北京市房山区良乡第二中学2023-2024学年上学期九年级开学数学试卷+

2023-2024学年北京市房山区良乡二中九年级（上）开学数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  正五边形的外角和为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用配方法解方程，配方后的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  矩形具有而菱形不具有的性质是(    )

A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等

5.  某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月下降原来每件产品的成本是元，两个月后降至元，若产品成本的月平均降低率为，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知一次函数，那么下列结论正确的是(    )

A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象必经过点 D. 当时，

7.  方差的统计含义：表示一组数据的每个数(    )

A. 偏离它的众数的差的平均值 B. 偏离它的平均数的差的绝对值的平均值
C. 偏离它的中位数的差的平方数的平均值 D. 偏离它的平均数的差的平方数的平均值

8.  下面的四个问题中都有两个变量：变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象的是(    )

A. 汽车从地匀速行驶到地，汽车的行驶路程与行驶时间
B. 用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长与另一条边长
C. 将水匀速注入水箱中，水箱中的水量与注水时间
D. 在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度与所挂重物质量
 

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  在平面直角坐标系中，点和点关于______ 轴对称．

10.  函数的定义域是______．

11.  如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点、分别是边、的中点，量得米，则的长是______ 米

12.  已知关于的方程有一个根为，则的值为______．

13.  若关于的方程有两个相等的实数根，则______．

14.  九章算术是中国传统数学最重要的著作，在九章算术中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原处竹子尺远，则原处还有几尺的竹子？这个问题中，如果设原处还有尺的竹子，则可列方程为______ 注：丈尺

15.  下表记录了四名运动员米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会米短跑项目，应选择______ ．

16.  如图，在▱中，为的中点，点，为▱同一边上任意两个不重合的动点不与端点重合，，的延长线分别与▱的另一边交于点，，连接，，下面四个推断：
；
；
若▱是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；
对于任意的▱，存在无数个四边形是矩形；
其中，所有正确的有______ 填写序号

三、解答题（本大题共11小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：
．
．

18.  本小题分
一次函数的图象经过点和．
求这个一次函数的表达式；
画出该函数的图象；
结合图象回答：当时，的取值范围是______ ．

19.  本小题分
在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以三点，，为顶点的平行四边形”．
小怀的作法如下：
分别连接线段，；
以点为圆心，长为半径，在上方作弧，以点为圆心，长为半径，在右侧作弧，两弧交于点；
分别连接线段，所以四边形就是所求作的平行四边形．
根据小怀的作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明： ______ ， ______ ，
四边形是平行四边形______ 填推理的依据．

20.  本小题分
近日，某高校举办了一次以“中国梦青春梦”为主题的诗歌朗诵比赛，共有名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分：
样本成绩频数分布表

样本成绩频数分布直方图

请根据所给信息，解答下列问题：
______，______，______；
请补全频数分布直方图；
若成绩在分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的名学生中成绩优秀的有多少名？

21.  本小题分
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为按要求画四边形，使它以为对角线，且四个顶点均落在格点上：
在图中画一个平行四边形；
在图中画一个矩形；
在图中画一个正方形．

 

22.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若该方程有一个根小于，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，在高，宽的长方形墙面上有一块长方形装饰板图中阴影部分，装饰板的上面和左右两边都留有相同宽度的空白墙面若长方形装饰板的面积为，那么相同的宽度应该是多少米？

24.  本小题分
如图，▱的对角线、交于点，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点．
求证：；
连结、，如果，且恰好是的中点，求证：四边形是矩形．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移得到一次函数，若平移后的函数图象经过点，
求，的值；
对于自变量的每一个值，一次函数，和，所对应的函数值分别记为，，，若当时，总有，请你直接写出的取值范围．

26.  本小题分
如图，正方形中，点在边上，延长至，连结，使，平分，交于点，连接、、．
依题意补全图形；
判断的形状，并证明；
用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点对于点给出如下定义：若，，点在轴下方，点关于原点的对称点为，我们称点为点关于点为直角顶点的“变换点”．
在图中分别画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、；
连结，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：任意多边形的外角和都是，
故正五边形的外角和的度数为．
故选：．
根据多边形的外角和等于，即可求解．
本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是．

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．

3.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：．
将方程常数移到右边，再配方方程两边同时加上即可得到答案．
本题考查了解一元二次方程的方法配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选B．
根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：设产品成本的月平均降低率是，
由题意得，．
故选：．
设产品成本的月平均降低率是，表示出产品降价个月之后的价钱，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据平均变化率表示出变化后的量，经过两次变化后的数量关系为．

6.【答案】 

【解析】解：、由于一次函数的，所以的值随的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数的，，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将代入中得，等式成立，所以在上，故该选项符合题意；
D、一次函数的，所以的值随的值增大而减小，所以当时，，故该选项不符合题意．
故选：．
根据一次函数的性质逐项进行分析即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：方差的统计含义：表示一组数据的每个数偏离它的平均数的差的平方数的平均值．
故选：．
根据方差的意义解答即可．
本题考查了方差，掌握一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差是关键．

8.【答案】 

【解析】解：汽车行驶的路程随行驶时间的增加而增加，故选项A不符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长随的增加而减小，故选项B符合题意；
将水匀速注入水箱中，水量随的增加而增加，故选项C不符合题意；
在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度随的增加而增加，故选项D不符合题意．
故选：．
选项A根据汽车行驶的路程随行驶时间的增加而增加判断即可；选项B根据随的增加而减小判断即可；选项C根据水量随的增加而减小判断即可；选项D根据弹簧挂重物伸长后的总长度随的增加而增加判断即可．
本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：点和点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
点和点关于轴对称．
故答案为：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
此题主要考查了坐标与图形变化对称，关于轴、轴对称的点的坐标的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的知识点为二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数．
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，列不等式求解．
【解答】
解：根据题意得：，解得．
故答案为．

11.【答案】 

【解析】解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
米，
米，
故答案为：．
根据三角形的中位线定理计算即可．
本题考查了三角形的中位线定理，熟知：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入方程得，然后解关于的方程．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

13.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据题意，关于的方程有两个相等的实数根，由根的判别式得出关于的方程，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
故答案为：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

15.【答案】乙 

【解析】解：由表中数据得到乙运动员和丁运动员的成绩较好，
因为，
所以乙运动员比丁运动员发挥稳定，
所以应该选择乙运动员参加市运动会．
故答案为：乙．
先从平均数可判断乙运动员和丁运动员的成绩较好，然后根据方差的意义可判断乙运动员比丁运动员发挥稳定．
本题考查方差：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

16.【答案】、 

【解析】解：如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，与不一定相等，故错误，正确，
若四边形是菱形，
，
点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，
，
不存在四边形是菱形，故错误，
当时，则，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，故正确，
故答案为：、．
由“”可证≌，可得≌，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故错误，正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断错误，正确，即可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键．

17.【答案】解：，
移项得：，
化简得：．
两边开方得：，
解得：，；
，
移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
原方程的解是：，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】将和分别代入，得：
，
解得：，
这个一次函数的表达式为：；
当时，，
函数图象过点和．
画出函数图象如图所示：
观察函数图象发现：
当时，函数图象在轴下方，即，
的取值范围时．
根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数表达式；
令求出的值，根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标即可画出函数图象；
寻找到函数图象在轴下方时的取值范围，此题得解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的图象，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题关键．

19.【答案】    两组对边分别相等的四边形是平行四边形 

【解析】解：如图所示，

，，
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
依照作图步骤作图即可；
由平行四边形的判定定理解答即可．
本题考查了作图能力，平行四边形的判定定理是解题关键．

20.【答案】解：；；；
 补全直方图如下：

名，
答：估计参加这次比赛的名学生中成绩优秀的有名． 

【解析】【分析】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
先由的频数与频率求得总数，再根据频率频数总数可分别求得、、的值；
根据中所求结果即可补全直方图；
用总人数乘以样本中分及以上人数占总人数的比例即可得．
【解答】
解：，
，，，
故答案为；；；
见答案；
见答案．

21.【答案】解：如图：

如图：▱即为所求；
如图：矩形即为所求；
如图：正方形即为所求． 

【解析】根据网格线的特点及平行四边形的判定作图；
根据网格线的特点及矩形的判定作图；
根据网格线的特点及正方形的判定作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．

22.【答案】证明：，
方程总有两个实数根；
解：，即，
，．
方程有一个根小于，
． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个实数根；
利用因式分解法解一元二次方程可得出的值，结合方程有一个根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；利用因式分解法求出一元二次方程的根．

23.【答案】解：设相同的宽度为，
长方形装饰板的长为，宽为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
答：相同的宽度应该是米． 

【解析】根据长方形装饰板的面积为，列一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
证明：如图所示：连接，

由得：，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】连接，交于点，证出是的中位线，得即可；
先证≌，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．

25.【答案】解：一次函数的图象向下平移得到一次函数，
，
一次函数的解析式为，
平移后的函数图象经过点，
，
；
函数与中，随的增大而增大，
在的范围内，，，
当时，函数中随的增大而增大，
在的范围内，，
在的范围内，恒成立，
，
解得：，
；
当时，函数中随的增大而减小，
在的范围内，，
在的范围内，恒成立，
，
解得：，
此时；
综上分析可知，当或时，在的范围内，恒成立． 

【解析】根据平移的性质得出，然后把点代入即可求得；
根据一次函数的增减性，分或两种情况讨论，分别列出不等式组，求出的取值范围即可．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性，列出不等式．

26.【答案】解：如图，即为补全的图形；
是等腰直角三角形，
证明：四边形是正方形，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
，
证明：如图，过点作于点，交的延长线于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
，
如图，过点作于点，交的延长线于点，
由知：，，
，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
四边形是正方形，
，
同法≌，
，
． 

【解析】根据题意即可补全图形；
证明≌，，可得结论；
过点作于点，交的延长线于点同法可证≌，推出，，证明四边形是正方形，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

27.【答案】解：画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、如图：

，证明如下：
过作轴于，如图：

，，，
≌，
，，
；
，关于原点对称，
，
，，
，
，
，
，
；
直线过定点，
由知，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，
当直线过时，，解得，
当直线过时，，解得，
同理可得点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，
当直线过时，，解得，
当直线过时，，解得，
的取值范围是． 

【解析】根据定义画出图形即可；
求出，坐标，可知长度，即可得到答案；
求出点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，分别求出对应的值，即可得到的范围．
本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解点关于点的直角顶点“变换点”的定义．