由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，

采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，

从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

22．已知函数．

（1）时，求的极值；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.

【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到导函数的单调性，又，即可得到的单调性，从而得到其极值；

（2）依题意可得，求出函数的导函数，从而得到函数的单调性与最值，依题意可知，即可得到，其中，再根据的性质求出的取值范围，从而求出参数的取值范围；

【详解】解：（1）时，，，则，

可知为的增函数，且，

当，，单调递减；当，，单调递增，

所以时，取得极小值，无极大值．

（2）由题知，，，

可知在区间上单调递增，

且当时，，当时，，

所以，存在，使得，即，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以，，

即，由，得，即，

所以，即，

由于为的单调递增函数，且，

则有，

因为，，所以为上的增函数，则当时，，

所以的取值范围为．