中职数学人教版（中职）基础模块上册5.2 任意角的三角函数教案

这是一份中职数学人教版（中职）基础模块上册5.2 任意角的三角函数教案，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学过程等内容，欢迎下载使用。


【教学目标】
1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证明．
2. 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力．
3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想．
【教学重点】
同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）．
【教学难点】
同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用．
【教学方法】
本节主要采用讲练结合的方法．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用．课堂中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主探究问题并解决问题，使学生熟练用方程（组）解决问题的方法．
【教学过程】
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
导
入
O cs  x
P(cs ，sin )
y
sin 
1
复习三角函数定义、单位圆和三角函数线、勾股定理．
教师提出问题，学生回答．
推出
sin2＋cs2＝1
EQ \F(sin ,cs ) ＝tan 
这两个基本关系式．
新
课
在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理，可得同角三角函数的基本关系式：
sin2 ＋cs2＝1；
EQ \F(sin ,cs ) ＝tan  ．

师讲解：
1．sin2，cs2 的读法、写法．
2．让学生验证30°，45°，60°的正弦，余弦，正切值满足两个关系式．
3．“同角”的概念与角的表达形式无关，如：sin2 β＋cs2 EQ β＝1．
4．同角的意义：一是“角相同”；
二是“任意一个角”．
初步认识和记忆两个关系式，理解“同角”的含义．
应

用
举
例
应

用
举
例
当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数定义，就可求出这个角的另外几个三角函数值．此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．
同角三角函数的基本关系式应用之一：
求值．
例1 已知sin ＝ EQ \F(4,5) ，且  是第二象限的
角，求  的余弦和正切值．
解 由 sin2＋cs2＝1，得
cs ＝± EQ \R(,1－sin2) ．
因为 是第二象限角，cs ＜0,
所以 cs ＝－ EQ \R(,1－( EQ \F(4,5))2) ＝－ EQ \F(3,5) ，
tan ＝ EQ \F(sin ,cs ) ＝ EQ \F( EQ \F(4,5) ,－ EQ \F(3,5) ) ＝－ EQ \F(4,3) ．
例2 已知 tan ＝－ EQ EQ \R(,5) ，且  是第二象
限角，求 的正弦和余弦值．
解 由题意得
EQ sin2 ＋cs2 ＝1， ①
EQ \F(sin ,cs ) ＝－ EQ EQ \R(,5) ． ②
由②，得sin ＝－ EQ \R(,5) cs  ，代入①式得
6 cs2＝1，
cs2＝ EQ \F(1,6) ．
因为 是第二象限角，
所以 cs ＝－ EQ \F( EQ \R(,6) ,6) ，代入③式得
sin α＝－ EQ EQ \R(,5) cs α
＝－ EQ EQ \R(,5) ×(－ EQ \F( EQ \R(,6) ,6) )
＝ EQ \F( EQ \R(,30) ,6) ．
同角三角函数的基本关系式应用之二：
化简．
例3 化简： EQ \F(sin θ－cs θ,tan θ－1) ．
解 原式＝ EQ \F(sinθ－cs θ, EQ \F(sin θ,cs θ) －1) ＝ EQ \F(sinθ－cs θ, EQ \F(sin θ－cs θ,cs θ) )
＝csθ．
同角三角函数的基本关系式应用之三：
证明．
例4 求证：
（1） sin4 －cs4 ＝2 sin2－1；
（2） tan2 －sin2＝tan2 sin2；
（3） EQ \F(cs x, 1－sin x) ＝ EQ \F(1＋sin x, cs x) ．
证明：
（1）原式左边＝(sin2＋cs2)(sin2－cs2)
＝sin2－cs2
＝sin2－(1－sin2)
＝2 sin2－1
＝右边．
因此sin4 －cs4 ＝2 sin2 －1．
（2）原式右边＝tan2  (1－cs2 )
＝tan2 －tan2 α cs2 
＝tan2 － EQ \F(sin2 ,cs2 ) cs2 
＝tan2 －sin2 
＝左边．
因此 tan2 －sin2  ＝tan2  sin2 ．
（3）证法1：
因为 EQ \F(cs x,1－sin x)－ EQ \F(1＋sin x, cs x)
＝ EQ \F( cs2 x－(1－sin x)2,(1－sin x)cs x)
＝ EQ \F( cs2 x－cs2 x,(1－sin x)cs x)
＝0．
所以 EQ \F(cs x, 1－sin x) ＝ EQ \F(1＋sin x, cs x) ．
证法2：因为 左边＝ EQ \F(cs x,1－sin x) · EQ \F(cs x,cs x)
＝ EQ \F(cs2 x,(1－sin x)cs x)；
右边＝ EQ \F(1＋sin x, cs x) · EQ \F(1－sin x,1－sin x)
＝ EQ \F(cs2 x,(1－sin x) cs x)．
所以 左边＝右边．
即原等式成立．
例1鼓励学生自己解决，教师只在开方时点拨符号问题．
练习：教材 P141，练习A组第1（2）（3）题．
小结步骤：已知正弦（或余弦）求余弦（或正弦）求正切．
例2可在教师的引导下解决，带领学生详细解方程组．
练习：教材P141，练习A组第1（4）题．
小结步骤：知正切求余弦（或正弦）．
师：求值题目总结
1．注意同角三角函数的基本关系式的变形应用．
2．已知sin ，cs ，tan中的任意一个，可以用方程（组）求出其余的两个．
教师小结化简方法：
把切函数化为弦函数．
练习：教材P142，练习A组第 2题，练习B组第1题．
教师提示：证明恒等式一般从繁到简，从高次到低次．从左向右，或从右向左，或从两头向中间来证明．
可让学生自己先独立探索证明思路，再小组讨论．教师在证明思路和解题格式上给予指导．
由学生完成证明，展示不同证法，分析优劣．
对（3）作分析：
思路1：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零．
思路2：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果．
练习：教材P 142，练习A组第3题，练习B组第2题．
多练几个类似例题的题目，使学生熟练两个基本关系式的应用和用方程求值的方法．
灵活应用公式，加快运算速度．为下面运用公式化简和证明做好知识铺垫．
通过讨论探究，使学生进一步熟练公式的各种变形.培养学生的发散思维，提高综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
小
结
1. 同角三角函数的基本关系式
sin2＋cs2＝1，
EQ \F(sin ,cs ) ＝tan ．
2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事项．
师生共同总结．
作
业
必做题：
写出同角三角函数的基本关系式，并写出其变形公式．
选做题：
教材P 142，练习B组第3题．
教材课后练习A组已融在新课中．