2023新教材高中物理第一章安培力与洛伦兹力专题一带电粒子在组合场和复合场中的运动作业新人教版选择性必修第二册

专题一　带电粒子在组合场和复合场中的运动

1.带电粒子在电磁场中的受力情况

(1)带电粒子垂直进入匀强磁场时，受洛伦兹力的作用，方向既与速度方向垂直，又与磁场方向垂直，通过左手定则判断。

(2)带电粒子在电场中受静电力的作用，方向与电场方向平行，正电荷受力方向与电场方向相同，负电荷受力方向与电场方向相反。

(3)带电的微观粒子如电子、质子和各种离子，由于质量较小，重力通常远小于静电力和洛伦兹力，无特别说明时，一般不计重力。带电的宏观小球、液滴、尘埃，由于质量较大，重力通常与静电力和洛伦兹力相当，一般要考虑重力。

2．带电粒子在复合场中常见运动形式

(1)带电粒子在复合场中做匀速圆周运动

带电粒子进入匀强电场、匀强磁场和重力场共同存在的复合场中，重力和静电力等大反向，两个力的合力为零，粒子运动方向和磁场方向垂直时，带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。

(2)带电粒子在匀强电场、匀强磁场和重力场中做直线运动

带电粒子在匀强电场、匀强磁场和重力场中的直线运动应该是匀速直线运动，这是因为静电力和重力都是恒力，若它们的合力不与洛伦兹力平衡，则带电粒子速度的大小和方向都会改变，就不可能做直线运动。(粒子沿磁场方向运动除外)

3．带电粒子在组合场中运动的隐藏条件：带电粒子通过边界位置时速度大小和方向都不变。

典型考点一　带电粒子在组合场中的运动问题

1．如图所示，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xOy平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负向。在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d,0)点沿垂直于x轴的方向进入电场。不计重力。若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：

(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值；

(2)该粒子在电场中运动的时间。

答案　(1)v0tan2θ　(2)

解析　(1)如图，粒子进入磁场后做匀速圆周运动。

设磁感应强度的大小为B，粒子质量与所带电荷量分别为m和q，圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得qv0B＝m①

由题设条件和图中几何关系可知：r＝d②

设电场强度大小为E，粒子离开电场时沿x轴负方向运动的速度大小为vx，由牛顿第二定律有：qE＝max③

根据运动学公式有：vx＝axt，·t＝d④

由于粒子在电场中做类平抛运动，有：tanθ＝⑤

由①②③④⑤式联立解得：＝v0tan2θ

(2)由④⑤式联立解得：t＝。

2．如图甲所示，建立xOy坐标系。两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和两板间距均为l。在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电荷量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子。在0～3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)。已知t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t0、B为已知量。(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)

(1)求电压U0的大小；

(2)求t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；

(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

答案　(1)　(2)　(3)2t0时刻　

解析　(1)t＝0时刻进入两板间的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为l，则有E＝①

qE＝ma②

l＝at③

联立①②③式，解得两板间偏转电压为U0＝。④

(2)t0时刻进入两板间的带电粒子，前t0时间在电场中偏转，后t0时间两板间没有电场，带电粒子做匀速直线运动。

带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v0＝⑤

带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为vy＝a·t0⑥

带电粒子离开电场时的速度大小为v＝⑦

设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有

qvB＝m⑧

联立③⑤⑥⑦⑧解得R＝。⑨

(3)粒子进入磁场时速度与y轴正方向的夹角越小，在磁场中运动的时间越短。2t0时刻进入两板间的带电粒子恰好从P板右边缘进入磁场，在磁场中的运动时间最短。

带电粒子离开电场时沿y轴正方向的分速度为vy′＝at0⑩

设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则tanα＝⑪

联立③⑤⑩⑪解得α＝⑫

带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，

圆弧所对的圆心角2α＝，

所求最短时间为

tmin＝T⑬

带电粒子在磁场中运动的周期为T＝⑭

联立⑬⑭式得tmin＝。

典型考点二　带电粒子在复合场中的运动问题

3．一个质量m＝0.1 g的小滑块，带有q＝5×10－4 C的电荷量，放置在倾角α＝30°的光滑斜面上(绝缘)，斜面固定且置于B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图所示，小滑块由静止开始沿斜面滑下，斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面(g取10 m/s2)。求：

(1)小滑块带何种电荷？

(2)小滑块离开斜面时的瞬时速度多大？

(3)该斜面长度至少多长？

答案　(1)负电荷　(2)3.5 m/s　(3)1.2 m

解析　(1)小滑块在沿斜面下滑的过程中，受重力mg、斜面支持力FN和洛伦兹力F作用，若要使小滑块离开斜面，则洛伦兹力F应垂直斜面向上，如图所示，根据左手定则可知，小滑块带负电荷。

(2)小滑块沿斜面下滑的过程中，垂直于斜面的加速度为零，由平衡条件得F＋FN＝mgcosα，当支持力FN＝0时，小滑块脱离斜面。设此时小滑块速度为vmax，此时小滑块所受洛伦兹力F＝qvmaxB，所以vmax＝＝ m/s＝2 m/s≈3.5 m/s。

(3)当刚滑到斜面底端时，小滑块离开斜面，此种情况斜面长度最短。因为下滑过程中只有重力做功，

由动能定理得mglsinα＝mv－0，

所以斜面长至少为l＝＝ m＝1.2 m。

4．如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里。一带正电的粒子(不计重力)从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t0时间从P点射出。

(1)求电场强度的大小和方向；

(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射入，经时间恰好从半圆形区域的边界射出。求粒子运动加速度的大小；

(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，但速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间。

答案　(1)　方向沿x轴正方向

(2)　(3)t0

解析　(1)因为带电粒子进入复合场后做匀速直线运动，

则qv0B＝qE①

R＝v0t0②

由①②联立解得E＝，方向沿x轴正方向。

(2)若仅撤去磁场，带电粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴正方向做匀速直线运动y＝v0·＝③

沿x轴正方向做匀加速直线运动x＝a2＝④

由几何关系知x＝ ＝R⑤

解得a＝。

(3)仅有磁场时，入射速度v′＝4v0，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r，由牛顿第二定律有

qv′B＝m⑥

又qE＝ma⑦

可得r＝⑧

如图所示，由几何知识得

sinα＝⑨

即sinα＝，α＝⑩

带电粒子在磁场中运动的周期T＝⑪

则带电粒子在磁场中运动的时间t′＝T⑫

联立解得t′＝t0。

典型考点三　带电粒子在组合场和复合场中的运动实例分析

5．医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示。由于血液中的正、负离子随血液一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看做是匀强电场，血液中的离子所受的静电力和洛伦兹力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为(　　)

A．1.3 m/s，a正、b负  B．2.7 m/s，a正、b负

C．1.3 m/s，a负、b正  D．2.7 m/s，a负、b正

答案　A

解析　由于正、负离子在匀强磁场中垂直于磁场方向运动，并在a、b之间形成电势差，利用左手定则可以判断：a电极带正电，b电极带负电。当离子所受静电力与洛伦兹力大小相等时达到稳定状态，即qvB＝qE，得v＝＝≈1.3 m/s，故A正确。

6．汤姆孙测定电子比荷(电子的电荷量与质量之比)的实验装置如图所示。真空玻璃管内，阴极K发出的电子经加速后，穿过小孔A、C沿中心轴线OP1进入到两块水平正对放置的极板D1、D2间的区域，射出后到达右端的荧光屏上形成光点。若极板D1、D2间无电压，电子将打在荧光屏上的中心P1点；若在极板间施加偏转电压U，则电子将打在P2点，P2与P1点的竖直间距为b，水平间距可忽略不计。若再在极板间施加一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场(图中未画出)，则电子在荧光屏上产生的光点又回到P1点。已知极板的长度为L1，极板间的距离为d，极板右端到荧光屏间的距离为L2。忽略电子的重力及电子间的相互作用。

(1)求电子进入极板D1、D2间区域时速度的大小；

(2)推导出电子的比荷的表达式；

(3)若去掉极板D1、D2间的电压，只保留匀强磁场B，电子通过极板间的磁场区域的轨迹为一个半径为r的圆弧，阴极射线射出极板后落在荧光屏上的P3点。不计P3与P1的水平间距，求P3与P1点的竖直间距y。

答案　(1)　(2)＝

(3)r－＋

解析　(1)电子在极板D1、D2间静电力与洛伦兹力的作用下沿中心轴线运动，即受力平衡，设电子进入极板间时的速度为v。

由平衡条件有evB＝eE

两极板间电场强度E＝

解得v＝。

(2)极板间仅有偏转电场时，电子以速度v进入后，水平方向做匀速运动，在电场内的运动时间t1＝

电子在竖直方向做匀加速运动，设其加速度为a

由牛顿第二定律有eE＝ma

解得加速度a＝，

电子射出极板时竖直方向的偏转距离

y1＝at＝

电子射出极板时竖直方向的分速度为vy＝at1＝

电子离开极板间电场后做匀速直线运动，经时间t2到达荧光屏，t2＝

电子在t2时间内在竖直方向运动的距离

y2＝vyt2＝

这样，电子在竖直方向上的总偏移距离b＝y1＋y2

解得电子比荷＝。

(3)极板D1、D2间仅有匀强磁场时，电子做匀速圆周运动，射出磁场后电子做匀速直线运动，如图所示。

则tanθ＝

穿出磁场后在竖直方向上移动的距离y3＝L2tanθ＝

则y＝r－＋y3

解得y＝r－＋。

1．带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将(　　)

A．可能做直线运动   B．可能做匀变速运动

C．可能做匀速圆周运动   D．一定做曲线运动

答案　D

解析　在图示时刻，质点所受合力方向与质点速度方向相反，质点做减速运动，质点速度减小，由F＝qvB可知，质点受到的洛伦兹力减小，则质点所受重力与洛伦兹力的合力与速度方向不再在同一直线上，质点将做曲线运动，A错误，D正确；由于合力方向与速度方向不垂直，质点不可能做匀速圆周运动，C错误；洛伦兹力是变力，则合力是变力，故质点不可能做匀变速运动，B错误。

2. 如图所示，一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，不计重力，在a点以某一初速度水平向左射入磁场区域Ⅰ，沿曲线abcd运动，ab、bc、cd都是半径为R的圆弧，粒子在每段圆弧上运动的时间都为t。规定垂直于纸面向外的磁感应强度为正，则磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的磁感应强度B随x变化的关系可能是选项中的(　　)

答案　C

解析　由左手定则可判断出磁感应强度B在磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内方向分别为垂直纸面向外、向里和向外，在三个区域中均运动圆周，故t＝，由于粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝＝4t，求得B＝，又垂直于纸面向外的磁感应强度为正，故C正确。

3. (多选)利用如图所示的方法可以测得金属导体中单位体积内的自由电子数n，现测得一块横截面为矩形的金属导体的宽为b，厚为d，并加有与侧面垂直的匀强磁场B，当通以图示方向电流I时，在导体上、下表面间用电压表可测得电压为U。已知自由电子的电荷量为e，则下列判断正确的是(　　)

A．上表面电势高

B．下表面电势高

C．该导体单位体积内的自由电子数为

D．该导体单位体积内的自由电子数为

答案　BD

解析　画出平面图如图所示，由左手定则可知，自由电子向上表面偏转，故下表面电势高，B正确，A错误。再根据e＝evB，I＝neSv＝nebdv得n＝，故D正确，C错误。

4．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°。一质量为m、电荷量为＋q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t(忽略粒子重力)。求：

(1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹；

(2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径r1和r2比值；

(3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小。

答案　(1)图见解析　(2)2∶1

(3)Ⅰ区：　Ⅱ区：

解析　(1)设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出，运动轨迹如图所示。

(2)设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直A2A4进入Ⅱ区磁场，连接A1、A2，△A1OA2为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径

r1＝A1A2＝OA2＝r

带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA4的中点，

即r2＝

粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径r1和r2的比值＝＝2∶1。

(3)用B1、B2、T1、T2分别表示在磁场Ⅰ区、Ⅱ区中的磁感应强度和周期，

qvB1＝m，qvB2＝m

T1＝，T2＝

圆心角∠A1A2O＝60°，

带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t1＝

在Ⅱ区磁场中运动的时间为t2＝

带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t＝t1＋t2

由以上各式可得B1＝，B2＝。

5．如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点。不计重力。求：

(1)电场强度的大小；

(2)粒子到达P2时的速度；

(3)磁感应强度的大小。

答案　(1)　(2)v0，方向与x轴成45°角

(3)

解析　(1)粒子在电场中做类平抛运动，设粒子从P1到P2的运动时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，

由牛顿第二定律及运动学公式有：

v0t＝2h

qE＝ma

at2＝h

联立可得：E＝。

(2)设粒子到达P2时速度为v，方向与x轴的夹角为θ，其竖直分速度为v1，则

v＝2ah

解得v1＝v0

tanθ＝＝1

则θ＝45°

速度的大小为v＝＝v0。

(3)如图是粒子在电场、磁场中运动的轨迹图。设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动的半径为r，

根据几何关系可知r＝h，

由牛顿第二定律qvB＝m

所以B＝。

6. 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：

(1)电场强度E的大小；

(2)磁感应强度B的大小；

(3)粒子在复合场中的运动时间。

答案　(1)　(2) 　(3)

解析　(1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲，

所以，＝tan45°，得E＝。

(2)由O到A的过程中，微粒受力平衡，有

qvB＝mg

电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙，

则qvB＝m

由几何知识可得：r＝l

联立解得：v＝

B＝。

(3)微粒做匀速直线运动的时间：t1＝＝

做圆周运动的时间：t2＝＝

在复合场中运动的时间：t＝t1＋t2＝。

7．如图甲所示，在两相距2R、水平放置的平行金属板P、Q间，一质量为m、电荷量为q的带电粒子以速度v0＝沿板间水平中轴线O1O2从O1点射入，刚好打在下极板的中点B，现在两极板间加上竖直向下的匀强电场，粒子恰好能沿O1O2做直线运动，已知重力加速度为g，求：

(1)极板长度L；

(2)粒子带何种电荷？P、Q间电压U为多少？

(3)若在极板竖直中线AB右侧区域再加上一垂直纸面向里的匀强磁场(如图乙)，要使从O1射入的粒子能从P、Q板间射出，匀强磁场B的大小范围。

答案　(1)4R　(2)负电荷　

(3)B＜或B＞

解析　(1)极板不带电时，粒子做平抛运动，

则有：R＝gt2，＝v0t

解得：L＝4R。

(2)加上电场后，粒子在竖直方向受力平衡，

电场方向竖直向下，粒子所受静电力方向竖直向上，故粒子带负电。

根据平衡条件，mg＝qE＝q，

解得：U＝。

(3)加上磁场后，粒子在AB右侧做匀速圆周运动，设圆周半径为r，则有：

qv0B＝m

粒子刚好从下极板右侧射出磁场时(图甲)，由几何关系得：

r＝(2R)2＋(r1－R)2

解得：r1＝2.5R，B＝

粒子刚好从下极板B点射出磁场时(图乙)，由几何关系可得：

r2＝0.5R

B＝

综上所述，要使粒子能从P、Q板间射出，则有：

B＜或B＞。

8. 如图所示，在xOy平面的第一、四象限内存在着方向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，第四象限内存在沿y轴负方向、电场强度为E的匀强电场。从y轴上纵坐标为a的一点向磁场区发射速度大小不等带正电的同种粒子，速度方向范围是与y轴正方向成30°～150°，且在xOy平面内。结果所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到x轴上，然后进入第四象限的匀强电场区。已知带电粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。求：

(1)垂直y轴方向射入磁场的粒子运动的速度大小v1；

(2)粒子在第一象限的磁场中运动的最长时间以及对应的射入方向；

(3)从x轴上x＝(－1)a点射入第四象限的粒子穿过电磁场后经过y轴上y＝－b的点，求该粒子经过y＝－b点的速度大小。

答案　(1)

(2)　粒子初速度与y轴正方向夹角为30°

(3)

解析　(1)垂直y轴方向射入磁场的粒子运动轨迹如图所示。

粒子运动的圆心在O点，轨迹半径r1＝a

由牛顿第二定律得：qv1B＝m

解得：v1＝。

(2)粒子在第一象限磁场中的偏转角越大，则在第一象限

运动的时间越长，则当粒子初速度与y轴正方向夹角为30°时，粒子在第一象限的磁场中运动的时间最长，

此时在第一象限的磁场中轨道对应的圆心角α＝150°

粒子在磁场中运动的周期：T＝

则粒子在第一象限的磁场中运动的最长时间：

t＝T＝×＝。

(3)如图所示，设粒子射入磁场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，

由几何知识得：

R－Rcosθ＝(－1)a

Rsinθ＝a

解得：θ＝45°，R＝a

设此粒子进入磁场的速度为v0，v0＝＝

设粒子穿过电磁场到达y轴上的速度为v，

根据动能定理得：qEb＝mv2－mv

解得：v＝ 。