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2023-2024学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】
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这是一份2023-2024学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．（2分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
3．（2分）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数
C．众数D．中位数
4．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．9
5．（2分）把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x﹣2）2+1
6．（2分）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R的函数关系为I＝，当I＝3A时，R＝8Ω，则当I＝6A时，R的值为（ ）
A．4ΩB．6ΩC．8ΩD．10Ω
7．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在抛物线y＝x2﹣4x+5上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
8．（2分）已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：①AE⊥DE；②∠AEB＝∠EDC；③AB•CD＝BE•EC；④BE•ED＝AE•EC．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）函数中自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）已知＝，那么＝ ．
11．（2分）请写出一个图象的顶点为（0，0）的二次函数的表达式： ．
12．（2分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 ．
13．（2分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
14．（2分）如图，A是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，且AB⊥OB．若△ABO的面积为2，则k的值为 ．
15．（2分）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米．
（1）活动区面积S与x之间的关系式为 ；
（2）菜园ABCD最大面积是 平方米．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，3），B（2，﹣1），C（4，3）三点．下面四个结论：①抛物线开口向下；②当x＝2时，y取最小值﹣1；③当m≤﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，B，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜2．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，求证：△AOB∽△DOC．
18．（5分）若x：2＝3：（x+5），求x的值．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求出二次函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出y＜0时，x的取值范围．
20．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）则∠DEF＝ °，AC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似．若相似，请说明理由．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
求这个二次函数的表达式及n的值．
22．（5分）同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”．下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，m）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出＞x+2时，x的取值范围是 ．
24．（6分）小宇在学习过程中遇到了一个函数y＝|x|+（x≠0）．下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：
（1）对于函数y1＝，当x＜0时，y1随x的增大而减小，对于函数y2＝|x|，当x＜0时，y2随x的增大而 .结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当x＜0时，y随x的增大而 ．
（2）当x＞0时，对于函数y与x的几组对应值如表：
在平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数y的图象．
（3）过点（0，m）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|+（x≠0）的图象有两个交点，则m ．
25．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF＝2，求AB的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x（a≠0），若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当t＝1时，求a的值；
（2）若对于x1＞x2≥﹣，都有y1＜y2，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的射线与斜边BC交于点D，CE⊥AD于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠ACE；
（2）连接BE，若满足DC＝2BD，AE＝1，求BE的值．
28．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“和谐点”．
（1）如图，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“和谐点”的是 ；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”H的坐标是 ，直线GH的表达式是y2＝ ；
（3）已知点A，B是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5上的“和谐点”，点A在点B的左侧，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，求点A，B的坐标，并直接写出△ABC的面积．
2023-2024学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】由2x＝3y（y≠0），根据比例的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵2x＝3y（y≠0），
∴＝或＝．
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
2．（2分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．
3．（2分）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数
C．众数D．中位数
【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．
【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，算术平均数，中位线，众数，统计量的选择，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
4．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．9
【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即＝，
解得：EC＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．
5．（2分）把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x﹣2）2+1
【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴y＝3（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（2分）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R的函数关系为I＝，当I＝3A时，R＝8Ω，则当I＝6A时，R的值为（ ）
A．4ΩB．6ΩC．8ΩD．10Ω
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将I的值代入求值即可．
【解答】解：∵电流I与R的函数关系为I＝，当I＝3A时，R＝8Ω，
∴3＝，
解得U＝24，
∴电流I与R的函数关系为I＝，
当I＝6A时，即6＝，
解得R＝4．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关键．
7．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在抛物线y＝x2﹣4x+5上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B，C到对称轴的距离大小求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵2﹣2＜4﹣2＜2﹣（﹣1），
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
8．（2分）已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：①AE⊥DE；②∠AEB＝∠EDC；③AB•CD＝BE•EC；④BE•ED＝AE•EC．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
【分析】根据AB∥CD和AE平分∠BAD，DE平分∠ADC推出∠DAE+∠ADE＝90°即可证明AE⊥DE，可证明①正确；根据∠AED＝90°推出∠AEB+∠DEC＝90°，根据∠B＝90°推出∠C＝90°，从而推出∠EDC+∠DEC＝90°，即可推出∠AEB＝∠EDC，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定△ABE∽△ECD后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出AB•CD＝BE•EC，可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠ADC，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥DE，
故①正确；
∵∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AEB＝∠EDC，
故②正确；
在△ABE和△ECD中，
∠AEB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴，，
∴AB•CD＝BE•EC，故③正确；BE•ED＝AE•CD，故④不正确．
正确的有①②③．
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）函数中自变量x的取值范围是 x≠5 ．
【分析】根据分式有意义的条件即可求得答案．
【解答】解：由题意可得：x﹣5≠0，
即x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
10．（2分）已知＝，那么＝ ．
【分析】直接利用已知得出x＝2y，进而得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴x＝2y，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．
11．（2分）请写出一个图象的顶点为（0，0）的二次函数的表达式： y＝x2（答案不唯一） ．
【分析】设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将（0，0）代入得出c＝0，即可得出二次函数表达式．
【解答】解：设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵且经过（0，0），
∴c＝0，
∴二次函数表达式可以为：y＝x2（答案不唯一）．
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c＝0是解题关键．
12．（2分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 1：4 ．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
13．（2分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是 ∠ADE＝∠C（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】由相似三角形的判定定理可求解．
【解答】解：添加∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
14．（2分）如图，A是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，且AB⊥OB．若△ABO的面积为2，则k的值为 4 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝2，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了反比例函数 y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15．（2分）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米．
（1）活动区面积S与x之间的关系式为 S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20） ；
（2）菜园ABCD最大面积是 200 平方米．
【分析】（1）表示出BC，由矩形面积公式可得函数关系式；
（2）配成顶点式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：BC＝（40﹣2x）米，
∴S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∵40﹣2x＞0，
∴x＜20，
∴面积S与x之间的关系式为S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）；
故答案为：S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）；
（2）∵S＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，且﹣2＜0，0＜x＜20，
∴当x＝10时，S取最大值200，
∴菜园ABCD最大面积是200平方米；
故答案为：200．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，3），B（2，﹣1），C（4，3）三点．下面四个结论：①抛物线开口向下；②当x＝2时，y取最小值﹣1；③当m≤﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，B，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜2．所有正确结论的序号是 ②④ ．
【分析】将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，画出函数图象，进而求解．
【解答】解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，
函数图象如下：
①∵a＝1＞0，故抛物线开口向上，
故①错误，不符合题意；
②抛物线开口向上，顶点为（2，﹣1），
∴当x＝2时，y取最小值﹣1；
故②正确，符合题意；
③∵函数的最小值为﹣1，
故m≤﹣1时，直线y＝m和y＝ax2+bx+c有一个或没有交点，
故一元二次方程ax2+bx+c＝m无解或有两个相等实根，
故③错误，不符合题意；
④观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，B，
当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜2，
故④正确，符合题意；
故答案为：②④．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，求证：△AOB∽△DOC．
【分析】根据对顶角相等可得∠AOB＝∠DOC，然后结合∠A＝∠D证明即可．
【解答】证明：∵AC，BD交于点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
∵∠A＝∠D，
∴△AOB∽△DOC．
【点评】此题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答．
18．（5分）若x：2＝3：（x+5），求x的值．
【分析】根据解比例的方法进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x×（x+5）＝2×3，
x2+5x＝6，
x2+5x﹣6＝0，
（x+6）（x﹣1）＝0．
则x+6＝0或x﹣1＝0，
即x＝﹣6或1．
【点评】本题考查解比例，掌握解比例的方法是解题的关键．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求出二次函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴；令x＝0，可得代入抛物线解析式，解方程即可得出与y轴交点坐标；
（2）根据图象与x轴的交点坐标，可确定y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数图象的对称轴为：x＝﹣1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；
（2）二次函数y＝x2+2x﹣3图象的顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴二次函数图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）或（1，0）；
图象如下：
∴y＜0时，自变量x的取值范围：﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x＝h．解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
20．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）则∠DEF＝ 135 °，AC＝ 2 ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似．若相似，请说明理由．
【分析】（1）由图形可以直接得到：∠FEM和∠DEM的度数，求其和即可；AC的长利用勾股定理即可算出；
（2）根据勾股定理分别计算出△ABC和△DEF的长，再根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得到结论．
【解答】解：（1）根据图形可得：∠FEM＝90°，∠DEM＝45°，
∴∠DEF＝90°+45°＝135°，
AC＝＝2；
故答案为：135；2；
（2）△ABC与△DEF相似，理由如下：
在△ABC中，AB＝2，BC＝＝2，AC＝＝2，
在△DEF中，EF＝2，DE＝，DF＝＝，
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练运用勾股定理计算出三角形的三边长．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
求这个二次函数的表达式及n的值．
【分析】解法一：根据一般式列方程组可解答；
解法二：根据顶点式将一个点代入可解答；
解法三：根据交点式将一个点代入可解答．
【解答】解：解法一：由题意，设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数经过点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝4时，n＝16﹣2×4﹣3＝5；
解法二：由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数经过点（0，﹣3），
∴a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，
即y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝4时，n＝（4﹣1）2﹣4＝5；
解法三：由题意，设二次函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
∵二次函数经过点（1，﹣4），
∴﹣4＝a（1+1）×（1﹣3），
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
当x＝4时，n＝（4+1）（4﹣3）＝5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用一般式，顶点式，交点式求出函数解析式．
22．（5分）同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”．下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．
【分析】（1）过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到＝，利用平行线的性质得∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，由∠BAD＝∠CAD得∠ACE＝∠E，所以AE＝AC，可得结论；
（2）通过△ABD和△ACD面积的比来证明即可．
【解答】方法一：证明：如图，过点C作CE∥AD与BA得延长线交于点E．
∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC，
∵CE∥AD，
∴＝，
∵AE＝AC，
∴＝；
方法二：证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N，过点A作AP⊥BC于P．
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，
∴＝＝，
∵DM＝DN，
∴＝．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，面积法，掌握相关图形的性质是解题的关键．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，m）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出＞x+2时，x的取值范围是 x＜﹣3或0＜x＜1 ．
【分析】（1）把点A（1，m）代入y＝x+2求得m的值，得到A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把点A（1，m）代入y＝x+2得，m＝1+2＝3．
∴A（1，3），
∵反比例函数的图象经过点A（1，3）．
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）由图象可知，当＞x+2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1．
故答案为：x＜﹣3或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点．
24．（6分）小宇在学习过程中遇到了一个函数y＝|x|+（x≠0）．下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：
（1）对于函数y1＝，当x＜0时，y1随x的增大而减小，对于函数y2＝|x|，当x＜0时，y2随x的增大而 减小 .结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当x＜0时，y随x的增大而 减小 ．
（2）当x＞0时，对于函数y与x的几组对应值如表：
在平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数y的图象．
（3）过点（0，m）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|+（x≠0）的图象有两个交点，则m ＝2 ．
【分析】（1）利用一次函数和反比例函数的性质解决问题即可．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）观察图象即可得到结论．
【解答】解：（1）对于函数y1＝，当x＜0时，y1随x的增大而减小，对于函数y2＝|x|，当x＜0时，y2随x的增大而减小．结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小．
（2）函数图象如图所示：
；
（3）过点（0，m）作平行于x轴的直线l，观察图象可知，若直线l与函数y＝|x|+（x≠0）的图象有两个交点，则m＝2．
故答案为：＝2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF＝2，求AB的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠E＝∠CBF，因为∠A＝∠C，所以△ABE∽△CFB；
（2）由DE＝AD，AD＝CB，得DE＝CB，再证明△DEF∽△CBF，得＝＝，因为CF＝2，所以DF＝CF＝1，所以AB＝CD＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，
∵∠A＝∠C，
∴△ABE∽△CFB．
（2）解：∵DE＝AD，AD＝CB，
∴DE＝CB，
∵DE∥CB，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴DF＝CF＝×2＝1，
∴AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3，
∴AB的长是3．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEF∽△CBF是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x（a≠0），若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当t＝1时，求a的值；
（2）若对于x1＞x2≥﹣，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式代入计算即可；
（2）利用二次函数的性质，即可求得．
【解答】解：（1）当x＝t＝1时，即＝1，
解得：a＝1．
（2）∵当x1＞x2≥﹣时，都有y1＜y2
∴a＜0，
∵y1＜y2
∴﹣（a+1）x1＜﹣（a+1）x2，
a（﹣）＜（a+1）（x1﹣x2），
∵x1＞x2，
∴a（x1+x2）＜a+1，
∵a＜0，
∴x1+x2＞，
∵x1＞x2≥﹣，
∴x1+x2＞﹣1，
∴，a≥﹣，
∴．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的射线与斜边BC交于点D，CE⊥AD于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠ACE；
（2）连接BE，若满足DC＝2BD，AE＝1，求BE的值．
【分析】（1）利用同角的余角相等，即可证明出结论；
（2）过点B作BF⊥AD，交AD延长线于点F，先证明△ABF≌△CAE，得到AF＝CE，BF＝AE，证明△BDF∽△CDE，可得＝＝＝，进而求出BF＝1，EF＝1，根据勾股定理即可求出BE．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE；
（2）解：过点B作BF⊥AD，交AD延长线于点F，如图，
∵CE⊥AD，
∴∠BFA＝∠AEC＝90°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴AF＝CE，BF＝AE，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF∽△CDE，
∴＝＝，
∵DC＝2BD，
∴＝＝＝，
∵AE＝1，BF＝AE，AF＝EC，
∴BE＝1，AF＝EC＝2，
∴EF＝AF﹣AE＝1，
在Rt△AFE中，
BF＝1，EF＝1，∠AFE＝90°，
由勾股定理，得BE＝＝＝．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点B作BF⊥AD，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
28．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“和谐点”．
（1）如图，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“和谐点”的是 M1，M2 ；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”H的坐标是 （﹣2，﹣2） ，直线GH的表达式是y2＝ x ；
（3）已知点A，B是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5上的“和谐点”，点A在点B的左侧，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，求点A，B的坐标，并直接写出△ABC的面积．
【分析】（1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）把G（2，2）代入y1＝求出解析式，再求于y＝x的交点即为H；
（3）根据“和谐点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出AC，AB，BC，即可判断△ABC的形状，进而利用三角形面积计算公式解答．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），
∴矩形ABCD的“和谐点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2，
∴点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“和谐点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“和谐点”，
故答案为：M1，M2；
（2）∵点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“和谐点”，
∴把G（2，2）代入y1＝得k＝4，
∴y1＝，
∵“和谐点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“和谐点”都在y＝x的图象上，联立得：，
解得或，
∴H（﹣2，﹣2），
∴直线GH的解析式为y2＝x，
故答案为：（﹣2，﹣2），x；
（3）∵点A，B是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5上的“和谐点”，
∴y＝x，
即﹣（x﹣1）2+5＝x，
解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴当x＝3时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝﹣3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，﹣3），B（3，3），
∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点C（1，5），
∴BC2＝（3﹣1）2+（3﹣5）2＝8，AB2＝（﹣3﹣3）2+（﹣3﹣3）2＝72，AC2＝（﹣3﹣1）2+（﹣3﹣5）2＝80，
∴AC2＝BC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∴BC＝2，AB＝6，
∴S△ABC＝BC•AB＝×2×6＝12．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 20:41:20；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
n
…
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：＝．
方法一
证明：如图，过点C作CE∥AD，与BA的延长线交于点E．
方法二
证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．
x
…
1
2
…
y
…
2
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
n
…
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：＝．
方法一
证明：如图，过点C作CE∥AD，与BA的延长线交于点E．
方法二
证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．
x
…
1
2
…
y
…
2
…
1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．（2分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
3．（2分）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数
C．众数D．中位数
4．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．9
5．（2分）把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x﹣2）2+1
6．（2分）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R的函数关系为I＝，当I＝3A时，R＝8Ω，则当I＝6A时，R的值为（ ）
A．4ΩB．6ΩC．8ΩD．10Ω
7．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在抛物线y＝x2﹣4x+5上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
8．（2分）已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：①AE⊥DE；②∠AEB＝∠EDC；③AB•CD＝BE•EC；④BE•ED＝AE•EC．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）函数中自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）已知＝，那么＝ ．
11．（2分）请写出一个图象的顶点为（0，0）的二次函数的表达式： ．
12．（2分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 ．
13．（2分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
14．（2分）如图，A是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，且AB⊥OB．若△ABO的面积为2，则k的值为 ．
15．（2分）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米．
（1）活动区面积S与x之间的关系式为 ；
（2）菜园ABCD最大面积是 平方米．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，3），B（2，﹣1），C（4，3）三点．下面四个结论：①抛物线开口向下；②当x＝2时，y取最小值﹣1；③当m≤﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，B，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜2．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，求证：△AOB∽△DOC．
18．（5分）若x：2＝3：（x+5），求x的值．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求出二次函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出y＜0时，x的取值范围．
20．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）则∠DEF＝ °，AC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似．若相似，请说明理由．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
求这个二次函数的表达式及n的值．
22．（5分）同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”．下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，m）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出＞x+2时，x的取值范围是 ．
24．（6分）小宇在学习过程中遇到了一个函数y＝|x|+（x≠0）．下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：
（1）对于函数y1＝，当x＜0时，y1随x的增大而减小，对于函数y2＝|x|，当x＜0时，y2随x的增大而 .结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当x＜0时，y随x的增大而 ．
（2）当x＞0时，对于函数y与x的几组对应值如表：
在平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数y的图象．
（3）过点（0，m）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|+（x≠0）的图象有两个交点，则m ．
25．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF＝2，求AB的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x（a≠0），若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当t＝1时，求a的值；
（2）若对于x1＞x2≥﹣，都有y1＜y2，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的射线与斜边BC交于点D，CE⊥AD于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠ACE；
（2）连接BE，若满足DC＝2BD，AE＝1，求BE的值．
28．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“和谐点”．
（1）如图，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“和谐点”的是 ；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”H的坐标是 ，直线GH的表达式是y2＝ ；
（3）已知点A，B是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5上的“和谐点”，点A在点B的左侧，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，求点A，B的坐标，并直接写出△ABC的面积．
2023-2024学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】由2x＝3y（y≠0），根据比例的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵2x＝3y（y≠0），
∴＝或＝．
故选：D．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
2．（2分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x＝k．
3．（2分）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数
C．众数D．中位数
【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．
【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，算术平均数，中位线，众数，统计量的选择，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
4．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．9
【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即＝，
解得：EC＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．
5．（2分）把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x﹣2）2+1
【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴y＝3（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（2分）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R的函数关系为I＝，当I＝3A时，R＝8Ω，则当I＝6A时，R的值为（ ）
A．4ΩB．6ΩC．8ΩD．10Ω
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将I的值代入求值即可．
【解答】解：∵电流I与R的函数关系为I＝，当I＝3A时，R＝8Ω，
∴3＝，
解得U＝24，
∴电流I与R的函数关系为I＝，
当I＝6A时，即6＝，
解得R＝4．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关键．
7．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在抛物线y＝x2﹣4x+5上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B，C到对称轴的距离大小求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵2﹣2＜4﹣2＜2﹣（﹣1），
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
8．（2分）已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：①AE⊥DE；②∠AEB＝∠EDC；③AB•CD＝BE•EC；④BE•ED＝AE•EC．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
【分析】根据AB∥CD和AE平分∠BAD，DE平分∠ADC推出∠DAE+∠ADE＝90°即可证明AE⊥DE，可证明①正确；根据∠AED＝90°推出∠AEB+∠DEC＝90°，根据∠B＝90°推出∠C＝90°，从而推出∠EDC+∠DEC＝90°，即可推出∠AEB＝∠EDC，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定△ABE∽△ECD后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出AB•CD＝BE•EC，可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠DAE＝∠BAD，∠ADE＝∠ADC，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥DE，
故①正确；
∵∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AEB＝∠EDC，
故②正确；
在△ABE和△ECD中，
∠AEB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴，，
∴AB•CD＝BE•EC，故③正确；BE•ED＝AE•CD，故④不正确．
正确的有①②③．
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）函数中自变量x的取值范围是 x≠5 ．
【分析】根据分式有意义的条件即可求得答案．
【解答】解：由题意可得：x﹣5≠0，
即x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
10．（2分）已知＝，那么＝ ．
【分析】直接利用已知得出x＝2y，进而得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴x＝2y，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．
11．（2分）请写出一个图象的顶点为（0，0）的二次函数的表达式： y＝x2（答案不唯一） ．
【分析】设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将（0，0）代入得出c＝0，即可得出二次函数表达式．
【解答】解：设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵且经过（0，0），
∴c＝0，
∴二次函数表达式可以为：y＝x2（答案不唯一）．
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c＝0是解题关键．
12．（2分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 1：4 ．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
13．（2分）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是 ∠ADE＝∠C（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】由相似三角形的判定定理可求解．
【解答】解：添加∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
14．（2分）如图，A是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，且AB⊥OB．若△ABO的面积为2，则k的值为 4 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝2，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了反比例函数 y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15．（2分）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米．
（1）活动区面积S与x之间的关系式为 S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20） ；
（2）菜园ABCD最大面积是 200 平方米．
【分析】（1）表示出BC，由矩形面积公式可得函数关系式；
（2）配成顶点式，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：BC＝（40﹣2x）米，
∴S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∵40﹣2x＞0，
∴x＜20，
∴面积S与x之间的关系式为S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）；
故答案为：S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）；
（2）∵S＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，且﹣2＜0，0＜x＜20，
∴当x＝10时，S取最大值200，
∴菜园ABCD最大面积是200平方米；
故答案为：200．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，3），B（2，﹣1），C（4，3）三点．下面四个结论：①抛物线开口向下；②当x＝2时，y取最小值﹣1；③当m≤﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，B，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜2．所有正确结论的序号是 ②④ ．
【分析】将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，画出函数图象，进而求解．
【解答】解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，
函数图象如下：
①∵a＝1＞0，故抛物线开口向上，
故①错误，不符合题意；
②抛物线开口向上，顶点为（2，﹣1），
∴当x＝2时，y取最小值﹣1；
故②正确，符合题意；
③∵函数的最小值为﹣1，
故m≤﹣1时，直线y＝m和y＝ax2+bx+c有一个或没有交点，
故一元二次方程ax2+bx+c＝m无解或有两个相等实根，
故③错误，不符合题意；
④观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，B，
当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是0＜x＜2，
故④正确，符合题意；
故答案为：②④．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，求证：△AOB∽△DOC．
【分析】根据对顶角相等可得∠AOB＝∠DOC，然后结合∠A＝∠D证明即可．
【解答】证明：∵AC，BD交于点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
∵∠A＝∠D，
∴△AOB∽△DOC．
【点评】此题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答．
18．（5分）若x：2＝3：（x+5），求x的值．
【分析】根据解比例的方法进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x×（x+5）＝2×3，
x2+5x＝6，
x2+5x﹣6＝0，
（x+6）（x﹣1）＝0．
则x+6＝0或x﹣1＝0，
即x＝﹣6或1．
【点评】本题考查解比例，掌握解比例的方法是解题的关键．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求出二次函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴；令x＝0，可得代入抛物线解析式，解方程即可得出与y轴交点坐标；
（2）根据图象与x轴的交点坐标，可确定y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数图象的对称轴为：x＝﹣1，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；
（2）二次函数y＝x2+2x﹣3图象的顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴二次函数图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）或（1，0）；
图象如下：
∴y＜0时，自变量x的取值范围：﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x＝h．解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
20．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）则∠DEF＝ 135 °，AC＝ 2 ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似．若相似，请说明理由．
【分析】（1）由图形可以直接得到：∠FEM和∠DEM的度数，求其和即可；AC的长利用勾股定理即可算出；
（2）根据勾股定理分别计算出△ABC和△DEF的长，再根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得到结论．
【解答】解：（1）根据图形可得：∠FEM＝90°，∠DEM＝45°，
∴∠DEF＝90°+45°＝135°，
AC＝＝2；
故答案为：135；2；
（2）△ABC与△DEF相似，理由如下：
在△ABC中，AB＝2，BC＝＝2，AC＝＝2，
在△DEF中，EF＝2，DE＝，DF＝＝，
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练运用勾股定理计算出三角形的三边长．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
求这个二次函数的表达式及n的值．
【分析】解法一：根据一般式列方程组可解答；
解法二：根据顶点式将一个点代入可解答；
解法三：根据交点式将一个点代入可解答．
【解答】解：解法一：由题意，设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数经过点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝4时，n＝16﹣2×4﹣3＝5；
解法二：由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数经过点（0，﹣3），
∴a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，
即y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝4时，n＝（4﹣1）2﹣4＝5；
解法三：由题意，设二次函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
∵二次函数经过点（1，﹣4），
∴﹣4＝a（1+1）×（1﹣3），
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
当x＝4时，n＝（4+1）（4﹣3）＝5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用一般式，顶点式，交点式求出函数解析式．
22．（5分）同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”．下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．
【分析】（1）过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到＝，利用平行线的性质得∠CAD＝∠ACE，∠BAD＝∠E，由∠BAD＝∠CAD得∠ACE＝∠E，所以AE＝AC，可得结论；
（2）通过△ABD和△ACD面积的比来证明即可．
【解答】方法一：证明：如图，过点C作CE∥AD与BA得延长线交于点E．
∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC，
∵CE∥AD，
∴＝，
∵AE＝AC，
∴＝；
方法二：证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N，过点A作AP⊥BC于P．
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，
∴＝＝，
∵DM＝DN，
∴＝．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，面积法，掌握相关图形的性质是解题的关键．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（1，m）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出＞x+2时，x的取值范围是 x＜﹣3或0＜x＜1 ．
【分析】（1）把点A（1，m）代入y＝x+2求得m的值，得到A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把点A（1，m）代入y＝x+2得，m＝1+2＝3．
∴A（1，3），
∵反比例函数的图象经过点A（1，3）．
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）由图象可知，当＞x+2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1．
故答案为：x＜﹣3或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点．
24．（6分）小宇在学习过程中遇到了一个函数y＝|x|+（x≠0）．下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：
（1）对于函数y1＝，当x＜0时，y1随x的增大而减小，对于函数y2＝|x|，当x＜0时，y2随x的增大而 减小 .结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当x＜0时，y随x的增大而 减小 ．
（2）当x＞0时，对于函数y与x的几组对应值如表：
在平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数y的图象．
（3）过点（0，m）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|+（x≠0）的图象有两个交点，则m ＝2 ．
【分析】（1）利用一次函数和反比例函数的性质解决问题即可．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）观察图象即可得到结论．
【解答】解：（1）对于函数y1＝，当x＜0时，y1随x的增大而减小，对于函数y2＝|x|，当x＜0时，y2随x的增大而减小．结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小．
（2）函数图象如图所示：
；
（3）过点（0，m）作平行于x轴的直线l，观察图象可知，若直线l与函数y＝|x|+（x≠0）的图象有两个交点，则m＝2．
故答案为：＝2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△CFB；
（2）若CF＝2，求AB的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠E＝∠CBF，因为∠A＝∠C，所以△ABE∽△CFB；
（2）由DE＝AD，AD＝CB，得DE＝CB，再证明△DEF∽△CBF，得＝＝，因为CF＝2，所以DF＝CF＝1，所以AB＝CD＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF，
∵∠A＝∠C，
∴△ABE∽△CFB．
（2）解：∵DE＝AD，AD＝CB，
∴DE＝CB，
∵DE∥CB，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴DF＝CF＝×2＝1，
∴AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3，
∴AB的长是3．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEF∽△CBF是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+1）x（a≠0），若M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当t＝1时，求a的值；
（2）若对于x1＞x2≥﹣，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式代入计算即可；
（2）利用二次函数的性质，即可求得．
【解答】解：（1）当x＝t＝1时，即＝1，
解得：a＝1．
（2）∵当x1＞x2≥﹣时，都有y1＜y2
∴a＜0，
∵y1＜y2
∴﹣（a+1）x1＜﹣（a+1）x2，
a（﹣）＜（a+1）（x1﹣x2），
∵x1＞x2，
∴a（x1+x2）＜a+1，
∵a＜0，
∴x1+x2＞，
∵x1＞x2≥﹣，
∴x1+x2＞﹣1，
∴，a≥﹣，
∴．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的射线与斜边BC交于点D，CE⊥AD于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠ACE；
（2）连接BE，若满足DC＝2BD，AE＝1，求BE的值．
【分析】（1）利用同角的余角相等，即可证明出结论；
（2）过点B作BF⊥AD，交AD延长线于点F，先证明△ABF≌△CAE，得到AF＝CE，BF＝AE，证明△BDF∽△CDE，可得＝＝＝，进而求出BF＝1，EF＝1，根据勾股定理即可求出BE．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE；
（2）解：过点B作BF⊥AD，交AD延长线于点F，如图，
∵CE⊥AD，
∴∠BFA＝∠AEC＝90°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴AF＝CE，BF＝AE，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF∽△CDE，
∴＝＝，
∵DC＝2BD，
∴＝＝＝，
∵AE＝1，BF＝AE，AF＝EC，
∴BE＝1，AF＝EC＝2，
∴EF＝AF﹣AE＝1，
在Rt△AFE中，
BF＝1，EF＝1，∠AFE＝90°，
由勾股定理，得BE＝＝＝．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点B作BF⊥AD，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
28．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“和谐点”．
（1）如图，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“和谐点”的是 M1，M2 ；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”H的坐标是 （﹣2，﹣2） ，直线GH的表达式是y2＝ x ；
（3）已知点A，B是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5上的“和谐点”，点A在点B的左侧，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，求点A，B的坐标，并直接写出△ABC的面积．
【分析】（1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）把G（2，2）代入y1＝求出解析式，再求于y＝x的交点即为H；
（3）根据“和谐点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出AC，AB，BC，即可判断△ABC的形状，进而利用三角形面积计算公式解答．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），
∴矩形ABCD的“和谐点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2，
∴点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“和谐点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“和谐点”，
故答案为：M1，M2；
（2）∵点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“和谐点”，
∴把G（2，2）代入y1＝得k＝4，
∴y1＝，
∵“和谐点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“和谐点”都在y＝x的图象上，联立得：，
解得或，
∴H（﹣2，﹣2），
∴直线GH的解析式为y2＝x，
故答案为：（﹣2，﹣2），x；
（3）∵点A，B是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5上的“和谐点”，
∴y＝x，
即﹣（x﹣1）2+5＝x，
解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴当x＝3时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝﹣3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，﹣3），B（3，3），
∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点C（1，5），
∴BC2＝（3﹣1）2+（3﹣5）2＝8，AB2＝（﹣3﹣3）2+（﹣3﹣3）2＝72，AC2＝（﹣3﹣1）2+（﹣3﹣5）2＝80，
∴AC2＝BC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∴BC＝2，AB＝6，
∴S△ABC＝BC•AB＝×2×6＝12．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 20:41:20；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
n
…
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：＝．
方法一
证明：如图，过点C作CE∥AD，与BA的延长线交于点E．
方法二
证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．
x
…
1
2
…
y
…
2
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
n
…
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：＝．
方法一
证明：如图，过点C作CE∥AD，与BA的延长线交于点E．
方法二
证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．
x
…
1
2
…
y
…
2
…
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