2022-2023学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．已知集合，若，则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】根据集合间的包含关系即可求解.

【详解】由于，所以，

故答案为：

2．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为           ．

【答案】

【分析】由充分条件定义直接求解即可.

【详解】“”是“”的充分条件，，，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

3．函数的单调增区间是      .

【答案】/

【分析】根据二次函数的性质即可求解.

【详解】为开口向下的二次函数，且对称轴为，

所以单调递增区间为，

故答案为：

4．若一元二次不等式的解集是，则的值是     .

【答案】

【分析】由题得，计算即得解.

【详解】一元二次不等式的解集是,

则和是一元二次方程的实数根,

∴, 解得.

故答案为：

5．已知，则的最小值为      .

【答案】5

【分析】求两个正数和的最小值，凑它们的积为定值即可用基本不等式求解.

【详解】因为，

则，

当且仅当即时取等号，

故答案为：5

6．若不等式对一切恒成立，则的最小值为        ．

【答案】－4

【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，再利用基本不等式即可求出结果.

【详解】∵当时，恒成立，

∴恒成立，

又当时，，当且仅当x＝2时取等号．

∴，

∴，故a的最小值为－4.

故答案为：.

7．定义在R上的函数满足，且时，，则      .

【答案】/

【分析】根据题意化简得到，得出的一个周期为4，再由，利用指数幂与对数的运算法则，即可求解.

【详解】由，可得，所以是周期为4的函数，

因为，可得，

所以.

故答案为：.

8．已知函数，则不等式的解集是      .

【答案】

【分析】变形可得，作函数，的图象，观察图象可得不等式的解集.

【详解】，

，

作出函数，的图象如下，

由图可知，满足不等式的的取值范围为，

所以，不等式的解集是.

故答案为：.

9．珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是          ．

【答案】①

【分析】由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答案．

【详解】数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，这里我们需要测量观察者距离珠穆朗玛峰多远，主要关注的应该是珠穆拉玛峰的高度，此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量结果影响很小，故假设①最不重要，

故答案为：①．

10．若关于的不等式的解集为，则实数的最小值为      .

【答案】

【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值

【详解】设，则为幂函数，定义域为，且为偶函数，在单调递增，

，则为单调递增的一次函数，

则不等式变为，

若，则，

若，则，

即,，,，

作出，的图象，实线部分即为,，

要使,，只需最小值大于等于1，

由图可知：，故只需即可，即，故的最小值为，

故答案为：

11．已知函数，令，若函数的图象在各个象限均有分布，则实数的取值范围为      .

【答案】

【分析】根据的正负情况，将问题转化为在和上各有一个实数根，利用二次函数根的分布即可求解.

【详解】的定义域为，

当时，恒成立，当时，恒成立，

要使的图象在各个象限均有分布，则需要在和上均有正有负，

所以在和上各有一个实数根，

则,即，解得，

故答案为：

12．已知函数，若存在直线，使不等式对恒成立，则称与构成了一个“函数通道”.若与构成了一个“函数通道”，则实数的最大值为      .

【答案】

【分析】根据“函数通道”的定义可将问题转化为求解，利用导数以及二次函数的性质求解最值即可求解.

【详解】由题意可知存在直线，使得对任意，显然，

所以对任意，

记，则，

由于，当单调递增，当单调递减，

故当取极大值也是最大值，，

为开口向上且对称轴为，故当时取最小值，

所以，

由于，故当时，此时取到最小值，故的最大值为，

故答案为：

二、单选题

13．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么大约可以用（    ）（，）

A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年

【答案】A

【分析】直接作商，然后利用取对数法进行化简求解即可．

【详解】万年用掉个二维码，

大约能用万年，

设，则，

即万年．

故选：A

14．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，…，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】看成关于的二次函数，即可求解.

【详解】根据题意得：

由于所以是关于的二次函数，因此当即时，取得最小值.

故选：A.

15．对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则（    ）.

A．、中仅是的充分条件 B．、中仅是的充分条件

C．、均是的充分条件 D．、均不是的充分条件

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义推理判断作答.

【详解】对于 : 对任意的, 均有，

则，因此为偶函数，

对于 ：对任意的，均有，

则，因此是偶函数，

所以、均是的充分条件，ABD错误，C正确.

故选：C.

【点睛】易错点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）或是定义域上的恒等式．

16．将函数，的图象绕点顺时针旋转角（）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图形，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，故只需求 处的倾斜角即可.

【详解】  

函数，

，

当时，，函数在上递增，

当时，，函数在上递减，

可得在处切线的倾斜角为，

因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，也就是说，最大旋转角为，即的最大值为.

故选：A.

三、解答题

17．已知集合

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围.

请从①；②；这两个条件中选择一个填入②中横线处，并完成第②问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)

(2)选择①的范围为，，,选择②，的取值范围为，．

【分析】（1）先求出两个集合，再求交集；

（2）若选择①，则，再分集合和两种情况，列式求解．选择条件②，根据子集关系列不等式即可求解.

【详解】（1）当时，，

．

（2）（2）若选择①，

当时，，即，

当时，，即，

或，即或．

实数的取值范围是，，．

若选择条件②，由得，解得．

实数的取值范围是，．

18．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把代入，将函数化为分段函数的形式，然后列出不等式组求解即可得到结果．

（2）利用绝对值三角不等式可得，即可转化为，解出即可．

【详解】（1）当时，，

不等式，即为.

则或或

解得或或.

故不等式的解集为.

（2）（当且仅当时等号成立）

因为恒成立，所以.

所以①或②.

由①解得，由②解得.

综上所述，，

故实数的取值范围是.

19．已知函数．

（1）若，求函数f（x）的零点；

（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．

【答案】（1）；（2）当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．

【分析】（1）根据解析式，求得定义域，当时，令，解得∈[﹣1，1]，所以零点为.

（2）若f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0，代入求得a不存在，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1），解得a=0，经检验符合题意，即可得答案.

【详解】（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，

即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，

由，得，

化简得，即，则∈[﹣1，1]，

所以，函数f（x）的零点为；

（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；

代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，

若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；

又当a＝0时，，

则；

对任意x∈[﹣1，1]都成立，

综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．

20．已知函数，设.

(1)当时，解关于的不等式；

(2)对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的范围；

(3)设函数.当时，求的最大值.

【答案】(1)

(2),

(3)

【分析】（1）利用对数函数的性质解不等式即可．

（2）求出的解析式，将条件转化为恒成立，利用一元二次函数的性质进行求解．

（3）利用分式函数的性质，利用换元法进行转化，利用基本不等式的性质进行求解即可．

【详解】（1）由，得，则，得，即不等式的解集为．

（2），．

对任意的，的图象总在函数图象的下方，

则恒成立，即在上恒成立，

即，即恒成立，

则，即在恒成立，

设，

则只需要即可，即，即，得，得，

，．

即的取值范围是,．

（3）设函数，．

当时，，，由（2）知，，

则，

令，

设，则，则，

．．

则，当且仅当时，取等号，

即的最小值为，

则的最大值为，

则的最大值为．

【点睛】结论点睛：本题主要考查不等式恒成立的应用，根据对数函数的运算是法则，进行转化，利用换元法，利用二次函数的性质以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．

涉及到对数的运算时，要用好对数的运算法则：且.

.

,

.

21．已知函数，不妨记函数的零点分别为，其中为正整数，且.

(1)若，写出的单调减区间；

(2)若，且，求的值；

(3)若，且，求的最大值.

【答案】(1)

(2)，

(3)768

【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解单调区间，

（2）将问题转化为有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，利用韦达定理以及判别式即可求解，

（3）将问题转化为有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，结合函数图象，利用求根公式以及韦达定理即可求解.

【详解】（1）当时，，

当的对称轴为，故此时在上单调递增，无单调递减区间，

当的对称轴为，故此时在上单调递减，

故的单调递减区间为，

（2）令，

令，则有三个零点，

由于，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

因此要使有三个零点，则有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，

所以有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，

因此，

由题意可知，

由于有两个相等的实数根，所以，

（3）由（2）知要使有四个零点，则有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，

故因此且，

故，则

结合函数的性质以及图象可知：，故只需要即可，

所以，

由于，所以，平方得且，

进而可得

，

故的最大值为768.

【点睛】方法点睛，已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．