2020-2021学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．（3分）的值是　　

A． B． C． D．1

3．（3分）如图，在中，，若，，则等于　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，，是的半径，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

5．（3分）在半径为2的圆中，的圆心角所对的弧长为　　

A． B． C． D．

6．（3分）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

7．（3分）在中，，，，则的长为　　

A． B．2 C．或4 D．2或4

8．（3分）如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是　　

A．抛物线开口向下 

B．当时，取最小值 

C．当时，一元二次方程必有两个不相等实根 

D．直线经过点，，当时，的取值范围是

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）已知，则　　．

10．（3分）请写出一个过点的函数表达式：　　．

11．（3分）四边形是的内接四边形，，则的度数是　　．

12．（3分）函数的图象向下平移3个单位，得到函数图象的表达式是　　．

13．（3分）如图，点，分别在的，边上．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是　　．（写出一个即可）

14．（3分）如图，为的直径，弦于点，若，，则的长度为　　．

15．（3分）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则　　．

16．（3分）我们将满足等式的每组，的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面四个结论中，

①“心形”图形是轴对称图形；

②“心形”图形所围成的面积小于3；

③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过；

④“心形”图形恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．

所有正确结论的序号是　　．

三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．（5分）如图，已知，．求证：．

18．（5分）已知二次函数．

（1）求它的图象的顶点坐标和对称轴；

（2）画出它的图象．并结合图象，当时，则的取值范围是　　．

19．（5分）已知：线段，．

求作：，使其斜边，一条直角边．

作法：①作线段；

②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，

两弧相交于，两点，作直线交于点；

③以为圆心，长为半径作；

④以点为圆心，线段的长为半径作弧交于点，

连接，．

就是所求作的直角三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：点在线段的垂直平分线上，

点为线段的中点，为的半径．

为的直径．

点在上，

　　，　　（填推理的依据）．

为直角三角形．

20．（5分）在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．（结果精确到．参考数据：，

21．（5分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．

（1）求的值；

（2）点为轴上一动点．若的面积是6，请直接写出点的坐标．

22．（6分）如图，为的直径，过的中点，，垂足为点．

（1）求证：与相切；

（2）若，，求的长．

23．（7分）已知抛物线经过点．

（1）当抛物线与轴交于点时，求抛物线的表达式；

（2）设抛物线与轴两交点之间的距离为．当时，求的取值范围．

24．（7分）如图，已知是矩形的一条对角线，点在的延长线上，且．连接，与相交于点，与相交于点．

（1）依题意补全图形；

（2）若，解答下列问题：

①判断与的位置关系，并说明理由；

②连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

25．（7分）定义：在平面直角坐标系中，点为图形上一点，点为图形上一点．若存在，则称图形与图形关于原点 “平衡”．

（1）如图1，已知是以为圆心，2为半径的圆，点，，．

①在点，，中，与关于原点 “平衡”的点是　　；

②点为直线上一点，若点与关于原点 “平衡”，求点的横坐标的取值范围；

（2）如图2，已知图形是以原点为中心，边长为2的正方形．的圆心在轴上，半径为2．若与图形关于原点 “平衡”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．

2020-2021学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；

、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；

、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；

、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．

故选：．

2．（3分）的值是　　

A． B． C． D．1

【解答】解：．

故选：．

3．（3分）如图，在中，，若，，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

．

故选：．

4．（3分）如图，，是的半径，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：和都对，

．

故选：．

5．（3分）在半径为2的圆中，的圆心角所对的弧长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据弧长的公式，得，

故选：．

6．（3分）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解答】解：点，，，，，都在反比例函数的图象上，

，即，

，即；

，即，

，

；

故选：．

7．（3分）在中，，，，则的长为　　

A． B．2 C．或4 D．2或4

【解答】解：作交的延长线于点，

当时，

，，，

，

，，

，

同理可得，，

即的长为2或4，

故选：．

8．（3分）如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是　　

A．抛物线开口向下 

B．当时，取最小值 

C．当时，一元二次方程必有两个不相等实根 

D．直线经过点，，当时，的取值范围是

【解答】解：．将点、、的坐标代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为，

函数图象如下：

，故抛物线开口向上，故错误，不符合题意；

．抛物线开口向上，则时，取得最小值，

当时，，

故错误，不符合题意；

．由知，函数的最小值为，

故时，直线和有两个交点，

故一元二次方程必有两个不相等实根，

故正确，符合题意；

．观察函数图象，直线经过点，，

当时，的取值范围是或，

故错误，不符合题意；

故选：．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）已知，则　4　．

【解答】解：，

，

．

故答案为：4．

10．（3分）请写出一个过点的函数表达式：　或或（答案不唯一）　．

【解答】解：将点代入一次函数或二次函数或反比例函数得：

或或等．

故答案为：或或等．

11．（3分）四边形是的内接四边形，，则的度数是　　．

【解答】解：四边形是的内接四边形，

，

，

故答案为

12．（3分）函数的图象向下平移3个单位，得到函数图象的表达式是　　．

【解答】解：由“上加下减”的法则可知，将二次函数的图象向下平移3个单位所得函数的解析式为：．

故答案为：．

13．（3分）如图，点，分别在的，边上．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是　（答案不唯一）　．（写出一个即可）

【解答】解：添加，

又，

，

故答案为：（答案不唯一）．

14．（3分）如图，为的直径，弦于点，若，，则的长度为　3　．

【解答】解：连接，

，

，

直径，

，

在中，，

故答案为：3．

15．（3分）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则　　．

【解答】解：作交的延长线于点，如右图所示，

由图可知，，，，

，

，

故答案为：．

16．（3分）我们将满足等式的每组，的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面四个结论中，

①“心形”图形是轴对称图形；

②“心形”图形所围成的面积小于3；

③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过；

④“心形”图形恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．

所有正确结论的序号是　①③④　．

【解答】解：如图，由题意，，，，，．

观察图像可知，“心形”图形是轴对称图形，故①正确，

“心形”图形所围成的面积五边形的面积，

“心形”图形所围成的面积，故②错误，

当时，，

，

“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过，故③正确，

“心形”图形恰好经过，，，，，，

“心形”图形恰好经过6个整点，故④正确，

故答案为：①③④．

三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．（5分）如图，已知，．求证：．

【解答】证明：，

．

，

．

．

18．（5分）已知二次函数．

（1）求它的图象的顶点坐标和对称轴；

（2）画出它的图象．并结合图象，当时，则的取值范围是　　．

【解答】解：（1）

二次函数的图象的顶点坐标为，对称轴为：直线；

（2），

图象与轴两交点坐标为，，

二次函数图象如下图：

当时，则的取值范围是，

故答案为．

19．（5分）已知：线段，．

求作：，使其斜边，一条直角边．

作法：①作线段；

②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，

两弧相交于，两点，作直线交于点；

③以为圆心，长为半径作；

④以点为圆心，线段的长为半径作弧交于点，

连接，．

就是所求作的直角三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：点在线段的垂直平分线上，

点为线段的中点，为的半径．

为的直径．

点在上，

　90　，　　（填推理的依据）．

为直角三角形．

【解答】解：（1）补全的图形如图所示，

（2）证明：点在线段的垂直平分线上，

点为线段的中点，为的半径．

为的直径．

点在上，

，（直径所对的圆周角是直角），

为直角三角形．

故答案为：90；直径所对的圆周角是直角．

20．（5分）在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．（结果精确到．参考数据：，

【解答】解：如图，过点作，垂足为．

．

在中，

，，

．

在中，

，，

．

．

．

答：桥的长度约为．

21．（5分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．

（1）求的值；

（2）点为轴上一动点．若的面积是6，请直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）一次函数的图象与轴交于点，

．

．

．

一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，

．

把代入，得．

（2），

，

，

，

或．

22．（6分）如图，为的直径，过的中点，，垂足为点．

（1）求证：与相切；

（2）若，，求的长．

【解答】（1）证明：连接，

为中点，是的中点，

是的中位线．

，

，

，

，

，

，

过的中点，

与相切；

（2）连接，

是的直径，

．

是的中点，

，

，

，

在中，

，，

，，

，

，

23．（7分）已知抛物线经过点．

（1）当抛物线与轴交于点时，求抛物线的表达式；

（2）设抛物线与轴两交点之间的距离为．当时，求的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得，

．

抛物线的表达式为．

（2）抛物线经过点，

．

．

令．

．

．

，

，．

，

或．

即或．

①当时，或．

②当时，恒成立．

．

综上所述，，或．

24．（7分）如图，已知是矩形的一条对角线，点在的延长线上，且．连接，与相交于点，与相交于点．

（1）依题意补全图形；

（2）若，解答下列问题：

①判断与的位置关系，并说明理由；

②连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）补全的图形，如图1所示：

（2）①解：．

理由如下：由矩形性质知，

．

在与中，

．

．

．

．

．

②线段，，之间的数量关系：．

证法一：如图2，在线段上取点，使得，连接．

在与中，

，

．

，．

．

为等腰直角三角形．

．

．

证法二：如图3，过点作的垂线，与的延长线交于点，连接，．

在与中，

，

．

，．

为等腰直角三角形．

．

，即．

25．（7分）定义：在平面直角坐标系中，点为图形上一点，点为图形上一点．若存在，则称图形与图形关于原点 “平衡”．

（1）如图1，已知是以为圆心，2为半径的圆，点，，．

①在点，，中，与关于原点 “平衡”的点是　，　；

②点为直线上一点，若点与关于原点 “平衡”，求点的横坐标的取值范围；

（2）如图2，已知图形是以原点为中心，边长为2的正方形．的圆心在轴上，半径为2．若与图形关于原点 “平衡”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．

【解答】（1）①如图1中，由题意，，，

，，，

点，是与关于原点 “平衡”，

故答案为：，．

②解：若点可以与关于原点 “平衡”，则．

当时，，或，，

当时，，或，

点横坐标的取值范围是或．

（2）如图中，当经过，时，，，当经过，时，，，观察图象可知满足条件的的值为．

如图中，当经过，时，，，当经过，时，，，观察图象可知满足条件的的值为．

综上所述，圆心的横坐标的取值范围或．

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日期：2021/12/6 11:48:19；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122