2022-2023学年上海市华东师范大学第三附属中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市华东师范大学第三附属中学高二下学期期末数学试题

一、填空题

1．已知直线，则直线的斜率      ．

【答案】/

【分析】将直线的方程化为斜截式，即可得出直线的斜率.

【详解】将直线的方程化为斜截式方程可得，

因此，直线的斜率为.

故答案为：.

2．已知，，则      ．

【答案】/

【分析】利用条件概率公式可求得的值.

【详解】因为，由条件概率公式可得.

故答案为：.

3．函数在区间上的平均变化率为            .

【答案】1

【解析】根据平均变化率的概念，得到，简单计算，可得结果.

【详解】

故答案为：1

【点睛】本题考查平均变化率的概念，属基础题.

4．已知双曲线C：，则双曲线C的离心率e＝      ．

【答案】

【分析】求出，从而得到离心率.

【详解】由题意得，故，

所以离心率为.

故答案为：

5．已知，且，，方程表示的曲线是双曲线，则有      条不同的双曲线．

【答案】

【分析】利用分步乘法计数原理可得结果.

【详解】因为，且，，则、的取值各有种，

方程表示的曲线是双曲线，则不同的双曲线的条数为.

故答案为：.

6．掷一颗骰子，则掷得点数的期望是      ．

【答案】

【分析】掷一颗骰子，设掷得点数为，则的可能取值有：、、、、、，分析可得出，进而可求得的值.

【详解】掷一颗骰子，设掷得点数为，则的可能取值有：、、、、、，

则，

因此，.

故答案为：.

7．已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的      条件．

【答案】必要不充分

【分析】先求出方程表示椭圆时的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即可．

【详解】若方程表示椭圆，

则且，

且，

是方程表示椭圆的必要不充分条件，

即P是Q的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分．

8．函数在上的最小值为          .

【答案】

【分析】对求导，从而得到在上的单调性，进而求出在上的最小值.

【详解】，由得，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

故答案为：.

9．定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由0，1，2，3，4这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是           .

【答案】/0.15

【分析】根据分步乘法原理，计算所有三位数的个数，利用列举法，求得符合题意个数，根据古典概型计算公式，可得答案.

【详解】由0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位各自有5种情况，则所组成的所有三位数个数为，

其中“”型三位数的有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，

则概率为.

故答案为：.

10．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴2000元，该市区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为          万元（参考数据：取.

【答案】1637.2

【分析】求出，利用中心点求得，然后令代入可得估计值，求得留在当地过年的人员数，可得补贴总额．

【详解】解：由已知，

，

所以，则，即，

时，，

估计应补贴（万元）．

故答案为：．

11．若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】转化为图象交点问题，由直线与双曲线性质求解

【详解】即，表示双曲线的一支，

表示过点斜率为的直线，

由题意得与的图象恰有两个交点，即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，

当直线与双曲线相切时，，联立后由解得，当时，切点在轴下方，舍去，

当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，

当直线与双曲线的两个交点都在轴上方时，

故答案为：

12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是      ．（填上你认为所有正确的序号）

①双纽线C关于原点O中心对称；

②双纽线C上满足的点P只有1个；

③；

④的最大值为．

【答案】①②④

【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于③，根据三角形的等面积法分析判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断.

【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，

用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确，

对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，

所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确，

对于③，根据三角形的等面积法可知，

即，所以，所以③错误，

对于④，因为，所以，

由余弦定理得，

所以，

所以的最大值为，所以④正确，

故答案为：①②④

二、单选题

13．已知，则n的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答.

【详解】因为，而，即有，于是，

所以n的值为5.

故选：C

14．设随机变量X的分布列，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可.

【详解】因为随机变量X的分布列，

所以，解得：，

.

故选：B.

15．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ）

A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌

B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的

C．两种证券的收益有同向变动的倾向

D．两种证券的收益有反向变动的倾向

【答案】C

【分析】根据正相关的定义可得出结论.

【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，

那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错.

故选：C.

16．已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（  ）

①在黄金椭圆中，；

②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则；

③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据黄金椭圆的概念及可判断①，根据条件及勾股定理可判断②，根据条件可求内切圆的半径进而可判断③.

【详解】对①，因为，所以，则

，故①正确；

对②，因为在中，，由①知，，

所以，

即，故②正确；

对③，由题可知以为顶点的菱形的内切圆是以原点为圆心，设圆心的半径为，

所以，

代入离心率得到，所以圆过焦点，故③正确．

故选：D．

三、解答题

17．已知函数的图象过点，且．

(1)求a，b的值；

(2)求曲线在点处的切线方程．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值.

（2）利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．

又，，

所以②，

由①②解得：，．

（2）由（1）知，

又因为，，

所以曲线在处的切线方程为，

即．

18．已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等.

（1）求的值；

（2）若展开式的常数项为，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由已知可得出，进而可求得的值；

（2）写出二项展开式的通项，令的指数为零，可求得参数的值，再将参数的值代入通项可得出关于的等式，由此可解得实数的值.

【详解】（1）由第项和第项的二项式系数相等可得，解得；

（2）由（1）知，展开式的第项为：；

令，得，此时展开式的常数项为，解得.

19．一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球．

(1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率；

(2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算出和的值.

【详解】（1）解：从这个球中任意抽取一个球，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，

因此，从中有放回地依次摸出个球，则两球颜色不同的概率为.

（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、，

则，，，

所以，，

.

20．已知函数．

(1)若在处的切线与轴平行，求的值；

(2)若在区间上是严格增函数，求的取值范围；

(3)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值；

（2）由题意可得出，，利用参变量分离法可得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；

（3）分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的极值点的情况.

【详解】（1）解：因为，则，

因为在处的切线与轴平行，则，解得.

（2）解：因为在区间上是严格增函数，

则，，可得，

当时，则，所以，，

因此，实数的取值范围是.

（3）解：函数的定义域为，.

当时，对任意的，，此时函数无极值点；

当时，令可得，

由可得，由可得.

此时，函数的减区间为，增区间为.

所以，函数在处取得极小值.

综上所述，当时，函数无极值点；

当时，函数的极小值点为.

21．如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)证明：直线的斜率之积为定值；

(3)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可；

（2）设点，由斜率的定义可知，再将代入双曲线方程即可求解；

（3）利用（2）中结论设直线的方程为，的方程为，分别代入椭圆方程求得即可求解.

【详解】（1）设双曲线的标准方程为，

由题意知，且，所以，

所以双曲线的标准方程为：；

（2）设点，由题可知，

则，

所以，

由点在双曲线上，可知，即有，

所以，故；

（3）由（2）可知，且，

所以可设直线的方程为，

则直线的方程为，

把直线的方程代入椭圆方程，

整理得，

设，则有，

因此

，

把直线的方程代入椭圆方程，

整理得，

设，，则有，，

因此

，

所以又，

所以，

所以，

所以的取值范围为.

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，，

（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.