人教版（中职）基础模块上册5.2 任意角的三角函数优秀教案

5.2.3  诱导公式

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第五章；

教材内容：角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质；

地位与作用：本章内容为高中一年级基础模块上册第五章，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要学习角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质.通过本章内容学习，学生应初步掌握任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式、函数y=f(sinx)的最值、正弦型函数图象和性质及定理的应用.

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；
2. 通过诱导公式学习，理解角α与α+k·2π（k∈Z）、角α与-α、角α与α±π、角α与α+三角函数间的关系，掌握三角函数的诱导公式，学会利用三角函数的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数；
3. 职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过复习初中所学锐角三角函数值的求解方法，引出任意角的三角函数与锐角三角函数间的联系，使同学们掌握利用三角函数的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.

学习目标

1. 理解角α与α+k·2π（k∈Z）、角α与-α、角α与α±π、角α与α+三角函数间的关系；
2. 学生运用分组探讨、合作学习，掌握三角函数的诱导公式，学会利用三角函数的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，提高学生的数学运算能力；
3. 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。

学习重难点

1. 理解角α与α+k·2π（k∈Z）、角α与-α、角α与α±π、角α与α+三角函数间的关系；
2. 掌握三角函数的诱导公式；
3. 利用三角函数的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

问题情境：在初中，我们已会求锐角三角函数值.这节我们将研究任意角的三角函数与锐角三角函数间的某些关系，以及如何求任意角的三角函数值．

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解答。

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

1.角α与α+k·2π(k∈Z）的三角函数间的关系

在平面直角坐标系中，α与α+k·2π(k∈Z）的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等、即

sin（α+k·2π）=sinα,

cos（α+k·2π）=cosα,   (k∈Z） ①

tan（α+k·2π）=tanα.

利用上述公式①，我们可把任意角的三角函数问题转化为0～2π之间的角的三角函数问题．

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解角α与α+k·2π（k∈Z）三角函数间的关系，学会灵活运用

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，学会将任意角的三角函数问题转化为0～2π之间的角的三角函数问题，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1. 求下列各三角函数的值.

（1）；（2）；（3）tan405°.

解   （1）；

（2）；

（3）tan405°=tan(45°+360°)=tan45°=1.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动四：

调动思维

探究新知

2.角α与-α的三角函数间的关系

如图5-19所示。设单位圆与角α、角-α的终边的交点分别为P和P′，容易看出，点P和点P′关于 x 轴对称.已知点 P 的坐标是（cosα,sinα)，则 P′的坐标是（cosα,-sinα)，于是，得

sin（-α）=-sinα,

cos（-α）=cosα,           ②

tan（-α）=-tanα.

利用公式②，任意负角的三角函数都可用正角的三角函数表示．

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解角α与-α三角函数间的关系，学会灵活运用

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，学会将任意负角的三角函数都可用正角的三角函数表示，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动五：

巩固练习

素质提升

例 2. 求下列各三角函数的值.

（1）；（2）；

（3）；（4）.

解   （1）；

（2）；

（3）；

（4）

.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动六：

调动思维

探究新知

3.角α与α±π的三角函数间的关系

设角α与α±π的终边与单位圆分别交于点 P 和 P′（图5-20)．容易看出，点 P 与点 P′关于原点对称，它们的对应坐标互为相反数，所以

sin(α±π)=-sinα；

cos(α±π)=-cosα；        ③

tan(α±π)=tanα.

4.角α与角α＋的三角函数间的关系

由图5-21可以得到下面一组公式：

,

.        ④

读一读

如图5-21所示，角α的终边与单位圆的交点为 P ，角α＋的终边与单位圆的交点为P'，则点 P 的坐标是( cosα, sinα)，点P′的坐标（cos（α＋），sin ( α＋))，过点 P 作 PM 垂直x轴于点 M ，过点 P'作 P'M'垂直x轴于点M' ，易证△P'M'O△OMP，由此可证明公式④.      

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解角α与α±π、角α与角α＋的 三角函数间的关系，学会灵活运用

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，学会将任意负角的三角函数都可用正角的三角函数表示，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动七：

巩固练习

素质提升

例 3. 求下列各值.

（1）；（2）sin150°.

解   （1）；

（2）sin150°=sin（90°+60°）=cos60°=.

公式①②③④都称为三角函数的诱导公式，利用这些公式可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．          

例 4. 求下列各三角函数的值.

（1）；     （2）；

（3）；（4）sin930°.

解  （1）；

（2）

；

（3）

；

（4）sin930°=sin（30°+5×180°）=sin（30°+180°）

=-sin30°.

试一试：

证明：

注：

当遇到kπ-α形式的角时，把它看作（-α+kπ），再用诱导公式.

例 5. 证明：

证明 

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

分组讨论，并尝试自行完成教材中“试一试”的证明

分组讨论，并理解教材中“注”的内容

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

；

例 6. 化简：

.

解  原式=

=

=.

活动八：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P167  ——   A组1. /2./3.

B组2.

活动九：

板书设计

5.2.3 诱导公式

一、基本关系式                                       例题                 小结  

二、使用方法                                         练习                 作业

活动十：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。