2023-2024（上）全品学练考 高中数学 选择性必修第一册 RJB （新教材）测评卷含答案

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单元素养测评卷(一)1.C　[解析] 对于①,根据空间向量的定义,将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个球面,故①为假命题;对于②,两个向量相等,则两向量的模相等、方向相同,故②为假命题;对于③,根据正方体的性质,上下底面的对角线长度必定相等,结合向量的方向,可得=,故③为真命题;对于④,根据向量相等的定义,可知④为真命题;对于⑤,两个向量相等,则这两个向量模相等、方向相同,故空间中任意两个单位向量必相等是假命题,故⑤为假命题.故选C.2.A　[解析] 连接AM,AC,如图,因为=+=a+b,===b,所以=+=-++=-(a+b)+c+b=-a-b+c.故选A.3.A　[解析] A,B,C,M四点共面的充要条件是=x+y,即-=x(-)+y(-),整理可得(1-x-y)=-x-y,即=--,由=2λ++,得得λ=,故选A.4.C　[解析] 由空间向量数量积的坐标运算可得a·b=x+4=6,解得x=2,所以b=(2,2,2),所以cos<a,b>===.故选C.5.B　[解析] 因为=(2,2,-2),=(1,0,-2),所以·=6,故A中说法正确;与夹角的余弦值为cos<,>===,故B中说法错误;因为=(3,2,-4),所以=+,故A,B,C,D四点共面,故C中说法正确;因为=(-1,0,0),所以=-,所以点O到直线AB的距离是==,故D中说法正确.故选B.6.B　[解析] 如图所示,以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.设SD=t(t>0),则B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,1,0),F,所以=(-2,1,0),=.因为异面直线EC与BF所成角的余弦值为,所以|cos<,>|===,可得t=4,即SD=4.故选B.7.A　[解析] 若<v,n>=30°,则l与α所成的角为60°,①错误;若l与α所成的角为60°,则<v,n>=30°或150°,②错误;若<m,n>=60°,则平面α与β所成的角为60°,③正确;若平面α与β所成的角为60°,则<m,n>=60°或120°,④错误.故选A.8.C　[解析] 如图,以D1为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设点P(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,则=(1-x,1-y,1),=(-x,-y,1),·=x2-x+y2-y+1=++,当x=0或1,y=0或1时,·取得最大值1.故选C.9.BC　[解析] 对于A,若与共线,则存在λ∈R使=λ,则无解,故,不共线,故A错误;对于B,与同向的单位向量是=,故B正确;对于C,=-=(-3,1,1),故cos<,>===-,故C正确;对于D,设m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则令y=2,则m=(-1,2,-5),m与n不共线,故D错误.故选BC.10.BD　[解析] 对于A,若{a,b,c}是空间向量的一组基底,则a-b,a+c,2c-3b不共面,所以{a-b,a+c,2c-3b}也是空间向量的一组基底,故A中说法正确;对于B,当l⊂α时,也满足题设条件,故B中说法错误;对于C,易知m垂直于a与b构成的平面,又向量n=λa+μb(λ,μ∈R),且λ,μ≠0,所以n一定在由向量a,b组成的平面内,故m⊥n,故C中说法正确;对于D,由2+=4-3,得=2--,因为2--≠1,所以D,A,B,C四点不共面,故D中说法错误.故选BD.11.ABD　[解析] 依题意,S(,0,3),A(,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),E.因为SD=SC,所以D,则=,因为=n,所以n是直线CE的一个方向向量,故A正确;=,=,故点D到直线CE的距离d== ,故B正确;=(-,-1,0),=,设n=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量,则即令z=-2,则n=(-,3,-2),m与n不共线,故C错误;=,故点D到平面ACE的距离d1==1,故D正确.故选ABD.12.BC　[解析] ∵AB为直径,∴∠ACB=90°,由E,F分别是PC,PB的中点,可得BC∥EF,又EF⊂平面AEF,BC⊄平面AEF,∴BC∥平面AEF,又BC⊂平面ABC,平面ABC∩平面AEF=l,∴BC∥l.以C为原点,CA,CB所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),P(1,0,),E,F,∴=,=(0,2,0),∵BC∥l,∴可设Q(2,y,0),设平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则y=0,z=,可得m=(1,0,),又=(1,y,-),∴cos<,m>=-∈,设直线PQ与平面AEF所成的角为θ,则sin θ=|cos<,m>|∈,∴直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为.故选BC.13.(2,-1,-3)　[解析] 点M(2,1,-3)关于zOx平面的对称点的坐标为(2,-1,-3).14.0　[解析] 令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.15.-　[解析] 连接AM,·=·(-)=·=·--·-+·+·=1×1×-×12-×1×1×-×12+×1×1×+×1×1×=-.16.　[解析] 由已知可得,CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(3,0,6),B1(0,3,6),C(0,0,0),B(0,3,0),=(3,0,6),=(0,3,6),由2=,可得2-2=-,则=+=(3,0,6)+(0,3,6)=(2,,6),=(-3,3,-6),||==5,||==9,·=-18+6-36=-48,所以cos<,>===-,所以异面直线CM与A1B所成角的余弦值为.17.解:(1)=(2,-1,2),设D(x,y,z),则=(x+1,y-1,z-2),∵点D(异于点A,C)在直线AC上,∴∥,即==,∴x=-2y+1,z=-2y+4,∴D(-2y+1,y,-2y+4),∴=(-2y+2,y-2,-2y),∵⊥,∴(-2y+2)×2-(y-2)-4y=0,解得y=,∴D.(2)由(1)知=,||==2,||==3,∴S△ABC=×2×3=3.18.解:(1)由题意得a=(1,1,0),b=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),由(ka+b)·(ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8<0,解得-<k<2.∵当k=0时,两向量的夹角为π,∴k的取值范围是∪(0,2).(2)设直线PN的单位方向向量为u,则u==,∵=a=(1,1,0),∴a·u=-,|a|2=2,∴点M到直线PN的距离d==.19.解:(1)连接A1B,AC,如图所示,在△A1AB中,=-=c-a,∵四边形ABCD是平行四边形,∴=+=a+b,∵AC∥A1C1且AC=A1C1,∴==a+b,又∵M为线段A1C1的中点,∴==(a+b),在△A1MB中,=+=c-a+(a+b)=-a+b+c. (2)∵以A为顶点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,∴a·b=|a|·|b|cos 60°=,a·c=|a|·|c|cos 60°=,b·c=|b|·|c|cos 60°=.∵=+=a+b+c,∴||2==(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c==1+1+1+2×+2×+2×=6,∴||=,故对角线AC1的长为.(3)∵=-a+b+c,==c,||====,∴cos<,>=====,∴异面直线CC1与BM所成角的余弦值为.20.解:(1)证明:取AB的中点F,连接CF,因为AB∥CD,CD⊥AD,AB=2CD=2,BC=,所以CF⊥AB,BF=AF=1,CF=AD==1,则AC==,又BC2+AC2=AB2,所以AC⊥BC,因为PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PC⊥AC,又PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以AC⊥平面PBC,又AC⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面PBC. (2)易知CF,CD,CP两两垂直,以点C为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),A(1,1,0),P(0,0,2),E,所以=(1,1,-2),=(1,1,0),=,设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-1,-1),设直线PA与平面EAC所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|===,故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.21.解:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由长方体的性质知AD⊥平面AA1B1B,所以∠ABD即为BD与平面AA1B1B所成的角,因为直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,所以∠ABD=30°,又AB=2,所以AD=2×=,所以A(0,0,0),B(2,0,0),D,A1(0,0,1),B1(2,0,1),F(1,0,1),=,=(-1,0,1),=(2,0,0). (1)显然平面AA1B1B的一个法向量为n1=(0,1,0),设平面BDF的一个法向量为n2=(x1,y1,z1),则即令x1=1,得z1=1,y1=,即n2=(1,,1),所以cos<n1,n2>===,所以平面BDF与平面AA1B1B所成角的余弦值为.(2)点A到平面BDF的距离d===.22.解:(1)证明:取F为PA的中点,连接EF,DF,因为E为PB的中点,所以EF∥AB且EF=AB=1,又AB∥CD,AB=2,DC=1,所以EF∥CD且EF=CD,所以四边形EFDC为平行四边形,故CE∥DF,又CE⊄平面PAD,DF⊂平面PAD,所以CE∥平面PAD. (2)由PA⊥平面ABCD,AD,AB⊂平面ABCD,得PA⊥AD,PA⊥AB,所以PA,AD,AB两两垂直以A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(1,1,0),设E(0,a,2-a)且0<a<2,则=(0,0,2),=(1,1,0),若m=(x,y,z)为平面PAC的一个法向量,则令x=1,则m=(1,-1,0),=(0,a,2-a),=(1,1,0),若n=(α,β,γ)为平面EAC的一个法向量,则令α=1,则n=,所以cos<m,n>===,可得a=1.故E(0,1,1),则=(0,1,1),而平面ABCD的一个法向量为k=(0,0,1),设AE与平面ABCD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,k>|==,所以cos θ=,所以AE与平面ABCD所成角的正切值为1.